Lecture Statistical techniques in business and economics - Chapter 9: Estimation and confidence intervals

In this chapter you will learn: Define a point estimator, a point estimate, and desirable properties of a point estimator such as unbiasedness, efficiency, and consistency; define an interval estimator and an interval estimate; define a confidence interval, confidence level, margin of error, and a confidence interval estimate;...

9 ­ 1

Estimation and Confidence Intervals

Point Estimate …is a single value (statistic) used to 

estimate a population value (p arameter)

Constructing  Confidence Intervals

Interpreting  Confidence Intervals

Interpreting  Confidence Intervals

The Globe

Suppose that you read that

“…the average selling price 

of a family home in      York Region is       

$200 000 +/­ $15000       

  at  95% confidence!”

“…the average selling price 

of a family home in      York Region is       

$200 000 +/­ $15000       

  at  95% confidence!”

This means…what? This means…what?

9 ­ 11

Interpreting  Confidence Intervals

Interpreting  Confidence Intervals

In statistical terms, this means:

…that we are 95% sure that the 

interval estimate obtained contains the value of the 

Interpreting  Confidence Intervals

Interpreting  Confidence Intervals

is 40 days. 

Your newspaper also reports 

that…

You select a random  sample of 36 homes sold during the past year,     and determine a       90% confidence interval estimate       for the population mean to 

be (31­39) days

Do your sample results support the paper’s claim? Do your sample results support the paper’s claim?

9 ­ 13

Interpreting  Confidence Intervals

Interpreting  Confidence Intervals

i.e., the population mean  is not 40 days,  when using a 90% interval estimate 

Our evidence does not support the statement made by the newspaper, 

i.e., the population mean   is not 40 days,   when using a 90% interval estimate 

Interpreting  Confidence Intervals

z X

P(

0  1.75

Locate Area on  the normal curve

Locate  Area on  the normal curve

Constructing  Confidence Intervals

Also, 95% of the 

sample means for 

a specified sample  size will lie within 

1.96 standard deviations of the hypothesized 

known  or  n > 30

If the population  standard deviation is 

unknown  and  n<30

More 

on this  later…

More 

on this  later…

Our Our best estimate is 24 hours.best estimate is 24 hours.

The Dean of the Business School wants to 

estimate  the  mean number of hours 

worked  per week by students.      

A  sample of 49 students        

showed a  mean  of  24 hours       

   with a  standard deviation  of  4 hours                 What is the  population 

mean ?

This is a point estimate

9 ­ 21

Student’s t­distribution Student’s  t­distribution

….used for  small  sample sizes

CharacteristicsCharacteristics

…like  z , the  t­distribution  is continuous

…takes  values between  –4   and +4

…it is  bell­shaped  and  symmetric about zero

…it is  more spread out  and  flatter at the centre  

than the z­distribution

…for  larger and larger values of degrees of 

freedom , the  t­distribution  becomes closer   and  closer   to the standard normal distribution

1.3839

2.20111

for the mean amount spent

Student’s t­distribution Student’s  t­distribution

We are 99% confident that the mean amount spent         per customer is between $3.50 and 

FormulaFormula

9 ­ 33

A sample of 500 executives who own their own home revealed 175 planned to sell their        homes and retire to Victoria.      

      Develop a 98% confidence  interval for the proportion of executives that 

plan to sell and move to Victoria

Constructing Confidence Intervals      

      for Population Proportions

1 ( 35

33

2 35

.

0497

35  

9 ­ 35

Finite­Population  Correction Factor

Finite­Population  Correction Factor

Used when Used when n/N is 0.05 or more n / N   is 0.05 or more

The attendance at the college hockey game last night 

was 2700.  A random sample of 250 of those in  attendance revealed that the average number of  drinks consumed per person was 1.8       

      with a  standard deviation of 0.40.

The attendance at the college hockey game last night  was 2700   A random sample of 250 of those in  attendance revealed that the average number of  drinks consumed per person was 1.8        

N =       n =       x =

s =        /2 =

N  =       n =       x =

s =        /2 =

Finite­Population  Correction Factor Finite­Population  Correction Factor The attendance at the  college hockey game  last night was 2700.   A sample of 250 of  those in attendance  revealed that the  average number of  drinks consumed per  person was 1.8 with a  standard deviation of  0.40.       

Develop a 90%  confidence interval  estimate.… The attendance at the  college hockey game  last night was 2700.   A sample of 250 of  those in attendance  revealed that the  average number of  drinks consumed per  person was 1.8 with a  standard deviation of  0.40.       

Develop   a 90%  

confidence interval  

estimate.…

2700 250   1.8

  0.40 0.05

Since  250/2700   > 05, use the correction factor

) 1

2700

250

2700

)(

250

4

.

( 645

 1

8

.

1

04

0

8 1

90% CL =

N   ­  1 n

s

X

9 ­ 37

Selecting the           Sample 

Size

9 ­ 39

E  … is the allowable error

Z …is the z­score for the chosen level of confidence

S …is the sample deviation  of the pilot survey

Selecting the 

        Sample Size

        Sample Size

How large a sample is required?How large a sample is required?

9 ­ 41

Selecting the 

        Sample Size

       A minimum of   

      107 homes must be sampled

90% CL =

25.0020

2.58

E s

zα/2

Selecting the 

        Sample Size

Z E

203

.. 96

1)

3.1

(3

233.65)

21(

n = 896.4

 A minimum of  897 children must be sampled

 A minimum of  897 children must be sampled

searchable glossary access to Statistics Canada’s  E­Stat data

…and much more!

9 ­ 45

This completes Chapter 9