Ta có tổng 6 phương pháp quy nạp.
Trang 1GIẢI TÍCH 11 CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN DÃY SỐ LIVESTREAM THỰC HIỆN BỞI: GV HỨA NHẬT VI DẠNG 1: u n là một phân thức hữu tỉ dạng
n
P n u
Q n
( trong đó P n Q n là hai đa thức của n) , Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho k
n với n k là lũy thừa có số mũ lớn nhất của P n và Q n ( hoặc rút k
n là lũy thừa có số mũ lớn nhất của P n và Q n ra làm nhân tử) sau đó áp dụng các định lý về
giới hạn
Bài 1: Tìm giới hạn của dãy u n biết:
a)
2
2
n
u
n
4
n
u
n
u
Lời giải: a) Ta thấy n2là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu của u n cho n2 được:
2
2 2
2 2
2
3
n
u
n n
n n
lim 0, lim 0
n n và lim 32 0
n nên
lim
n
u
b) Dễ dàng thấy n4là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu của u n cho n4 được:
3 4
4 1 4
n
u
n n n
2 lim 0,
n lim 32 0,
n lim 44 0
n , lim4 0
n
và lim 13 0
n Do đó lim 0 0 0 0
1 0 0
n
u
n
u
3
3
3 4n
n n
3
3
3
4
n
n
Từ đó
n
u
, mà lim1 0,
n lim 33 0
n , lim2 0
n Do đó
2
lim
16
4 0 0 2
n
DẠNG 2: u n là một phân thức hữu tỉ dạng
n
P n u
Q n
( trong đó P n Q n , là các biểu thức chứa căn của n)
Bài 2: Tìm giới hạn của dãy u biết:
Trang 2a)
2
lim
n n
n
b)
2
2
n
u
b)
4 2
lim
n n
Lời giải: a)
2
2 2
9
2
4
n
n n
n n n
n n
3
2
4
n
n
n n
b)
2 2
2
2
2
n
n n
n
u
n
n
Vì có lim1 0,
n
2
1
lim 0,
n và lim3 0
n Nên lim 4 0 0 1 1
3
9 0
n
b)
4
4
2
2
2
2
2
n
n n
n
n n
2
2
2 2
2
1 3
2 2
n
n
n n
n n
DẠNG 3: u n là một phân thức hữu tỉ dạng
n
P n u
Q n
( trong đó P n Q n là các biểu thức chứa ,
hàm mũ a b c n, n, n,… Chia cả tử và mẫu cho n
a với a là cơ số lớn nhất )
Bài 3 : Tìm giới hạn của dãy u n biết :
a) 3.2 5
5.4 6.5
n n
b)
u
2
2
n
u
Lời giải
a) Ta có
2
5.4 6.5 5.4 6.5
n
u
Ta có lim 2 0
5
n
4
5
n
Do đó lim 3.0 1 1
n
u
b) Ta có
4 4 6 6 4 4 6 6
5 5 2.6 6 5 5 2.6 6
5 2.6 5 5 2.6 6
u
Trang 34
6
5
6
n
n
Ta có lim 4 0
6
n
5
6
n
Do đó
2
4 0 6 1 lim
5 0 2.6 72
n
c) Ta có
1 2
2 2
2
3
2 1
3 3
n
n n
u
Vì 2 1 lim 2 2 0
n
2
1
3
n và
2
2
3
n Do đó lim 2.0 0 0
1 0
n
DẠNG 4 : Nhân lượng liên hợp:
Bài 4: Tìm giới hạn của dãy u n biết:
n
u n n n
b) 3 3 2
3
n
u n n n
c)
2
2
lim
n n n
Lời giải:
a)
2
n
2
n n nên lim 2 3 52 1 2 1
n n
và limn do đó limu n . 2 1
(cụ thể các bạn xem phương pháp tìm giới hạn dãy số có giới hạn vô cực)
2
2
3
n
2 2
3
n
Ta có
3
3
2
n
n u
, ta có lim3 0
n Nên limu n 1
2
2
1
n n n
n n n
Trang 4 2 2
2
2
Do đó
3
2 lim lim
3 1
n
n u
n
Bài 5: Tìm các giới hạn sau:
n
u
n n
b)
( 1)( 2)
n
n u
n n n
1.2.3 2.3.4 n n( 1)(n 2)
Lời giải:
a) Ta có
1 1 1 1 11 1 1 11, 1, 2, ,
n
u
Nên lim lim 1 1 lim1 lim 1 1 0 1
n
u
b)
( 1)( 2)
n
n u
n n n
Ta có tổng
6
phương pháp quy nạp) Nên
1 2
2 6( 2)
6 1
n
u
n
n
vì lim1 lim2 0
n n do đó lim 2 1
6 3
n
u
1.2.3 2.3.4 n n( 1)(n 2)
1.2.3 2.3.4 n n( 1)(n 2) 2 2 (n 1)(n 2)
(Chứng minh dựa vào nguyên lý quy
L