3 Trong hình chữ nhật có chiều dài và rộng lần lượt bằng 4 và 3 cho 49 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN - LỚP 9 Ngày thi: 20/ 3/ 2016
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (6,0 điểm)
1) Cho biểu thức
2
2
1
2
2 4 2
a
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
2) Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình x2 2x 5 0. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức Bx13 2x22 5x18x22008
Câu 2 (4,0 điểm)
1) Giải phương trình 6x210x 92 x70 2 x24x16 0
2) Giải hệ phương trình
2 2
1
Câu 3 (3,0 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên x y, sao cho 5x12xy2.
2) Chứng minh số 2 320162 32016
là số chẵn
Câu 4 (6,0 điểm)
1) Cho hình vuông ABCD Gọi M N, là hai điểm nằm trên đoạn AC sao cho
AC AN AM Hai đường thẳng DM và DN cắt AB lần lượt tại P và Q Chứng minh: a) Hai tam giác AMP AQN, đồng dạng, từ đó chỉ ra MNQP là tứ giác nội tiếp
b) Đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN và DC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN
2) Cho hai đường tròn O R; và I r; tiếp xúc ngoài nhau tại điểm P, R r Hai tiếp tuyến chung ngoài AE BD, của hai đường tròn cắt nhau tại C (AE BD, không đi qua P; A B, thuộc O và ,
D E thuộc I ) Tính số đo góc ACB biết DE2cm AB; 6cm
3) Trong hình chữ nhật có chiều dài và rộng lần lượt bằng 4 và 3 cho 49 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có các đỉnh thuộc 49 điểm trên mà diện tích nhỏ hơn
1
2
Câu 5 (1,0 điểm) Cho số thực x thỏa mãn 1 x 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
T
HẾT
-Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NGÀY THI 20/ 3 / 2016
MÔN THI: TOÁN - LỚP 9
(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)
Câu 1
1.1
(4.0 điểm)
a)
a
1.0
a
b)
0.75
A đạt giá trị nhỏ nhất là
15
4 2
a - = ×
Giải ra được
17 2
0.75
1.2
(2.0 điểm)
3 2
2 5 2016
0.75
Mà x1 là nghiệm của phương trình x2 2x 5 0 nên
1 1 1
Câu 2
2.1
(2.0 điểm)
3u 2v 0 3u 2 v
34 9
x=
-Kết luận
0.5
Trang 3(2.0 điểm)
2 2
1 2 3 121 (1)
Thay y2 x 1 vào (1) ta được x x x 1 x2 x3 122 (3)
Xét 1£ x<2 chỉ ra được VT(3) <122
Xét x >2 chỉ ra được VT(3)>122
0.75
Với x =2 ta có VT(3)=122 Suy ra y=1;y= - 1
Câu 3
3.1
(1.5 điểm)
Từ phương trình ta thấy y lẻ.
Vì 12 8xM
, y2chia cho 8 dư 1 với y lẻ nên 5x º 1 mod8( )
, dẫn ra x chẵn.
Đặt x=2k k( Î ¥*)
, thu được phương trình 52k =(y- 12k)(y+12k)
0.5
sao cho
2
12 5
12 5
y y
-ìï + = ïïí
ïïî
Suy ra 2.12k =5 5m( 2 2k- m- 1)
0.25
12k 1
y = + .
5k+12k = 12k +1 Þ 2.12k =25k- 1 *
0.25
2
k ³ thì 25k - 1 24> k =2 12k k >2.12 k (loại).
1
Vậy phương trình có nghiệm ( ) (x y =; 2;13)
0.5
3.2
(1.5 điểm) Đặt S n 2 3 n 2 3n
Kiểm tra S S1, 2
là các số tự nhiên chẵn
0.5
1
1
n
S
+
= - " ³
0.5
Do S S1, 2
là số chẵn nên S3 chẵn S S2, 3
Trang 4Lập luận lại quá trình trên ta được S2016 là số chẵn.
Câu 4
4.1
(3.0 điểm)
P Q
M
D A
N
1 3
AM AP
MC =CD =
2;
0.5
1 2
AN AQ
NC =CD =
2
;
0.5
Từ đó ta có
AP AM
b) Ta có
CM = AC = a CN = AC = a
0.5
Trang 5(2.0 điểm)
H
D
C
O
P
I
A
E
B
2
HB R r
HD R r
+
0.5
r =DE = Þ =
0.5
Vậy
1 sin
2 2
a
=
4.3
(1 điểm)
1 1
diện tích là
1
2×
0.5
Vì có 49 điểm nằm trong 24 hình chữ nhật nên tồn tại một hình chữ nhật
1 1
2´
chứa ít nhất 3 điểm trong 49 điểm đã cho
Tam giác có ba đỉnh là 3 điểm nằm trong hình chữ nhật này có diện tích nhỏ hơn
1
2×
0.5
Câu 5
(1.0 điểm)
2
T
+) Vì 1 x 2 3x x 2 x3 x 0.
Mặt khác
2
3
x x x
9
3
-T
x x
Dấu bằng khi
3 2
x =
0.25
Ta lại có 3x x 2 2 x 1 2 x 2
T
x x
Dấu bằng khi x =1 hoặc x =2
0.25
13
0.25
Trang 6GTNN của T bằng 6 khi
3 2
x =
Lưu ý khi chấm bài:
Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng.