Một số dạng toán MTBT

Nếu còn tiếp thì làm tương tự như thế... Khi thương nhỏ hơn số chia dừng lại... Biết rằng người đó không rút tiền lãi ra.. Biết rằng người đó không rút tiền lãi ra... a Hỏi sau 10 năm, n

4) D = 1234563 KQ: 1.881.640.295.202.8165) E = 2222255555 x 2222266666 KQ: 4.938.444.443.209.829.630

DẠNG 2 : TÌM SỐ DƯ

a) Khi số bị chia A tối đa 10 chữ số :

Số dư của A=A-Bn

B (n là phần nguyên của A chia cho B)

Cách ấn : A ÷ B = màn hình xuất hiện là số thập phân Đưa con trỏ lên biểuthức sửa lại A − B × phần nguyên của A chia cho B (còn hiện trên máy) và

ấn = sẽ cho ra kết quả là số dư của A chia cho B

Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 2000820009 cho 2010

Ấn: 2000820009 ÷ 2010 =

Máy hiện kết quả là : 995432,8403

Đưa con trỏ lên dòng biểu thức sửa lại là :

b) Khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số:

Nếu như số bị chia A nhiều hơn 10 chữ số Ta lấy 10 chữ số (đếm từ tráisang) của số A đem chia cho số B, tìm số dư lần 1 Sau đó lấy số dư lần 1 nốitiếp với các số còn lại của số A (tối đa 10 chữ số) rồi chia tiếp cho B, tìm số dưlần 2 Nếu còn tiếp thì làm tương tự như thế

Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 24728303034986074 cho 2003

- Tìm số dư của 2472830303 chia cho 2003 được kết quả là 614

- Tìm tiếp số dư của 6144986074 chia cho 2003 được kết quả là 401

Vậy số dư của 24728303034986074 chia cho 2003 là 401

BÀI TẬP : Tìm số dư r khi chia

c) Khi số bị chia được cho bằng dạng luỹ thừa quá lớn:

Dùng phép đồng dư thức theo công thức

a ≡m (mod p) a.b ≡ m.n (mod p)

⇒

Vậy : 20012010 chia cho 2003 có số dư là 256

Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 19971997 cho 13

Vậy số dư của phép chia 19971997 cho 13 là 8

Ví dụ 3: Tìm chữ số cuối của một luỹ thừa

Vậy chữ số hàng đơn vị của 172002 là 9

d) Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng

Vậy: hai chữ số cuối cùng của tổng A là 48

BÀI TẬP: Tìm dư khi chia

11/ CMR 22225555 + 55552222 M 7

12/ Tìm chữ số hàng đơn vị của 1032006 KQ: 9

13/ Tìm chữ số hàng trăm của 292007 KQ : 3

DẠNG 3: TÌM SỐ x CỦA SỐ n = a a n n−1 xa a m1 0 M ( Với m ∈ N*)

Phương pháp: Thay x lần lượt từ 0 đến 9 sao cho n M m

Ví dụ 1: Tìm số a biết 17089 2a chia hết cho 109

Ta có : 469283861 chia cho 2005 dư 1581

Bài toán trên trở thành tìm b biết rằng 1581 6505b chia hết cho 2005

Thay b lần lượt từ 0 đến 9 ta được 158196505 chia hết cho 2005

Vậy b = 9

Ấn nhiều lần phím = chọn kết quả thích hợp được 4713 = 104.487.111 vậy sốcần tìm là: 471

8/ Tìm n nhỏ nhất biết n3 = 111 1111

(HD: Tìm 713 = 11; 471 3 = 111; 8471 3 = 1111 KQ: n = 1038471)9/ Tìm n nhỏ nhất có 3 chữ số biết n121 = 33333

(HD : Gán A = 1; nhập A = A + 0,01:A121 có 1,01121 = 3,3333 KQ : n = 101)10/ Tìm số nhỏ nhất có 10 chữ số biết rằng số đó chia cho 17 dư 2 và khi chiacho 29 dư 5

KQ : 100000033511/ Tìm số nhỏ nhất có 10 chữ số biết rằng số đó chia cho 5 dư 3 và khi chiacho 619 dư 237

KQ : 100000030812/ Tìm tất cả các số có 10 chữ số có chữ số đầu tiên bằng 9 và là luỹ thừa bậc

5 của một số tự nhiên

KQ: 9039207968; 950990049913/ Tìm tất cả các số có 10 chữ số tận cùng bằng 4 và là luỹ thừa bậc 5 của một

số tự nhiên

KQ: 1073741824; 2219006624; 4182119424;733040224

14/ Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho x3 + x2 + 2025 là số chínhphương và nhỏ hơn 10000

KQ : 8; 1515/ Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n sao cho 28 + 211 +2n là một số chính phương

KQ : 1216/ Tìm các chữ số a; b; c; d; e; f trong mỗi phép tính sau Biết rằng hai chữ sốa; b hơn kém nhau 1 đơn vị:

a) ab cdef5 = 2712960 KQ: a= 7;b = 8;c = 3;d =4;e=5;f=6b) a b cdef0 = 600400 KQ:a=3;b=4;c=1;d=9;e=7;f=5c) ab c bac5 = 761436 KQ:a=3;b=2;c=4

17/ Tìm số có 3 chữ số là luỹ thừa bậc 3 của tổng ba chữ số của nó

KQ: 51218/ Tìm số có 4 chữ số là luỹ thừa bậc 4 của tổng bốn chữ số của nó

KQ: 240119/ Tìm 4 số a, b, c, d biết 2; 4; 6

Phương pháp : Gán A = 0 rồi nhập biểu thức A = A + 1 : a ÷A

Ấn nhiều lần phím = , chọn kết quả thích hợp (chọn số chia và thương là

Phương pháp : Gán A = -1 rồi nhập biểu thức A = A + 1 : b x A

Ấn nhiều lần phím = , chọn kết quả thích hợp (tuỳ theo yêu cầu

bài toán )

Ví dụ : Tìm các bội của 14 nhỏ hơn 150

Giải:

Gán : A = -1

Nhập : A = A + 1 : 14 x A

Ấn nhiều lần phím = chọn kết quả phù hợp (nhỏ hơn 150) ta được:

Các bội của 14 nhỏ hơn 150 là : 0; 14; 28; 42; 56; 70; 84; 98; 112; 126; 140

c) Kiểm tra số nguyên tố:

Phương pháp : để kiểm tra một số a (a >1) là số nguyên tố ta chia a cho tất cả các số lẽ từ nhỏ đến lớn Khi thương nhỏ hơn số chia dừng lại

Ví dụ : Số 929 có phải là số nguyên tố không ?

(HD: Gán A = 0, nhập A = A + 1: 3809783 ÷(10A+7), ấn nhiều lần phím = )

KQ:19339

5/ Tìm bội nhỏ nhất của 45 chia 41 dư 10

(HD: Gán A = 0; nhập A = A + 1: (45A -10) ÷41; ấn nhiều lần phím = )

KQ: 1035

II TÌM ƯCLN, BCNN CỦA HAI HAY NHIỀU SỐ:

Phương pháp : A a

B= b (a

b là phân số tối giản của A

B) Thì ƯCLN (A, B) = A ÷a

Màn hình hiện 3,77662703 x 1010 Đây là hiện tượng tràn màn hình số chínhxác sẽ có dạng 377662703ab, muốn tìm hai số cuối cùng a và b ta đưa con trỏ lêndòng biểu thức xoá bớt 2 chữ số đầu của số 168599421 còn 8599421 × 224 = Được kết quả 1.926.270.304

Vậy kết quả đúng của BCNN(168599421;2654176) = 3.776.6270.304

Kiểm tra 37 và 647 là các số nguyên tố

Vậy A có 3 ước nguyên tố là : 37; 103; 647

BÀI TẬP:

1/ Tìm ƯCLN, BCNN của hai số 209865 và 283935

KQ: ƯCLN(209865;283935)=12.345 BCNN(209865;283935)=4.826.8952/ Tìm ƯCLN, BCNN của hai số 2419580247 và 3802197531

KQ: ƯCLN(2419580247;3802197531) = 345.654.321 BCNN(2419580247;3802197531) = 26.615.382.7173/ Tìm ƯCLN, BCNN của hai số 24614205 và 10719433

KQ: ƯCLN(24614205;10719433) = 21311 BCNN(24614205;10719433) = 12.380.945.1154/ Tìm ƯCLN, BCNN của hai số 1234566 và 9876546

KQ: ƯCLN(1234566;9876546) = 18 BCNN(1234566;9876546) = 677.402.660.5025/ Tìm ƯCLN, BCNN của hai số 3022005 và 7503021930

KQ:ƯCLN(3022005;7503021930) = 15 BCNN(3022005;7503021930) = 1.511.611.319.171.3106/ Tìm ƯCLN, BCNN của ba số A = 1139984; B = 157993 và C = 38743

KQ: ƯCLN(A, B, C) = 53 BCNN(A, B, C) = 326.529.424.3847/ Tìm các ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số 2152 + 3142

KQ: Ước nguyên tố nhỏ nhất là 97 Ước nguyên tố lớn nhất là 1493

DẠNG 5 : TÌM CẶP NGHIỆM (X;Y) NGUYÊN DƯƠNG

4x3 +17(2x – y)2 = 161312 KQ: x = 30; y = 4

x = 30; y = 1163/ Tìm cặp số (x; y) nguyên dương với x nhỏ nhất thỏa phương trình

3 156x2 + 807 + (12x)2 = 20y2 +52x +59 KQ: x = 11; y = 294/ Tìm cặp số tự nhiên x, y thỏa mản : x(x + y3) = (x + y)2 +2007

KQ: x = 96; y = 35/ Tìm các số nguyên dương x và y (x > y) sao cho x2 + y2 = 2009

in 35 cos 20 15 40 25 3

sin 42 : 0,5cot 20 4

I TÍNH GIÁ TRỊ CỦA LIÊN PHÂN SỐ:

Phương pháp : - Cách 1 Tính từ trên xuống

- Cách 2 Tính từ dưới lên

Ví dụ : Tính A =

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5 6

+ + + + +

BÀI TẬP : Tính giá trị của các liên phân số sau:

A =

1 5

1 1

1 4

1 3

1 8

1 2 7

+

+

+ + + +

B =

5 4 2

5 2

4 2

5 2 3

+ + + +

KQ : A = 12246

382

1 1

KQ: C = 0,041913102

D =

3

4 5 6

2 1

5 4

7 6

9 8 10

+

+

+ +

E =

1 3

1 1

1 15

1 1 292

+ + + +

= + +

ấn tiếp x−1 = (máy hiện 1 2 15)

ấn tiếp − = 1 (máy hiện 2 15)

ấn tiếp x−1 = (máy hiện 7 1 2)

Vậy a = 7; b= 2

Ví dụ 2:Tìm các số tự nhiên a, b, c, d biết

1 2007

1

a b c d

= +

+ +

1

a b

= + + +

1 3 4

= +

+ + +

1 1

1 1 1 1 4

= + + + + +

1 1

1 1

1 3

1 2

1 2 1 1 2

+ + + + + + + +

1 1

1 2

1 1

1 1 1 1 3

+ + + + + + +

3/ Viết các số sau dưới dạng liên phân số

Ví dụ 2: Tìm x biết : 3 5

5 7 1

Tính

1 1 1

1 2

1 3 4

+ + +

rối Gán cho A ; Tính

1 1 4

1 3

1 2 2

+ + +

BÀI TẬP: Tìm x (hoặc y) biết:

12/ 130307 140307 1 + + = +x 1 130307 140307 1 − +x KQ : -0,9999338

DẠNG 9 : BÀI TOÁN VỀ LÃI SUẤT (DÂN SỐ)

Công thức : A = a.(1+r)n ; a = (1 )n

A r

+ ; r = n A a −1

A : Số tiền (dân số) lúc sau

a : Số tiền (dân số) lúc đầu

r : lãi suất

n : số tháng (năm)

Ví dụ 1 : Dân số tỉnh A sau 2 năm tăng từ 2.000.000 người lên 2.048.288

người Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần trăm ?

Ví dụ 2 : Dân số xã Lạc Hậu hiện nay là 10.000 người Người ta dự đoán

sau 2 năm nữa dân số xã Lạc Hậu là 10404

a) Hỏi trung bình mỗi năm dân số xã Lạc Hậu tăng bao nhiêu phần trăm?b) Với tỉ lệ tăng dân số như vậy, hỏi sau 10 năm dân số xã Lạc Hậu làbao nhiêu?

1/ Một người gửi vào nhân hàng với số tiền 10.000.000 đồng với lãi suất

là 0,8% một tháng Biết rằng người đó không rút tiền lãi ra Hỏi sau 12 thángngười ấy nhận được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi ?

KQ : 11.003.387 đồng

2/ / Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền 1.000.000 đồng vớilãi suất là 0,8% một tháng Biết rằng người đó không rút tiền lãi ra Hỏi cuốitháng thứ 12 người ấy nhận được bao nhiêu tiền lãi ?

KQ : 642.675 đồng

3/ a) Dân số nước ta năm 2001 là 76,3 triệu người Hỏi dân số nước tađến năm 2010 là bao nhiêu (tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là 1,2%)

b) Đến năm 2020, muốn dân số nước ta có khoảng 100 triệu người thì

tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là bao nhiêu?

KQ: a) 84.947.216 người b) 1,4%

4/ Một người gửi tiết kiệm 100.000.000 đồng, vào một ngân hàng theomức kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,65% một tháng

a) Hỏi sau 10 năm, người đó nhận được bao nhêu tiền (cả vốn lẫn lãi) ởngân hàng Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó

b) Nếu với số tiền trên, người đó gửi tiết kiệm theo mức kỳ hạn 3 thángvới lãi suất 0,63% một tháng thì sau 10 năm sẽ nhận được bao nhêu tiền (cả vốnlẫn lãi) ở ngân hàng Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trướcđó

KQ : a) 214.936.885 đồng b) 211.476.682 đồng

+ Tiếp tục nhiều lần cho đến khi 2 kết quả liên tiếp giống nhau

Ví dụ : Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x16 + x – 8 = 0

Giải :

Ta có : x16 + x – 8 = 0 Suy ra x = 168 x−

Chọn x1 = 2, ấn 2 =

Ân : 16 SHIFT x ( 8 - ANS =

Điền kết quả khi nào giá trị không đổi KQ: x = 1,128022103

BÀI TẬP : Tìm nghiệm gần đúng của phương trình

1/ x6 – 5x3 + x2 – 28 = 0 KQ: x = 2

3/ x5 – x3 + x – 2 = 0 KQ: x = 1,205569434/ x70 – x45 + 5x20 – 10x12 + 4x – 25 = 0 KQ: x = 1,052209048

x x x x

y y y y

+ + + + + + + + khi x = 1,8597 ; y = 1,5123

Giải :

Cách 1 : ấn 1,8597 SHIFT STO X ( Gán x = 1,8597 vào phím nhớ X)

1,5123 SHIFT STO Y ( Gán y = 1,5123 vào phím nhớ Y)

Ghi vào màn hình (1+X+X2 +X3 + X4) ÷(1+Y+Y2 + Y3 +Y4) và ấn =

KQ: A = 1,831985866

Cách 2 : Ghi vào màn hình (1+X+X2 +X3 + X4) ÷(1+Y+Y2 + Y3 +Y4)

ấn CALC máy hỏi X, ấn 1,8597 = ; máy hỏi Y ấn 1,5123 =

KQ : A = 1,831985866

Ví dụ 2: Cho biết tgα = tg350.tg360.tg370 …tg520.tg530 (00 < α < 900)

Tính B = 2 (1 cos3 3 3) cot 2 (1 sin3 )

(sin cos )(1 sin cos )

ấn SHIFT tan ALPHA X SHIFT STO Y -1 (α = 26057049,79)

ấn ALPHA X x SHIFT STO A -1 ( Gán A = cotgα)

ấn Sin ALPHA Y shift sto B (Gán B = sin α )

ấn Cos ALPHA Y shift sto C (gán C = cos α )

Nhập biểu thức X3 + 19X + 31 ấn phím = KQ: 0

BÀI TẬP :

1/ Tính giá trị của biểu thức 3x4 – 5x3 + 3x2 + 6x -7,13 với x = -3,26

KQ : 517,26032/ Tính giá trị của biểu thức 2(3 5 4) 2 (2 2 3 2 4) 24 2 6

1) Ðịnh lí Bezoul:

a) Giả sử đa thức f(x) là đa thức của biến x và a ∈ R trong biểu thức của f(x)

Khi thay x = a thì được một số ký hiệu là f(a) gọi là giá trị của f(x) tại a Nếu f(a) = 0 thì f(x) có nghiệm là x = a

−

2) Sơ đồ Hoocne: Trong trường hợp chia một đa thức Pn(x) cho một nhị thức

x – m ta có thể sử dụng thuật toán toán Hoocne như sau:

Giả sử khi chia đa thức Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0

cho nhị thức x – m ta được đa thức Qn(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + … + b1x + b0 thìgiữa các hệ số an, an-1, an-2, …, a1, a0 và bn-1, bn-2, …b1, b0 có mối quan hệ sauđây :

Ví dụ 2: Tìm thương và số dư của đa thức

683 64

87 6 256 3

4

35 16

111 64

683 256

27

−

f) (5x4 – 4x3 + 2x2 + 7x + 8) : (3x – 1) KQ: r = 848

812) Tìm số dư đa thức thương của các phép chia f(x) cho g(x) sau:

KQ: m = 43849 6) Xác định giá trị của k để đa thức f(x) = x4 – 9x3 +21x2 + x + k chia hết cho

b) Tính giá trị của m để đa thức P(x) chia hết cho x – 2,5

c) Muốn đa thức P(x) có nghiệm x = 2 thì m có giá trị là bao nhiêu?

a) Tìm giá trị của m và n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2

b) Xét đa thức R(x) = P(x) – Q(x), với giá trị m, n vừa tìm được Hãy chứng tỏrằng đa thức R(x) chỉ có một nghiệm duy nhất

a)Với điều kiện nào của m thì đa thức P(x) chia hết cho 2x + 3

b) Với m tìm được ở câu a Hãy tìm số dư khi chia đa thức P(x) cho 3x – 2 c) Với m tìm được ở câu a Hãy phân tích đa thức P(x) ra tích của các thừa sốbậc nhất

d)Tìm m và n để hai đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m và Q(x) = 2x3 – 5x2 –13x + n cùng chia hết cho x - 2

e) Với n tìm được ở câu trên, hãy phân tích Q(x) thành tích các thừa số bậcnhất

Ta được P(x) = (3x – 2)(2x2 – x – 6) và số dư r = 0

c) P(x) = (3x – 2)(2x + 3)(x – 2)

d) Để hai đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m và Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + ncùng chia hết cho x – 2 thì P(2) = 0 và Q(2) = 0

Suy ra m = 12, n = 30

e) Ða thức Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + 30 chia cho x – 2 ta được :

Q(x) = (x – 2)(2x2 – x – 15)

Mặc khác : 2x2 – x – 15 = 2x2 – 6x + 5x – 15 = 2x(x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(2x + 5)

Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x)

Vì hệ số của x5 = 1 nên suy ra Q(x) có dang :

BÀI TẬP :

1/ Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 +dx + e Biết P(1) = 3, P(2) = 9,P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51.Tính các giá trị P(6), P(7), P(8), P(9), P(10),P(11)

(HD: Xét Q(x) = R(x) – (2x2 +1)

KQ : P(6) = 193; P(7) = 819; P(8) = 2649; P(9) = 6883; P(10) = 15321; P(11) =30483

2/ Cho đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn P(1) = 3; P(3)

DẠNG 12 : DÃY SỐ

I/ Dãy số Lucas: Dãy số Lucas là dãy số tổng quát của dãy Fibonaci: Các số

hạng của nó tuân theo quy luật u1 = a; u2 = b; un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2 trong

đó a, b là hai số tùy ý

Với a = b = 1 thì dãy Lucas trở thành dãy Fibonaci

Dạng 1 : u1 = a; u2 = b; ( a, b tùy ý ).Tính: un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2

Phương pháp:

Cách 1 : Ấn b SHIFT STO A + a SHIFT STO M → u3

Lặp + ALPHA A SHIFT STO A → u4, u6, …

+ ALPHA M SHIFT STO M →u5, u7, …

Cách 2 : + Gán D = 2 (biến điếm)

A = a (Số hạng u1)

B = b ( Số hạng u2) + Ghi vào màn hình :

II/ Dãy số Fibonaci ( Dãy Lucas ) suy rộng tuyến tính có dạng :

Dạng 2 : u1 = a; u2 = b ( a, b tùy ý ) và un+1 = m.un + n.un-1 với mọi n ≥ 2

Phương pháp:

Cách 1 : Ấn b SHIFT STO A × + ×m n aSHIFT STO B → u3

Lặp × +m ALPHA A ×nSHIFT STO A → u4, u6, …

× +m ALPHA B ×nSHIFT STO B →u5, u7, …

Cách 2 : + Gán D = 2 (biến điếm)

A = a (Số hạng u1)

B = b ( Số hạng u2) + Ghi vào màn hình :

u10 = 19u9 + 45.u8 = 478592684964 ( tính bằng tay)

3) Cho u1 = 30; u2 = 4 và un+1 = 19.un + 75.un-1 với mọi n ≥ 2 Xác định u5 , u7?

D = D + 1: A = 2.B + A : D = D + 1 : B = 2.A + B

+ Ấn = … ta được u3, u4, u5, ….un

SHIFT STO A x +a x SHIFT STO B → u3

Lặp x2 + ALPHA A x2 SHIFT STO A → u4, u6, …

IV/ Dãy Lucas bậc ba có dạng :

Dạng 4: u1 = a , u2 = b , u3 = c ( a,b,c tùy ý ) un+1 = un + un-1 + un-2 với mọi n ≥ 3

Phương pháp:

Cách 1 : Ấn b SHIFT STO A (Đưa u2 vào ô nhớ A )

c SHIFT STO B (Đưa u3 vào ô nhớ B )

Ấn : ALPHA B + ALPHA A + a SHIFT STO C → u4

Lặp + ALPHA B + ALPHA A SHIFT STO A → u5, u8, …

+ ALPHA C + ALPHA B SHIFT STO B → u6, u9, …

+ ALPHA C + ALPHA B SHIFT STO B → u7, u10, …

Cách 2 : + Gán D = 3 (biến điếm)

A = a (Số hạng u1)

B = b ( Số hạng u2)

C = c ( Số hạng u3) + Ghi vào màn hình :