095 đề HSG toán 7 tỉnh bắc giang 2012 2013

Tính số viên bi của mỗi bạn Câu 3.. Tìm n biết n4và 2n đều là các só chính phương.. 6,0 điểm Cho tam giác ABC cân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn 1 Về phía ngoài của tam giác v

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2012-2013 MÔN: TOÁN 7 Câu 1 (4,0 điểm)

1) Rút gọn : 3 2 1 : 3 2 1

2 5 10 2 3 12

A       

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2012  x 2013với x là số tự

nhiên

Câu 2 (5,0 điểm)

1) Tìm x biết: 2x2.3 5x1 x 10800

2) Ba bạn An, Bình, Cường có tổng số viên bi là 74 Biết rằng số viên bi của

An và Bình tỉ lệ với 5 và 6; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5

Tính số viên bi của mỗi bạn

Câu 3 (4,0 điểm)

1) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng p22012là hợp số

2) Cho n là số tự nhiên có 2 chữ số Tìm n biết n4và 2n đều là các só chính

phương

Câu 4 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn

1) Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân ở B Gọi H là trung

điểm BC, trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI BC.Chứng minh

hai tam giác ABI và BEC bằng nhau và BI CE

2) Phân giác của các góc ABC BDC cắt , AC BC lần lượt tại ,, D M Phân giác

của góc BDAcắt BC tại N Chứng minh 1

2

BD MN

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho 1 1 1 1 1 1 1

2 3 4 2011 2012 2013

1007 1008 2012 2013

P     Tính  2013

S P

ĐÁP ÁN Câu 1

1)

:

10 10 10 12 12 12

12 11 6 12 72

10 12 5 11 55

Vậy 72

55

A

2) P x 2012  x 2013

Nếu x2012 hoặc x2013 thì P1

Nếu x2013thì P x 2012  x 2013   1 x 2013 1

Nếu x2012thì P x 2012  x 2013  x 2012  1 1

Do đó giá trị nhỏ nhất của P bằng 1, đạt được khi x2012hoặc x2013

Câu 2

1) Ta có:

2

2 3 5 2 2 3 3.5 10800

x x x x x x

x

Vậy x2 là kết quả cần tìm

2) Gọi số viên bi của An, Bình, Cường lần lượt là a b c Vì tổng số viên bi của , ,

ba bạn là 74 nên a  b c 74

Vì số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6 nên

5 6 10 12

a  b a  b

Vì số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5 nên

4 5 12 15

10 12 15 10 12 15 37

a  b  c  a b c  

 

Suy ra a20;b24;c30

Câu 3

1) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng p3k1k ,k 1

Với p3k1

Với p3k1

Vậy p2 2012là hợp số

2) Vì n là số có hai chữ số nên 9 n 100 18 2n200

Mặt khác 2n là số chính phương chẵn nên 2n có thể nhận các giá trị: 36;64;100 ;

144;196

Với 2n36 n 18  n 4 22không là số chính phương

Với 2n64 n 32  n 4 36là số chính phương

Với 2n100 n 50  n 4 54 không là số chính phương

Với 2n144 n 72  n 4 76 không là số chính phương

Với 2n196 n 98  n 4 102 không là số chính phương

Vậy số cần tìm là n32

Câu 4

1) Xét hai tam giác AIB và BCE có: AI BC;BEBA

Góc IABlà góc ngoài của ABHnên:IAB ABH AHB ABH 900

Ta có: EBCEBAABC ABC900IABEBC

Do đó: ABI  BEC c g c( )

Do ABI  BECAIBBCE

Trong tam giác vuông IHB vuông tại H có: AIBIBH 900

90

BCEIBH 

Vậy CE vuông góc với BI

2) Do tính chất của đường phân giác, ta có: DM DN

Gọi F là trung điểm của MN Ta có: FM FDFN

M D I

H E

A

Tam giác FDM cân tại F nên FMDMDF

FMDMBDBDM(góc ngoài của tam giác)

(1)

Ta có: MCDCDF CFD (2)

Do tam giác ABC cân tại A nên MCD2MBD (3)

Từ (1), (2), (3)MBDDFChay tam giác DBF cân tại D

2

BDDF  MN

Câu 5 Ta có:

1007 1008 2012 2013

2 1006 1007 1008 2012 2013

1

2 1006 1007 1008 2012 2013

1 1 1

1

2 3 4

     1 1

2012 2013 S

Do đó  2013

0

S P 