001 đề HSG toán 7 huyện thanh oai 2014 2015

Chứng minh rằng góc IAJ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ nhất Câu 5... Mà AB cũng là phân giác ngoài tại đỉnh L của tam giác LDK Hay CL vuông góc

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

THANH OAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7 Năm học 2014-2015 Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút

(không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (6,0 điểm) Tìm x biết

5

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng đa thức 2

2 2

x  x vô nghiệm b) Cho tỉ lệ thức a c.

b d Với 3

2

b

d   Chứng minh:

2 2

2 2

Câu 3 (4,0 điểm)

a) Tìm x biết x  3 2x x 4

b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức 8

3

x B

x





 đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 4 (5,0 điểm)

Cho ABCnhọn, AD vuông góc với BC tại D Xác định I; J sao cho AB là trung trực của DI, AC là trung trực của DJ;IJ cắt AB ; AC lần lượt ở L và K Chứng minh rằng

a) AIJcân

b) DA là tia phân giác của góc LDK

c) BK AC CL;  AB

d) Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh BC Chứng minh rằng góc IAJ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ nhất

Câu 5 (1,0 điểm)

Tìm x, y thuộc biết : 2  2

25 y  8 x 2009

ĐÁP ÁN HSG 7 THANH OAI 2014-2015 Câu 1

a)

         

Vậy 5

6

x

b) 2x   1 x 1

Nếu 1

2

x ta có 2x     1 x 1 x 2(thỏa mãn)

Nếu 1

2

x ta có:       2x 1 x 1 x 0(thỏa mãn)

Vậy x 2hoặc x 0

c) 3 1 2

5  2x  5

5 2x 5 x 5

5  2x    5 x Vậy 2

5

x hoặc x 2

Câu 2

2 2 2 1 1 1 1

x  x x  x   x 

Vì  2  

1 0

x  x nên  2  

1 1 1

x   x Do đó đa thức đã cho vô nghiệm

b) 1) Với 3; 2 2 3 3 2 3 2 3

2)a c a c a c (1)





b  d b  d bd

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Câu 3 a x)   3 2x x 4 (1)

Lập bảng xét dấu

x -3 4

x+3 - 0 + +

x – 4 - - 0 + Xét khoảng x 3,ta có (1) trở thành  2x    7 x 3,5(thuộc khoảng đang xét) Xét khoảng    3 x 4, ta có (1) trở thành 0.x 1(không có giá trị nào của x thỏa mãn)

Xét khoảng x 4, ta có (1) trở thành:  2x    7 x 3,5(không thuộc khoảng đang xét)

Kết luận : Vậy x  3,5

b) Biến đổi 8 5  3 5

1

x x

B

 



B đạt giá trị nhỏ nhất 5

3

x



 nhỏ nhất Xét x 3và x 3, ta được 5

3

x có giá trị nhỏ nhất bằng 5 tại x2 Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của B bằng – 6 tại x 2

Câu 4

a) Do AB; AC là trung trực của AB

Nên AI = AD; AD=AJAI AJ AIJ cân tại A

b) ALI  ALD c c c( )  I1 D1

Tương tự AKD AKJ c c c( ) D2 J2

Mà AI Jcân (câu a) I1 J2

   là tia phân giác của LDK

c) Chứng minh được KC là phân giác ngoài tại đỉnh K của tam giác DLK Chứng minh được DC là phân giác ngoài tại đỉnh D của tam giác DLK Suy ra LClà tia phân giác trong tại đỉnh L của tam giác DLK

2

2 1 1

K L

J

I

D A

Mà AB cũng là phân giác ngoài tại đỉnh L của tam giác LDK

Hay CL vuông góc với AB tại L

Chứng minh tương tự : BK vuông góc với AC tại K

d) Chứng minh được IAJ  2BAC (không đổi)

*AIJcân tại A có IAJ không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nhất nến cạnh bên AI nhỏ nhất Ta có AI ADAH(AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC) Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi DH

Vậy khi D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC thi IJ nhỏ nhất

Câu 5

Ta có: 2  2

25 y  8 x 2009

2

Vì 2

0

y  nên  2 25

2009

8

x  , suy ra  2

2009 0

2009 1

Với  2

2009 1

x  , thay vào (*) ta có: 2

17

y  (loại) Với  2

2009 0

x  thay vào (*) ta có 2

25,

y  suy ra y 5 (do y )

Từ đó tìm được x 2009,y 5