Mọi đa thức đối xứng 2 biến đều có thể biểu thị qua các đa thức đối xứng cơ bản S , P.
Trang 1CÁC ĐA THỨC ĐỐI XỨNG CƠ BẢN 2 BIẾN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
1/ Các biểu thức đối xứng cơ bản 2 biến :
S = a + b , P = ab Ta có bđthức liên hệ giữa 2 biểu thức là : (a + b)2 ≥ 4 ab hay S2 ≥ 4P ; dấu "=" xảy ra ⇔ a = b
Mọi đa thức đối xứng 2 biến đều có thể biểu thị qua các đa thức đối xứng cơ bản S , P Ta có
: a2 + b2 = S2 - 2 P ; a3 + b3 = S3 - 3SP
2/ Áp dụng chứng minh bất đẳng thức :
Ví dụ 1: Chứng minh với a ≥ 0 , b ≥ 0 ta có :
a3+ b3 + 2 ≥ 2ab + a + b (♦)
Ta đặt S = a + b ; P = ab Ta có S ≥ 0 , P ≥ 0 và S2 ≥ 4P
( dấu "=" xảy ra ⇔ a = b ) khi đó a3 + b3 = S3 - 3SP
(♦) ⇔ S3 - 3SP +2 ≥ 2P +S ⇔ S3 - S + 2 - (3S + 2) P ≥ 0 (♥ )
Vtrái (♥ ) ≥ S3 - S + 2 - (3S + 2) S2/4 = ( ) ( ) 0
4
2 S 2
S− 2 + ≥ (đúng) (♥ ) được cminh hay (♦ ) được cminh
Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b ; a + b -2 = 0 ⇔ a = b = 1
Ví du 2: Cho a ≥ 0 , b ≥ 0 và a3 + b3 =2 , chứng minh :
a2 + b2 ≥ 3 4 (• )
Ta có a ≥ 0 , b ≥ 0 va a3 + b3 = 2 ⇒ S = a + b > 0 , P = ab ≥ 0 và S3 - 3SP =2 ( )
Vt (• ) = a2+ b2 = S2 - 2P và ( ) ⇒ P =
S 3
2
S3−
Vt (• ) = S2 -2
S 3
2
S3−
=
+
S
4 S 3
1 S 3
4
S
2 S
2 S 3 3
1 S
2 S
2 S
3
1
=
≥
Vậy (• ) được cminh
Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b và S2 = 2/S ⇒ a = b =
2
2 3
Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = x3 + y3 -15xy với x > 0 , y > 0
Đặt S = x + y , P= xy ; ta có : S2≥ 4P (dấu "=" xảy ra ⇔ x = y)
Ta có A = S3 - 3SP - 15P ≥ S3 - 3S.S2/4 - 15.S2/4 =
4
S 15
S3− 2
A nhỏ nhất ⇔ f (S) = S3 - 15S2 với S > 0 là nhỏ nhất
Ta có : f '(S) = 3S2- 30S = 0 ⇒ S = 0 hay S = 10
S 0 10 +∞
f'(S) - 0 +
⇒ min f (S) = f (10 ) = - 500 ⇒ min A = - 500/4 = - 125 khi x = y = 5
@ Bạn tìm hiểu thêm : Các đa thức đối xứng cơ bản 3 biến và vận dụng cminh bđthức