213 đề HSG toán 7 huyện

3,5 điểm Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy điểm , D trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CEBD.Gọi I là trung điểm của DE Chứng minh ba... Học sinh chứng minh được AD

ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 Bài 1 (4 điểm)

Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì: 3n2 2n2  3n 2nchia hết cho 10

P x   x x x x  x x và

Q x   x x x x  x x Giá trị của biểu thức 1 1

P Q 

   

   có dạng biểu thức hữu tỉ là ; ,a a b ; ,a b

b  là 2 số nguyên tố cùng nhau

Chứng minh a 5

Bài 3 (3 điểm) Cho dãy tỉ số bằng nhau:

2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d

Hãy tìm giá trị của biểu thức M a b b c c d d a

c d d a a b b c

Bài 4 (4 điểm)

a b b c c a

   với a b c, , 0 a) Chứng minh M 1

b) Chứng tỏ rằng M không phải là số nguyên

Bài 5 (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy điểm , D trên tia đối của tia

CA lấy điểm E sao cho CEBD.Gọi I là trung điểm của DE Chứng minh ba điểm , ,B I C thẳng hàng

Bài 6 (2,5 điểm)

Cho ABC cân tại A có , A100 ,0 tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D Chứng minh : ADBDBC

ĐÁP ÁN Bài 1

   

3n 2n 3n 2n  3n 3n  2n 2n 10.3n 5.2n

Vì n nguyên dương nên 2 2 n 5.2 10n và 10.3 10n

Vậy 3n2 2n2  3n 2 10n

Bài 2

Đặt

AP Q          

Suy ra

A      

Từ (1) và (2) suy ra

2009

2009

1 8

a

b

 

 

Ta thấy: 22012  1 41006 1 3;22012 1và 22009là hai số nguyên tố cùng nhau nên 2012

2  1 3 a

2012 503

3a2  1 16 1.Vì 16503có chữ số tận cùng là 6 nên 3a có chữ số tận cùng

là 5, suy ra số này chia hết cho 5 3 và 5 nguyên tố cùng nhau nên a 5

Bài 3 Từ

a b c d a b c d a b c d a b c d

a b c d a b c d a b c d a b c d

Nếu a   b c d 0thì a   b c d M     1 1 1 1 4

Nếu a        b c d 0 a b c d b;   c da;

c   d a b d    a b c

Khi đó: M                 1 1 1 1 4

Bài 4

a) Vì a b c, , 0nên a a ; b b ; c c

a b  a b c b c a b c c a a b c

1

M

a b b c c a a b c

 

Vậy M 1

a b b c c a a b b c a c

3

a b a b b c b c c a c a

a b b c a c

Suy ra : M a b c 2 (2)

a b b c c a

Từ (1) và (2) suy ra : 1M 2nên M không phải là số nguyên

Bài 5

Kẻ DF / /AC F BC

DFB ACB (2 góc đồng vị) ,mà ABC ACB (tam giác ABC cân)

DFB ABC DBF

,

DBDF mà DF CE gt( )DFCE IDF IEC cgc( ) DIF EIC

Vậy ba điểm , ,B I C thẳng hàng (vì 3 điểm , , D I E thẳng hàng)

I F

E

B

C A

D

Bài 6

Trên cạnh BC lấy 2 điểm E F sao cho: , BEBA BF, BD Học sinh chứng minh

được AD DE

Học sinh chứng minh được DFEcân tại DDEDF

Chứng minh được DFC cân tại FDF FCDEFC

Suy ra ADBDBC

F E

D

C A

B