ĐÁP án và đề VDC TOÁN số 28 HHKG LĂNG TRỤ và HÌNH hộp

Công thức tỉ lệ thể tích lăng trụ lệch: Cho khối đa diện lồi MNP.M'N'P' có các đỉnh nằm trên 3 cạnh bên của khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'.. Khi đó ta có công thức tỉ lệ thể tích gọi

01 Công thức tỉ lệ thể tích lăng trụ lệch:

Cho khối đa diện lồi MNP.M'N'P' có các đỉnh nằm trên 3 cạnh bên của khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Khi

đó ta có công thức tỉ lệ thể tích (gọi tắt là CT lăng trụ lệch) như sau: ' ' '

02 Công thức tỉ lệ thể tích khối hình hộp: Dành cho sự đồng phẳng của MNPQ và M'N'P'Q'

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', một mặt phẳng (α) cắt 4 cạnh của hình hộp tại các điểm M, N, P, Q và một mặt phẳng (β) cắt 4 cạnh của hình hộp tại các điểm M' , N' , P' , Q' Khi đó tất nhiên là đã biết kết quả các tứ giác MNPQ và M'N'P'Q' là những hình bình hành và có các công thức:

A

B

C

C' A'

A

B

C

C' A'

NỘI DUNG và MỤC ĐÍCH của đề tỉ lệ thể tích đa diện 01

01 Nắm được công thức tỉ lệ lăng trụ lệch một cách bản chất

02 Áp dụng triệt để và một số bài toán tỉ lệ thể tích lăng trụ

03 Công thức tỉ lệ thể tích khối đa diện hình hộp: Dành cho sự không đồng phẳng của MNPQ

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V, có 4 điểm M, N, P, Q nằm trên các cạnh AA' , BB' , CC' , DD' Hãy tính theo V thể tích khối đa diện lồi ABCD.MNPQ

AA CC  BB DD  cạnh MP sẽ gồ lên trong khối đa diện ABCDMNPQ, khi đó

ta sẽ tách khối đa diện này thành hai khối lăng trụ lệch theo cạnh MP là: BACNMP và DACQMP

Áp dụng công thức tỉ lệ lăng trụ: .

' ' '

AA CC  BB DD  cạnh NQ sẽ gồ lên trong khối đa diện ABCDMNPQ, khi đó

ta sẽ tách khối đa diện này thành hai khối lăng trụ lệch theo cạnh MP là: ABDMNQ và CBDPNQ, tương tự ta có:

Suy ra thể tích khối đa diện ABCDMNPQ: V . V . V . V 2 2

Câu 1: (3) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BB’

và CC’ Thể tích khối đa diện ABCMN bằng:

15

V

1 2

1323

V

1 2

57

Câu 9: (4) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích V Gọi M nằm trên AB sao cho AM = MB, N nằm trên CC' sao cho CN = 2NC' , P là điểm nằm trên các cạnh A’C’ sao cho 3A’P = 2PC’ Thể tích khối tứ diện CMNP tương ứng bằng:

Câu 12: (4) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V Biết rằng AC' = 6 và AC' cắt mặt phẳng (A'BD) tại M

và AC' cắt mặt phẳng (CB'D') tại N Giá trị của biểu thức T MN AM NC( 'MN2) bằng:

Câu 18: (4) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Một mặt phẳng cắt cạnh AA', BB', CC', DD' lần lượt tai M, N, P, Q sao cho: AM = MA', 2BN = 3NB', CP = 2PC', DQ = x.QD' Giá trị của x bằng:

A 2131

1528

Câu 24: (4)Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V Gọi M, N, P, Q lần lượt nằm trên các cạnh AA', BB',

CC' , DD' sao cho: AM = MA', BN = 2NB', CP = 3PC', DQ = xQD', với x là số thực dương Thể tích khối đa

diện lồi ABCDMNPQ bằng 3

Câu 25: (4) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi M, N lần lượt là các điểm nằm trên AA' , CC' sao cho AM = 2MA', 2CN = 3NC' Một mặt phẳng đi qua M, N và cắt BB' , DD' lần lượt tại P và Q Giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu 26: (4) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có thể tích V Một mặt phẳng đi qua A cắt BB' , CC' lần

lượt tại M và N Biết thể tích của khối đa diện ABCMN bằng

ĐÁP ÁN

11C 12D 13B 14C 15A 16D 17D 18C 19D 20B

21C 22A 23C 24D 25B 26C

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT NHỮNG CÂU VD VDC:

Câu 1: (3 – A) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BB’ và CC’ Thể tích khối đa diện ABCMN bằng:

 Trong đó khối đa diện MNP.M’N’P’ có các cạnh MM’ , NN’, PP' nằm trên các cạnh AA’, BB’, CC’

 Áp dụng vào bài này ta có:

 ' ' ' '

' ' ' '

Câu 5: (3 – C) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích 108 Gọi M là điểm đối xứng với A’ qua A,

N là điểm nằm trên tia đối của tia B’B sao cho 2BN = 3BB’.Thể tích khối đa diện MBC’AN bằng:

Câu 6: (4 – C) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M là trung điểm của AA' và N là trung điểm của

AB Mặt phẳng (MNC') chia lăng trụ tam giác thành hai phần trong đó phần chứa đỉnh A có thể tích V1 và phần còn lại có thể tích V2 Tỉ lệ thể tích V1 và V2 bằng:

15

V

1 2

1323

V

1 2

57

 Cách 1: Thuần túy công thức lăng trụ lệch

 Kéo dài MN cắt BB' tại S, suy ra:

3' 21

12

SMA B C

SMA B C ABC A B C

V V

 Kéo dài MN cắt BB' tại S, suy ra: SBAM

 Nối S với C' cắt BC tại P, suy ra: 1 1

V V

V

 Chọn đáp án C

Câu 7: (4 – D) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB

và CC’; gọi P là điểm nằm trên các cạnh A’C’ sao cho A’P = 2PC’ Tính theo V thể tích khối tứ diện AMNP ?

 Ta đã quá thành thạo với bài toán tỉ lệ thể tích lăng trụ lệch rồi Như vậy, chỉ cần kéo dài đưa hình tứ

diện cần tính về dạng lăng trụ lệch có các cạnh tựa trên các cạnh của lăng trụ tam giác: ABC.A'B'C'

 Kéo dài AP cắt CC' tại Q, ta có: 2

Câu 8: (4 – C) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích 180 Gọi M nằm trên AB sao cho AM = 2MB, N nằm trên CC' sao cho CN = 3NC', P là điểm nằm trên các cạnh A’C’ sao cho 2A’P = 3PC’ Thể tích khối tứ diện AMNP bằng:

Câu 9: (4 – B) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V Gọi M nằm trên AB sao cho AM = MB,

N nằm trên CC' sao cho CN = 2NC' , P là điểm nằm trên các cạnh A’C’ sao cho 3A’P = 2PC’ Thể tích khối tứ diện CMNP tương ứng bằng:

 Kéo dài CP cắt AA' tại Q như hình vẽ Suy ra: ' 3 3

AMNA B C

AMNA B C ABC A B C

V V

 Tính chất quan trọng của hình hộp mà chúng ta phải nắm vững là: ' ' 2

C

D

M

N

 Dễ dàng suy ra được: VACB'C'D' VA CB'D' VC'CB'D' V V V 36 V 72

C

D

M

N

 Tứ diện AA'BD đều suy ra: AC'( 'A BD) tại điểm M sao cho: AC'3AM

 Gọi các cạnh của tứ diện AA'BD là x, suy ra: 6

C

D

M

N

Câu 18: (4 - C) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Một mặt phẳng cắt cạnh AA', BB', CC', DD' lần lượt tai M, N,

P, Q sao cho: AM = MA', 2BN = 3NB', CP = 2PC', DQ = x.QD' Giá trị của x bằng:

 Và tỉ lệ thể tích khối đa diện:

 Ta có: 2 2

PAMQ

PAMQ PAEQ PAEQ

A 2131

1528

P

Q

M

N

Câu 23: (4 - C) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V Gọi M, N, P, Q lần lượt nằm trên các cạnh AA', BB', CC' , DD' sao cho: AM = MA', BN = 2NB', CP = 3PC', 2DQ = QD' Thể tích khối đa diện lồi ABCDMNPQ bằng:

Câu 24 (4 - D)Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích V Gọi M, N, P, Q lần lượt nằm trên các cạnh AA',

BB', CC' , DD' sao cho: AM = MA', BN = 2NB', CP = 3PC', DQ = xQD', với x là số thực nằm trong khoảng

(0;1) Thể tích khối đa diện lồi ABCDMNPQ bằng 3

      , ta phải chia khối đa diện theo cạnh

MP thành hai khối đa diện BACNMP và DACQMP

T  (bỏ qua việc xét điều kiện dấu bằng xảy ra vì

nó rất đơn giản và chắc chắn xảy ra) Chọn đáp án B

Câu 26: (4 - C)Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có thể tích V Một mặt phẳng đi qua A cắt BB' , CC' lần lượt tại M và N Biết thể tích của khối đa diện ABCMN bằng