TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN KHÓ LÀ CÂU CUỐI TRONG CÁC ĐỀ THI. TÀI LIỆU GIÚP CÁC CON ÔN TẬP ĐẠT ĐIỂM TỐI ĐA,TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN KHÓ LÀ CÂU CUỐI TRONG CÁC ĐỀ THI. TÀI LIỆU GIÚP CÁC CON ÔN TẬP ĐẠT ĐIỂM TỐI ĐA ,TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN KHÓ LÀ CÂU CUỐI TRONG CÁC ĐỀ THI. TÀI LIỆU GIÚP CÁC CON ÔN TẬP ĐẠT ĐIỂM TỐI ĐA
Trang 1Bài 1
Cho n điểm phân biệt ( n∈N, n≥2) trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, kẻ các đường thẳng đi qua các cặp điểm Hỏi có bao nhiêu đường thẳng phân biệt
Bài 2
Cho các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: a+b =c+d và a.b+1=c.d Chứng tỏ rằng: c=d
Bài 3
Tìm 3 số nguyên a, b, c thỏa mãn: a+b= −4
; b+c= −6
; c+a=12
Bài 4
Chứng minh tổng S = 1 + 4 + 42 + 43 + 44 + … + 42009 chia hết cho 5
Bài 5
Cho:
2 3 2013
A 2 2= + + +2 2+
và
2014
B 2=
So sánh A và B
Bài 6
Tính tổng M = (-1) + 2 + (-3) + 4+ (-5) +6 + + (-4025)+ 4026
Bài 7
Tìm ba số tự nhiên a, b, c nhỏ nhất khác 0 sao cho 64a = 80b = 96c
Bài 8
Cho p là một số nguyên tố Chứng minh rằng hai số 8p - 1 và 8p + 1 không đồng thời là
số nguyên tố
Bài 9
Tìm hai số tự nhiên x và y biết: 6 99 20.
x+ = y
Bài 10
Tìm các số tự nhiên a và b biết: a.b = 360 và BCNN(a,b) = 60
Trang 2Bài 11
Cho số tự nhiên A gồm 4030 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 2015 chữ số 2 Chứng minh rằng
Bài 12
Cho
và
2017
4 : 3
Tính B - A
Bài 13
Cho a là số tự nhiên lẻ, b là một số tự nhiên Chứng minh rằng các số a và ab + 4
nguyên tố cùng nhau
Bài 14
Chứng tỏ rằng: (7n+10)
và (5n+7)
là hai số nguyên tố cùng nhau(n N∈ )
Bài 15
Cho A=3+ 32 +33 +……+3100 Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A +3=3n
Bài 16
Tìm số tự nhiên n sao cho n + 3 chia hết cho n + 1
Bài 17
Cho
2 2 2 2
2 3 4 150
Chứng minh rằng E<1
Bài 18
Tìm các số tự nhiên x và y biết 2x + 120 = 11y
Bài 19
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng (p 1 p 1− ) ( + ) M24
Bài 20
Cho p là một số nguyên tố Chứng minh rằng hai số 8p - 1 và 8p + 1 không đồng thời là
số nguyên tố
Trang 3TUYỂN TẬP CÁC CÂU KHÓ TRONG CÁC ĐỀ THI LỚP 6
Bài 1
Cho n điểm phân biệt ( n∈N, n≥2) trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, kẻ các đường thẳng đi qua các cặp điểm Hỏi có bao nhiêu đường thẳng phân biệt
Gọi các điểm là A1, A2, , An
Nối A1 với mỗi điểm còn lại ta được n- 1 đường thẳng
Tương tự với các điểm A2, A3, , An Như vậy ta có tất cả n(n-1) đường thẳng, mà mỗi
đường thẳng được tính 2 lần Do đó số đường thẳng phân biệt là
n(n 1) 2
−
đường thẳng
Trang 4Bài 2
Cho các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: a+b =c+d và a.b+1=c.d Chứng tỏ rằng: c=d
Từ a+b=c+d, suy ra a=c+d-b Thay vào đẳng thức a.b+1=c.d ta được: (b-d)(b-c)=1 Tích của hai số nguyên bằng 1 khi và chỉ khi hai số đó cùng bằng 1 hoặc cùng bằng -1 nên b-d=b-c hay c=d
Bài 3
Tìm 3 số nguyên a, b, c thỏa mãn: a+b= −4
; b+c= −6
; c+a=12
Ta có a+b+b+c+c+a=(−4)+(−6)+12
1
2 2
= + +
⇒
= + +
⇒
c b a
c b a
Vậy: c= 1 −(a+b)= 1 −( )− 4 = 5
a= 1 −(b+c)= 1 −( )− 6 = 7
b= 1 −(c+a)= 1 − 12 = − 11
Bài 4
Chứng minh tổng S = 1 + 4 + 42 + 43 + 44 + … + 42009 chia hết cho 5
Ta có: S = 1 + 4 + 42 +43 + … + 42009
= (1 + 4) + (42 + 43) + … + (42008 + 42009)
= 5 + 42(1 + 4) + … + 42008(1 + 4)
= 5(1 + 42 + 44 + …+42008)
Vậy S chia hết cho 5
Bài 5
Cho:
2 3 2013
A 2 2= + + +2 2+
và
2014
B 2=
So sánh A và B
Trang 52 3 4 2014
2A 2= + + +2 2 2+
2 3 4 2013 2014
2A (2 2= + + + +2 2 2+ ) 2+ −2
2A = A + B - 2
A = B - 2
Vậy A < B
Bài 6
Tính tổng M = (-1) + 2 + (-3) + 4+ (-5) +6 + + (-4025)+ 4026
Vì M = (-1) + 2 + (-3) + 4+ (-5) +6 + + (-4025)+ 4026
=[(-1) + 2]+ [(-3) + 4] + [(-5) +6] + + [(-4025)+ 4026]
= 1 + 1 + 1 + + 1
Do tổng M có 4026 hạng tử nên sẽ có 2013 số 1
Vậy M = 2013
Bài 7
Tìm ba số tự nhiên a, b, c nhỏ nhất khác 0 sao cho 64a = 80b = 96c
Đặt 64a = 80b = 96c = d Do ba số tự nhiên a, b, c nhỏ nhất khác 0⇒d
là số tự nhiên khác 0 nhỏ nhất chia hết cho a, b, c
⇒
d = BCNN (64, 80, 96)
Ta có:
64 2 ; 80 2 5; 96 2 3 = = =
⇒
d =
6
2 3.5 960 =
a 960 : 64 15; b 960 :80 12; c 960 : 96 10
Bài 8
Trang 6Cho p là một số nguyên tố Chứng minh rằng hai số 8p - 1 và 8p + 1 không đồng thời là
số nguyên tố
Xét p = 2 ta có 8p – 1 = 8.2 - 1 = 15 ( là hợp số) Suy ra điều phải chứng minh
- Xét p = 3 ta có 8p + 1 == 8.3 + 1 = 25 ( là hợp số) Suy ra điều phải chứng minh
- Xét p > 3 Do p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3
suy ra 8p không chia hết cho 3 Mà trong ba số tự nhiên liên tiếp 8p – 1, 8p, 8p +1 luôn tồn tại một số chia hết cho 3 Nên trong 2 số 8p – 1 và 8p + 1 luôn có 1 số chia hết cho 3
Hay 8p – 1 và 8p + 1 không đồng thời là số nguyên tố
Bài 9
Tìm hai số tự nhiên x và y biết: 6 99 20.
x+ = y
Với y là số tự nhiên thì 20 y luôn có chữ số tận cùng bằng 0
Do đó vế trái cũng phải có tận cùng bằng 0
Mà nếu x là số tự nhiên khác 0 thì vế trái luôn có tận cùng bằng 5
Suy ra x = 0 khi đó : Ta có :
0
6 +99 20.y= 20.y = 100
y = 5
Vậy : x = 0 và y = 5 là các số tự nhiên cần tìm
Bài 10
Tìm các số tự nhiên a và b biết: a.b = 360 và BCNN(a,b) = 60
+ ƯCLN(a,b) = 360:60 = 6
+ a = 6.x ; b = 6.y Do a.b = 360 ⇒
x.y = 10
Ta có:
y 10 5 2 1
Trang 7a = 6.5 = 30 ⇒
b = 6.2 = 12, a = 6.10 = 60 ⇒
b = 6.1 = 6
Bài 11
Cho số tự nhiên A gồm 4030 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 2015 chữ số 2 Chứng minh rằng
A – B là một số chính phơng
Vậy A – B là số chính phơng
Bài 12
Cho
4 4 4 4
và
2017
Tớnh B - A
Ta cú :
4A= + + + +4 4 4 4 +4
4A – A =
(4 +4 + + +4 4 +4 ) −(40 + + + +41 42 42015+42016)
Suy ra : 3A =
2017
4 −1
Mà B =
2017
4 : 3
nờn 3B =
2017
4
Gọi C = 11 1
2015 chữ số 1
Khi đó B = 2.C
Ta có A = 11 1 = 11 1 00 0 + 11 1
4030 chữ số 1 2015 chữ số 2015 chữ số 2015 chữ số
= C
2015
10 + C
Do đó A – B = C
2015
10 + C – 2.C = C
2015
10
- C = C (
2015
10
- 1)
Mà
2015
10
- 1 = 99 9 = 9 11 1 = 9 C
2015 chữ số 2015 chữ số
Nên A – B = C 9.C = 9.C2 = ( )2
3.C
=
Trang 8Suy ra 3B – 3A =
2017
4
- (
2017
4 −1
)= 1 Do đó B- A =
Bài 13
Cho a là số tự nhiên lẻ, b là một số tự nhiên Chứng minh rằng các số a và ab + 4 nguyên tố cùng nhau
Giả sử a và ab+4 cùng chia hết cho số tự nhiên d (d≠0)
Suy ra ab chia hết d, do đó : (ab+4)-ab = 4 chia hết cho d
→ d= 1; 2; 4
Lại có a không chia hết cho 2; 4 vì a là lẻ
Suy ra d = 1 Tức là a và ab+4 nguyên tố cùng nhau
Bài 14
Chứng tỏ rằng: (7n+10)
và (5n+7)
là hai số nguyên tố cùng nhau(n N∈ )
Gọi d= ƯCLN(7n+10, 5n+7)
(5 7)
(7 10)
+
⇒ +
M
M
7(5 7) 5(7 10)
+
⇒ +
M M (5(7n 10) 7(5n 7)) d
⇒ + − + M ⇒1 dM
ƯCLN(7n+10, 5n+7 )=1
Vậy 7n+10 và 5n+7 là 2 số nguyên tố cùng nhau
Bài 15
Cho A=3+ 32 +33 +……+3100 Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A +3=3n
Ta có :3A= 32 + 33 + … + 3100 +3101= A -3 +3 301
2A+3=3n nên 3101 -3+3=3n suy ra 3n =3101 nên n=101
Bài 16
Tìm số tự nhiên n sao cho n + 3 chia hết cho n + 1
Có n + 3 = n + 1 + 2
Trang 9⇒ n + 1 ∈ Ư(2) = {1; 2} ⇒ n ∈{0; 1}
Bài 17
Cho
2 2 2 2
2 3 4 150
Chứng minh rằng E<1
2
2
2
1 1
2 1.2
1 1
3 2.3
100 149.150
<
<
<
1.2 2.3 149.150
⇒ < + + +
1 1 1 1 1
2 2 3 149 150
1
E 1
150
< − + + − + −
< −
E 1
⇒ <
Bài 18
Tìm các số tự nhiên x và y biết 2x + 120 = 11y
Nếu số tự nhiên x khác 0 thì 2x luôn là số chẵn
Suy ra 2x + 120 luôn là số chẵn
11y luôn là số lẻ với mọi số tự nhiên y
Do đó x khác 0 không thỏa mãn bài toán
Vậy x = 0
Ta có 20 + 120 = 11y
121 = 11y
112 = 11y
Trang 10y = 2.
Vậy x = 0; y = 2
Bài 19
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng (p 1 p 1− ) ( + ) M24
- Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ suy ra p – 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp Do đó p – 1 và p + 1 có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4 nên (p - 1)(p + 4) chia hết cho 8 (1)
- Ta có p – 1; p ; p + 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tòn tại một số chia hết cho 3 mà p là
số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3, do đó p – 1 và p + 1 phải có một số chia hết cho 3 nên (p -1)(p + 1) chia hết cho 3 (2)
- Từ (1) và (2) ta có (p - 1)(p + 1) M 24
Bài 20
Cho p là một số nguyên tố Chứng minh rằng hai số 8p - 1 và 8p + 1 không đồng thời là
số nguyên tố
- Xét p = 2 ta có 8p – 1 = 8.2 - 1 = 15 (là hợp số) Suy ra điều phải chứng minh
- Xét p = 3 ta có 8p + 1 = 8.3 + 1 = 25 ( là hợp số) Suy ra điều phải chứng minh
- Xét p > 3 Do p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3
suy ra 8p không chia hết cho 3 Mà trong ba số tự nhiên liên tiếp 8p – 1, 8p, 8p + 1 luôn tồn tại một số chia hết cho 3 Nên trong 2 số 8p – 1 và 8p + 1 luôn có 1 số chia hết cho 3 Hay 8p – 1 và 8p + 1 không đồng thời là số nguyên tố