Lecture Statistical techniques in business and economics - Chapter 8: Sampling methods and central limit theorem

Chapter 8 provides knowledge of sampling methods and central limit theorem. When you have completed this chapter, you will be able to: Explain under what conditions sampling is the proper way to learn something about a population, describe methods for selecting a sample, define and construct a sampling distribution of the sample mean,...

m a

When you have completed this chapter, you will be able to:

Describe methods  for selecting a sample. 

Define  and construct  a sampling distribution  

Explain  the  central limit theorem

       to make  decisions or inferences              about the population.

We  use sample information        

        to  make  decisions  or  inferences  about the population

Two  Two  KEY KEY  steps:  steps:

1 Choice of a proper method for selecting sample data       &

2.   Proper analysis of the sample data (more later)

KEY 1 KEY 1.

KEY  1 KEY  1.

If the  proper  method for selecting  the sample is      

 NOT MADE … the SAMPLE        

      will not be truly   

        representative of the 

        TOTAL Population! 

… and wrong conclusions can be drawn!

   …of the physical impossibility of checking       

all items in the population, and,            also, it would be too time­consuming

with Replacement with Replacement

no more than once

Each data unit in the  population is allowed to  appear in the sample       

Non­Probability Sampling Non­Probability Sampling

Does not involve      

PProbability  robability SSampling ampling

without Replacement without Replacement

sample

…a population is              first divided into subgroups, called  strata, and  a sample is selected from each 

strata

…a population is             first divided into primary  units, and        samples are 

   a sample statistic      and its      corresponding population 

parameter

… is the difference between      

   a sample statistic      and its      corresponding population 

parameter

… is a probability distribution 

consisting of   all possible sample means       

At their weekly partners meeting each reported the number of hours they billed their clients last week:

ExampleExample PartnerDunn Hours22

Partners Samples of 2 Mean

1&2 1&3 1&4 1&5 2&3 2&4 2&5 3&4 3&5 4&5

(22+26)/2 =(22+30)/2 =(22+26)/2 =

242624(22+22)/2 =

(26+30)/2 =(26+26)/2 =(26+22)/2 =(30+26)/2 =(30+22)/2 =(26+22)/2 =

22282624282624

Sample Mean Frequency Relative frequency

Probability

Organize the sample means into a Sampling Distribution

Organize the sample means into a Sampling Distribution

1432

1/10 4/10 3/10 2/10

10 Sam

ples

10 Sam

ples

1 4 3 2

30 26

Mean (µ Mean (µ x  x  ) )

/  n

Standard Deviation   (standard error of the mean)(standard error of the mean)Standard Deviation   

X

P P oint  oint E   E stimates stimates

n X

s

C C entral  entral L   L imit  imit  T T heorem heorem

Chart 8 – 6   Results for Several PopulationsChart 8 – 6   Results for Several Populations

See See

Click on Tools

Click on DATA ANALYSIS

Click on DATA ANALYSIS

See…

…Click OK

See See

See…

See See If you want whole numbers, use the 

Round

See… Highlight,  and  click  OK

Click on OK

 INPUT REQUIRED VALUES INPUT REQUIRED VALUES

A1 0

See See

66

 CLICK on B1 and       DRAG to Fill COLUMN B 

  CLICK  on  B1  and        DRAG  to Fill  COLUMN B See See

Since this is random number  generation, you will get different 

numbers each time you do 

this…

Since this is random number  generation, you will get different 

numbers each time you do 

this…

average of 330 minutes 

for taxpayers to prepare, copy, and 

needed is 80 minutes

A consumer watchdog agency selects a random 

and finds the standard deviation of the time needed is 80 minutes What is the standard error of the mean?

Data…

  / n

  / n

FormulaFormula    = 80 /= 80 /  40

Data…

nswer…

n s

X

z

Formula 

40 80

 320

  a1

The  normal   distribution      

      (a continuous 

distribution)      yields a good  approximation  of  

      the   binomial   distribution       

      (a   discrete   distribution)      

       for   large values  of  n

Use when np and n(1­ p ) are both greater than 5!Use when np and n (1­  p  ) are both greater than 5!

n p

) 1

employees are bilingual. To verify this claim, a statistician selected a sample of 60 employees of the 

company using simple random sampling and      

      found 48% to be bilingual.  

np =      =    60(.55)33

n (1­  p  ) =  60(.45)

 =     27

The sample size  is big  enough to use the normal  approximation with a mean 

of .55 and a standard  deviation of     (.55)(.45)/60 = 

The sample size   is big  enough to use the normal  approximation with a  mean 

of .55  and a  standard  deviation of     (.55)(.45)/60 = 

0.064

Based on this information,      

      what can we say about the 

company’s claim?

There is  approximately       

 a 14% chance 

that the  company’s claim 

is true, based on  this sample.

There is   approximately       

 a  14%  chance 

that the  company’s claim 

is true, based on  this sample.

Conclusion …continued …continued

Formula 

 Suppose the  mean  selling price of a         

 litre of gasoline  in Canada is  $.659  

  Further, assume the distribution is positively  skewed, with a  standard   deviation   of  $0.08   

What is the probability of selecting a 

finding the sample mean  within  $.03 of  the population mean ?  

n s

­2

n s

We would expect about  97%       

       of the  sample means to be  within $0.03 of the  population mean.

We would expect about  97%       

       of the  sample means to be  within $0.03 of the  population mean.

a1 = .4868

a2 = .4868

   mean selling price is $.659       SD of $0.08

Sample of 35 gasoline stations          Probability of sample mean within $.03? 

searchable glossary access to Statistics Canada’s  E­Stat data

…and much more!

This completes Chapter 8