Định nghĩa : Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung.. ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm trên mpP và song song với ĐL2: Nếu đường thẳng a song
Trang 1Trường THPT TRẦN HƯNG ĐẠO Gv : Phan Hữu Huy Trang
Các kiến thức Tốn cơ bản
LỚP 10
HÌNH H ỌC PHẲNG
TỌA ĐỘ PHẲNG:
I Định lý: Cho A(x , y ), B(x , y ) , A A B B a (a ,a ) 1 2
Dạng toán thường gặp:
1. A, B, C thẳng hàng ABcùng phươngAC
2. A, B, C lập thành tam giác
ABkhông cùng phương AC
I Phương trình đường thẳng:
1 Phương trình tổng quát :
qua M(x ;y )pvt : n = (A;B) : A(x -x )+ B(y -y ) = 00 0 : Ax + By + C = 0
2 Phương trình tham số :
Trang 2Trường THPT TRẦN HƯNG ĐẠO Gv : Phan Hữu Huy Trang
° Đường thẳng đi qua gốc tọa độ : ax by 0c 0
° Đường thẳng cắt Ox tại A a ;0và Oy tạiB0;b
a b :, 0 x y 1
a b
° Đường thẳng qua điểm M x y và có hệ số góc 0; 0
k là : y y 0 k x x 0
° Đường thẳng d qua điểm M x y và song song 0; 0
với đường thẳng : ax by c 0có pttq là :
a x x 0b y y 00
° Đường thẳng d qua điểm M x y và vuông góc 0; 0
với đường thẳng : ax by c 0có pttq là :
II Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
1 Phương trình tiếp tuyến TẠI M x y :( ; )0 0
( ; ) : ( ; )
III Hình dạng Elíp:
IV Các vấn đề đặc biệt:
1.Tiêu điểm : F1( ; ),c o F c o2( ; ).2.Tiêu cự : F F1 2 2c
3.Đỉnh trục lớn: A1(a;0), A a2( ;0).4.Đỉnh trục bé : B1(0;b), B2(0; )b
5.Độ dài trục lớn: A A1 2 2a.6.Độ dài trục bé : B B1 2 2b.7.Tâm sai : e c 1
c
V Phương trình tiếp tuyến của Elíp:
1.Phương trình tiếp tuyến TẠI M x y : ( ; )0 0 ( ) : x x.20 y y.20 1
tiếp xúc (E) A a2 2B b2 2 C2
* Chú ý: Cho (Δ) :Ax By C 0
A
1 B
2 B
2 A 1
Trang 3Trường THPT TRẦN HƯNG ĐẠO Gv : Phan Hữu Huy Trang Chú ý : Cho f(x) = ax2 + bx + c (a 0)
° Pt vô nghiệm
0
00
00
a
a b
° Pt có 2 nghiệm cùng dấu 0
000
P S
000
P S
A B
2 2
sin
B Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt:
1 Cung – Góc đối nhau: và :
cos cos; sin sin
tan tan ; cot cot
2 Cung – Góc bù nhau: và
sin sin; cos cos
tan tan ; cot cot
3 Cung – Góc p hụ nhau: và
4 Cung – Góc hơn kém : và
sin sin ; tan tan
cos cos ; cot cot
5 Cung – Góc hơn kém 2 : 2 và
Trang 4Trường THPT TRẦN HƯNG ĐẠO Gv : Phan Hữu Huy Trang
GIÁO KHOA TOÁN – ÔN TỐT NGHIỆP & ĐH CĐ NĂM 2010 Trang 4
Trang 5C Công thức lượng giác
1 CÔNG THỨC CỘNG :
Với mọi cung có số đo a, b ta có:
cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
tan(a – b) = 1 tan tantan tan
cot(a + b) = . 1
cota cotb cotb cota
2 Công thức nhân đôi:
2 a 1 ot2a
cot c
cot
-=
3 Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina – 4sin 3 a
cos3a = 4cos 3 a – 3cosa
3 2
cot a 3cot acot3a
, cosx = 1 22
1
t t
2
x k k Z
6 Công thức biến đổi tổng thành tích
cosa cos b 2 cos a b cos a b
2 1
Trang 65 (sin x)' cosx (sin u)' u'.cos u.
6 (cosx)'sin x (cos u)'u'.sin u
7. (tan x)' 12
cos x 2
u'(tan u)'
ÔN TẬP 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 – 10
1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho ABCvuông ở A ta có :
Trang 7ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A.QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
I Định nghĩa :
Đường thẳng và mặt phẳng gọi là
song song với nhau nếu chúng
không có điểm nào chung
ĐL1:Nếu đường thẳng d không
nằm trên mp(P) và song song với
ĐL2: Nếu đường thẳng a song
song với mp(P) thì mọi mp(Q)
(P)
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau
cùng song song với một đường
thẳng thì giao tuyến của chúng
song song với đường thẳng đó
(P) (Q) d(P) / /a d / /a(Q) / /a
Q P
§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là song
song với nhau nếu chúng không có
điểm nào chung
Q P
II.Các định lý:
Trang 8ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường
Q P
ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm
một trong hai mặt phẳng song
song thì song song với mặt phẳng
Q P
ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông
góc với hai đường thẳng cắt nhau a
ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho
đường thẳng a không vuông góc với
mp(P) và đường thẳng b nằm trong
(P) Khi đó, điều kiện cần và đủ để
b vuông góc với a là b vuông góc
với hình chiếu a’ của a trên (P)
§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC I.Định nghĩa :
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900
II Các định lý:
Trang 9ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q)
vuông góc với nhau thì bất cứ
đường thẳng a nào nằm trong (P),
vuông góc với giao tuyến của (P) và
(Q) đều vuông góc với mặt phẳng
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q)
vuông góc với nhau và A là một
điểm trong (P) thì đường thẳng a đi
qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ
ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau
và cùng vuông góc với mặt phẳng
thứ ba thì giao tuyến của chúng
vuông góc với mặt phẳng thứ ba
giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình
chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc
P
2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt
phẳng song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P)
song song với a là khoảng cách từ một điểm
nào đó của a đến mp(P)
d(a;(P)) = OH
a
H O
Trang 10h
b c
a a
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
§4.GÓC
1 Góc giữa hai đường thẳng a và b
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi
qua một điểm và lần lượt cùng phương với a
a' a
2 Góc giữa đường thẳng a không vuông
góc với mặt phẳng (P)
là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên
mp(P)
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng
(P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong
2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến
tại 1 điểm
b a
Q P
4 Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích
của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện
tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì
trong đó là góc giữa hai mặt phẳng (P),
B A
S
ÔN TẬP 3 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:
Trang 11B h
Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’
là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA,
C B
C
C'
Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 ,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 ,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = a2 b2c2 ,
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = 3
2
a
3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy)
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều
Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án:
Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong k phương án, mỗi phương án có thể được thực hiện bởi ni cách (i = 1,…, k ) Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n1 + n2 + …+ nk cách
Chú ý: Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của A B là
B A B
Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn bất kì thì số phần tử của A B là
A B A B A B
3 Quy t ắ c nhaâân :
Quy tắc nhân cho công việc có nhiều công đoạn:
Giả sử một công việc bao gồm k công đoạn, mỗi công đoạn có thể được thực hiện theo ni cách (i = 1,…,k ) Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1n2…nk cách
Trang 124 Giai thừa: Với n, p ℕ
5.Hoán vị: Kết quả của sự sắp xếp n phần tử khác nhau theo một thứ tự nào đó gọi là một hoán vị
của n phần tử đó Kí hiệu Pn Ta có công thức tính như sau: P n = n.(n- 1) .2.1= n! (n N * ).
Chú ý : Hoán vị vòng quanh:
Cho tập A gồm n phần tử Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vịvòng quanh của n phần tử
Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: Qn = (n – 1)!
6.Chỉnh hợp: Cho A là một tập hợp gồm n phần tử, một tập con của A gồm k (1 k n)phần tử khác nhau và
được sắp xếp theo một thứ tự nào đó gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử,
n C
( Hệ số các số hạng cách đều hai biên thì bằng nhau)
+ Số hạng tổng quát của sự khai triển, kí hiệu là Tk + 1, có dạng
k n k k
T C a b
, k = 0, …, n (chỉ số k + 1 là số thứ tự tính từ trái qua phải của số hạng tương ứng trong sự khai triển).
+ Tổng các hệ số trong khai triển (a+b)n là : 0 1 2 n 2n
C C C C
CẤP SỐ CỘNG
1 Định nghĩa : Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn ), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng
đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d
* Số d được gọi là công sai của cấp số cộng
Trang 133 Tính chất các số hạng của cấp số nhân U k2 U k1 U k1hay U k U k1 U k1
4 Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân : Cho cấp số nhân có công bội q khác 1.
Ta có :
1
1 1
2 1
U S
n n
n
LỚP 12
PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
§1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a ; b)
Nếu f’(x) > 0 , x(a ; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a ; b)
Nếu f’(x) < 0 , x(a ; b) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a ; b)
(Nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng (a ; b) thì định lý vẫn còn đúng).
§2 CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 (có thể trừ tại x0)
a) Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x0- ; x0) ;f’(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + ) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số b) Nếu f’(x) < 0 trên khoảng(x0 - ; x0) ; f’(x) > 0 trên khoảng (x0; + x0) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x0, đạo hàm đổi dấu thì điểm x0 là điểm cực trị
1) Nếu f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu
2) Nếu f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại
Nói cách khác: 1) f’(x0) = 0, f”(x0) > 0 x0 là điểm cực tiểu
Trang 14+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a ; b)
+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là
thì đường thẳng (d) có phương trình x = x0 là tiệm cân đứng của đồ thị (C)
2) Tiệm cận ngang: Nếu lim ( ) 0
x f x y
thì đường thẳng (d) có phương trình y = y0 là tiệm cân ngang của đồ thị(C)
3) Tiệm cận xiên: Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) : y = ax + b là một tiệm cận của đồ thị (C) là
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x f x
hoặc lim [ ( ) (ax+b)] 0x f x hoặc lim[ ( ) (ax+b)] 0x f x
4) Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y = ax+b
x
( )lim b= lim[ ( ) ax]
Chú ý : Đối với hàm phân thức hữu tỉ y = P(x)
Q(x) có TCX , bằng cách thực hiện phép chia đa thức P(x) cho Q(x)
ta viết hàm số dưới dạng y = ax + b + (x) , trong đó xlim
- Chiều biến thiên, cực trị
- Tính lồi lõm, điểm uốn,
x
y
O
I
Trang 15 Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx 2 + c (a 0)
d cx
b ax
(tử, mẫu không có nghiệm chung, )
Phần III: ÔN TẬP CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình:
f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1)
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát
+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trụcOx
Các bước giải
Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1)
Bước : Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận
Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b)
x O
O
I
Dạng 1: hàm số có cực trị
Trang 16 Ta sử dụng công thức
b a
Sf x dx( ) (I)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), (C’) : y = g(x) / [a;b]
Ta sử dụng công thức
b a
Sf x( ) g x dx( ) (II)
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox
V g y( ) dy (IV)
Đặc biệt hóa trong các trường hợp khi cần thiết hoặc phù hợp với một đề bài cụ thể, đồng thời nắm được các bước cơ bản khi giải dạng toán này:
Khi cần tính diện tích 1 hình phẳng:
Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (I) hay (II) (có hay không có Ox).
Xác định được cận dưới a và cận trên b (nếu chưa có thì biết đi tìm)
Dựa vào đồ thị (hoặc xét dấu riêng), để biết dấu của biểu thức f(x)/[a;b] (hay dấu của f(x) – g(x) /[a;b])
Biết các bước trình bày bài giải và tính đúng kết quả
Khi cần tính thể tích vật thể tròn xoay:
Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (III) hay (IV) (hình sinh quay quanh Ox hay quay quanh Oy)
Xác định các cận trên, cận dưới và tính đúng kết quả
Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
Số giao diểm của hai đường cong (C1) y = f(x) và (C2) y = g(x) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) (1)
Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x0 thì hàm số có cực trị tại x = x0
Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu từ + – khi x qua x0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x0
Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu từ – + khi x qua x0 thì hàm số có cực đại tại x = x0
(Điều này vẫn đúng khi hsố không có đạo hàm tại x0 nhưng hàm số có xác định tại đó)
Hoặc: * Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x0) 0 thì hàm số có cực trị tại x = x0
* Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x0) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x0
* Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x0) < 0 thì hàm số có cực đại tại x = x0
Dạng 5 : Viết PTTT của đồ thị hàm số
Trang 17Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M0(x0;y0) (C).
Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y0 = f’(x0)x x 0 hay y – y0 = k(x – x0) (*) ( với k = f’(x0) )
Bước 2: Tìm các thành phần chưa cĩ x0, y0, f’(x0) thay vào (*)
Bài tốn 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số gĩc k của tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vuơng gĩc với 1 đường thẳng (D) )
C1: Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k x = x0 ( hồnh độ tiếp điểm)
Bước 2: Tìm y0 và thay vào dạng y = k(x – x0) + y0 Ta cĩ kết quả
C2: Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) (trong đĩ m là tham số chưa biết)
k = ? thay vào (**) Ta cĩ kết quả
Bài tốn3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(xA;yA)
Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và cĩ hệ số gĩc k cĩ dạng : y – yA = k(x – xA) (1)
Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau cĩ nghiệm:
Bước 3: Giải tìm k và thay vào (1) Ta cĩ kết quả
Vấn đề I : Luỹ thừa Kiến thức cần nhớ
Vấn đề II : Lôgarit Kiến thức cần nhớ
Cho a > 0 , b > 0 , a 1 , u > 0 , v > 0
1) a c b c loga b ; 2) a a b b
log ; 3) loga1 0 4) loga a 1
5) loga(uv) loga u loga v ; 6) u v
v
u
a a
a( ) log log log ; 7) loga b loga b
16) a > 1 thì loga u loga v u ; 17) 0 < v a < 1 thì loga u loga v u v
a 7)
a a
a : ; 8) ab a b
9) a : b a : b
Trang 18Vấn đề III : Hàm số Mũ và hàm số Lôgarit Kiến thức cần nhớ
1) Cho a > 0 , a 1 , x R Hàm số mũ y = ax
* Tập xác định R
* Tập giá trị 0 , ( tức là ax > 0 với mọi x )
* Khi a > 1 hàm số mũ luôn luôn đồng biến
xlim log ; lim log
xlim log ; lim log
u u
a x
x a
x x
u u u
u u u
x x
x x
a a
a a
ln log
; ln log
ln 1 log
; ln 1 log
ln
; ln
1 ln
; 1 ln
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
1) Phương trình mũ cơ bản ax = b , (0 a 1)
Nếu b 0 , phương trình vô nghiệm
Nếu b > 0 , phương trình có 1 nghiệm x = loga b
2) Phương trình mũ đơn giản
a) Đưa về phương trình mũ cơ bản bằng cách áp dụng các phương pháp :
* Đưa về cùng cơ số
* Đặt ẩn phụ
*Lấy lôgarit hai vế ( lôgarit hoá )
b) Phương trình có thể giải bằng phương pháp đồ thị
c) Phương trình có thể giải bằng cách sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ
B) PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1) Phương trình lôgarit cơ bản : loga x = b , (0 a 1) Phương trình luôn có 1 nghiệm x = a b
2) Phương trình logarit đơn giản
a) Đưa về phương trình logarit cơ bản bằng cách áp dụng các phương pháp :
* Đưa về cùng cơ số
* Đặt ẩn phụ
* Mũ hoá hai vế
b) Phương trình có thể giải bằng phương pháp đồ thị
c) Phương trình có thể giải bằng cách sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số lôgarit
