Gọi M N, là hai điểm nằm trên đoạn AC sao cho AC= AN = AM Hai đường thẳng DM và DN cắt AB lần lượt tại P và Q.. Chứng minh: a Hai tam giác AMP AQN, đồng dạng, từ đó chỉ ra MNQP là tứ giá
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN - LỚP 9 Ngày thi: 20/ 3/ 2016
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (6,0 điểm)
1) Cho biểu thức
2
2
1
2
2
a
+
−
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
2) Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình x2−2x− =5 0 Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức 3 2
B= −x 2x −5x +8x +2008
Câu 2 (4,0 điểm)
1) Giải phương trình 6x2+10x− +92 (x+70 2) ( x2+4x+16) =0
2) Giải hệ phương trình 2 ( ) ( ) ( )
2
1
+ =
Câu 3 (3,0 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x y, ) sao cho 5x+12x=y2
2) Chứng minh số ( ) (2016 )2016
2+ 3 + −2 3 là số chẵn
Câu 4 (6,0 điểm)
1) Cho hình vuông ABCD Gọi M N, là hai điểm nằm trên đoạn AC sao cho
AC= AN = AM Hai đường thẳng DM và DN cắt AB lần lượt tại P và Q Chứng minh: a) Hai tam giác AMP AQN, đồng dạng, từ đó chỉ ra MNQP là tứ giác nội tiếp
b) Đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN và DC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN
2) Cho hai đường tròn (O R; ) và ( )I r; tiếp xúc ngoài nhau tại điểm P, (R r> ) Hai tiếp tuyến chung ngoài AE BD, của hai đường tròn cắt nhau tại C (AE BD, không đi qua P; A B, thuộc ( )O và ,
D E thuộc ( )I ) Tính số đo góc ·ACB biết DE=2cm AB; =6cm
3) Trong hình chữ nhật có chiều dài và rộng lần lượt bằng 4 và 3 cho 49 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có các đỉnh thuộc 49 điểm trên mà diện tích nhỏ hơn 1
2×
Câu 5 (1,0 điểm) Cho số thực x thỏa mãn 1≤ ≤x 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
3
T
−
HẾT
-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký)
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NGÀY THI 20/ 3 / 2016 MÔN THI: TOÁN - LỚP 9
(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)
Câu 1
1.1
(4.0 điểm)
a)
a
a
1 a 4 a 1 a a 4
b)
0.75
A đạt giá trị nhỏ nhất là 15
4 khi và chỉ khi
2 4 1
2
Giải ra được 17
2
0.75
1.2
(2.0 điểm)
Chứng minh phương trình có nghiệm và theo Vi-et ta có x1+ =x2 2 0.5
3 2
2 5 2016
Mà x1 là nghiệm của phương trình x2−2x− =5 0 nên
1 1 1
Câu 2
2.1
(2.0 điểm)
+) Đặt u= 2x2+4x+16; v= x+70,(u>0;v³ 0).
+) Phương trình đã cho trở thành 3u2- 2v2+uv= Û0 (3u- 2v u v)( + ) =0 0.5
3u 2v 0 3u 2 v
Từ đó ta có 3 2x2+4x+16=2 x+70 0.25 Giải ra được x = hoặc 2 34
9
x= -Kết luận
0.5
2.2
(2.0 điểm) 2 ( ) ( ) ( )
2
1 2 3 121 (1)
+ =
Thay 2
1
y = −x vào (1) ta được x x x+ ( +1) (x+2) (x+ =3) 122 (3) Xét 1£ x<2 chỉ ra được VT(3) <122
0.75
Trang 3Xét x >2 chỉ ra được VT(3)>122
Với x =2 ta có VT(3)=122 Suy ra y=1;y= - 1
Vậy hệ có hai nghiệm ( )2;1 và (2; 1- ) 0.75
Câu 3
3.1
(1.5 điểm)
Nhận xét x = không thoả mãn phương trình Khi đó 1 x ³ 2
Từ phương trình ta thấy y lẻ.
Vì 12 8xM
, y chia cho 8 dư 1 với y lẻ nên 2 5x º 1 mod8( ) , dẫn ra x chẵn.
Đặt x=2k k( Î ¥*) , thu được phương trình 52k =(y- 12k) (y+12k)
0.5
Do 5 nguyên tố nên tồn tại mÎ ¥,m k< sao cho 12 52
12 5
y y
-ìï + = ïïí
ïïî Suy ra 2.12k =5 5m( 2k- 2m- 1)
0.25
Do 2, 12 đều nguyên tố cùng nhau với 5 mà 2.12 5kMmnên m = và ta được0
12k 1
5k +12k = 12k +1 Þ 2.12k =25k- 1 *
0.25
2
k ³ thì 25k- 1 24> k =2 12k k >2.12 k (loại)
1
k = thoả mãn, tìm ra được x=2,y=13.
Vậy phương trình có nghiệm ( ) (x y =; 2;13).
0.5
3.2
(1.5 điểm)
Đặt S n = +(2 3) (n+ −2 3)n
Kiểm tra S S là các số tự nhiên chẵn.1, 2
0.5
1
1
n
S
+
= - " ³
0.5
Do S S là số chẵn nên 1, 2 S chẵn 3 S S chẵn nên 2, 3 S cũng là số chẵn 4
Lập luận lại quá trình trên ta được S2016 là số chẵn. 0.5
Câu 4
Trang 4(3.0 điểm)
P Q
M
D A
N
a) Đặt AB =a
Ta có DMAP,DMCD đồng dạng nên 1
3
2
;
0.5
Ta có DNAQ,DNCD đồng dạng nên 1
2
2;
0.5
Từ đó ta có AP AM
AN = AQ suy ra hai tam giác DAMP,DAQN đồng dạng 0.5
Suy ra CM CN =a2=CB2=CD2
0.5
Kết luận: BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN và DC tiếp
4.2
(2.0 điểm)
H
D
C
O
P
I
A
E
B
Trang 5Kẻ DH / /CO Gọi ·ACB a= ta có HDB· =BCO· =a2 0.5 Trong tam giác vuông HBD có sin
2
-+
0.5
Khẳng định hai tam giác OAB IED đồng dạng nên ; R AB 3 R 3r
0.5
Vậy sin 1
a = suy ra 0
60
4.3
(1 điểm)
Chia hình chữ nhật 4 3´ thành 24 hình chữ nhật 1 1
2´ , mỗi hình chữ nhật có diện tích là 1
2×
0.5
Vì có 49 điểm nằm trong 24 hình chữ nhật nên tồn tại một hình chữ nhật 1 1
2´ chứa ít nhất 3 điểm trong 49 điểm đã cho
Tam giác có ba đỉnh là 3 điểm nằm trong hình chữ nhật này có diện tích nhỏ hơn 1
2×
0.5
Câu 5
(1.0 điểm)
Biến đổi biểu thức 3 6 2 9 2
T
+) Vì 1≤ ≤ ⇒x 2 3x x− 2 =x(3− >x) 0
Mặt khác
2
3
x x− = −x− ≤
9
3
-T
x x
Dấu bằng khi 3
2
0.25
Ta lại có 3x x− 2 = + −2 (x 1 2) ( − ≥x) 2 suy ra 2 9 2 2 9 13
T
x x
Dấu bằng khi x =1 hoặc x =2
0.25
Kết luận: GTLN của T bằng 13
2 khi x =1 hoặc x =2 GTNN của T bằng 6 khi 3
2
0.25
Lưu ý khi chấm bài:
Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng.