A - đặt vấn đềrong giảng dạy bộ môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản và biết cách khai thác mở rộng kiến thức, áp dụng kiến thức vào giải đợc nhiều dạng bài tập là một
Trang 1A - đặt vấn đề
rong giảng dạy bộ môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản và biết cách khai thác mở rộng kiến thức, áp dụng kiến thức vào giải đợc nhiều dạng bài tập là một điều hết sức quan trọng Đặc biệt trong mấy năm gần đây các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10 THPT ngày một nâng cao Trong đó có một phần kiến thức đợc vận dụng và ứng dụng nhiều đó là “Phơng trình nghiệm nguyên” Làm thế nào để học sinh vận dụng giải tốt các bài toán có liên quan đến phơng trình nghiệm nguyên Chuyên đề “Phơng trình nghiệm nguyên” là chuyên đề khó và rất rộng, nên để truyền đạt cho học sinh hiểu đợc, vận dụng đợc là vấn đề đáng suy nghĩ của giáo viên Qua nghiên cứu và giảng dạy học sinh về “Phơng trình nghiệm nguyên” tôi thấy đây là vấn đề hay, giúp học sinh trau dồi t duy toán học, rèn luyện cao về tính suy nghĩ sáng tạo và tìm nhiều lời giải hay cho các bài toán, từ đó mang lại hứng thú và niềm đam mê trong học toán Học sinh nắm chắc về “Phơng trình nghiệm nguyên” là chìa khoá vàng giải đợc nhiều loại toán khác nh: Toán số học, tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất, hệ phơng trình nghiệm nguyên…
T
Chính vì vậy mà tôi mạnh dạn viết lên kinh nghiệm dạy “Phơng trình nghiệm nguyên” đã đợc đúc rút qua thực nghiệm và có kết quả tốt Mong Hội đồng khoa học và đồng nghiệp đọc và rút kinh nghiệm cho tôi
Kinh nghiệm dạy “Phơng trình nghiệm nguyên” gồm hai phần chính:
Phần 1: Hớng dẫn giảng dạy phần lý thuyết
Phần 2: Hớng dẫn giảng dạy phần bài tập theo từng phơng pháp
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Trang 2B giải quyết vấn đề–
I - Điều tra thực trạng tr ớc khi nghiên cứu:
1- Tiến hành điều tra đối với học sinh lớp 8.
Những bài toán rút gọn và tìm điều kiện của biến, thì hầu hết các em đều làm
đợc phần rút gọn, còn phần tìm điều kiện của biến thì học sinh còn nhiều lúng túng
Ví dụ những bài toán sau khi rút gọn có dạng:
A =
1 2
10
−
1
5 2
+
+
x
1
2 2 3
−
+
−
x
x x
Với điều kiện của bài toán là tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên Hầu hết học sinh không giải đợc, số học sinh giải đợc chỉ chiếm tử 1- 4%
2- Tiến hành điều tra đối với học sinh lớp 9.
♣ Những bài toán về giải phơng trình nghiệm nguyên
Ví dụ: Giải các phơng trình nghiệm nguyên:
1) 5x - 7y = 15
2) 3x2 + 5y2 = 345
3) x3 - 7x2 + 15x - 25 = 0 4)
1 1 1
1 + + =
z y x
5) xy - 4x = 35 - 5 Hầu hết học sinh đều bỡ ngỡ không tìm đợc cách giải, số học sinh giải đợc chỉ chiếm 1 – 2%
Nhìn chung các bài toán có liên quan đến giá trị nguyên là những bài toán khó và mới đối với học sinh Để học sinh nắm đợc cách giải các dạng toán này thì giáo viên phải tổng kết và áp dụng đợc vấn đề này
II - Ph ơng pháp nghiên cứu:
♣ Phơng pháp điều tra
♣ Phơng pháp thống kê
♣ Phơng pháp đối chứng
♣ Phơng pháp phân tích, tổng hợp
♣ Phơng pháp thực nghiệm
Bằng những phơng pháp trên tôi đã thấy đợc hiệu quả rất cao của kinh nghiệm này Kiến thức đa ra để giảng dạy cho học sinh đảm bảo tính logíc có hệ thống từ thấp đến cao áp dụng đợc cho nhiều đối tợng học sinh Bằng cách đa ra phần lý thuyết có liên quan trớc và hệ thống các bài tập phân theo dạng giúp học sinh khai thác tốt lý thuyết vận dụng vào giải các bài tập từ đơn giản đến phức tạp Các bài tập đa ra cho học sinh đã đợc chọn lọc và điều tra đảm bảo đợc tính tổng quát tiêu biểu và phong phú Với phơng pháp đa ra nội dung kiến thức từ dễ đến khó, kinh nghiệm này đáp ứng đợc yêu cầu tiếp thu của học sinh và yêu cầu giảng dạy của giáo viên theo tinh thần đổi mới PPDH
III Nội dung của kinh nghiệm.–
A Giáo viên hớng dẫn học sinh phần lý thuyết theo thứ tự sau:
I Nhắc lại về phép chia hết.
1 Định nghĩa phép chia hết:
Trang 3a, b ∈ z (b ≠ 0) ∃q, r ∈Z a =bq + r với 0 ≤ r < b
- Nếu r = 0 ⇒ a : b
- Nếu r≠0 ⇒ a : b
2 Một số tính chất: ∀a,b,c,d ∈Z
- Nếu a ≠ 0 thì a : a và 0 : a
- Nếu a : b và b : c ⇒ a : c
- Nếu a : b và b : a ⇒ a = ± b
- Nếu a : b và a : c ⇒ a : BCNN[a;b]
- Nếu a : b và a : c (b,c) = 1 ⇒ a : (bc)
- Nếu a : b ⇒ ac : b
3 Một số định lí thờng dùng.
- Nếu a : c và b : c ⇒ (a ± b) : c
- Nếu a : c và b : d ⇒ ab : cd
- Nếu a : b ⇒ an : bn ( n nguyên dơng)
*Một số hệ quả áp dụng:
+ ∀a,b∈z và n nguyên dơng ta có (an – bn) : (a – b)
+ ∀a,b∈z và n chẵn (n nguyên dơng) ta có (an – bn) : (a + b)
+ ∀a,b∈z và n lẻ (n nguyên dơng) ta có (an + bn) : (a + b)
4 Các dấu hiệu chia hết.
+ Dấu hiệu chia hết cho 2:
+ Dấu hiệu chia hết cho 3:
+ Dấu hiệu chia hết cho 4:
+ Dấu hiệu chia hết cho 5:
+ Dấu hiệu chia hết cho 8:
+ Dấu hiệu chia hết cho 9:
+ Dấu hiệu chia hết cho 10:
+ Dấu hiệu chia hết cho 11:
Số có chữ số tận cùng là 0;2;4;6;8
Số có tổng các chữ số chia hết cho 3
Số có 2chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4
Số có chữ số tận cùng là 5 hoặc 0
Số có 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8
Số có tổng các chữ số chia hết cho 9
Số có chữ số tận cùng là 0
Số có hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ sốhàng lẻ chia hết cho 11
II Nhắc lại về tập hợp số nguyên:
+ Tập hợp số nguyên dơng Z+ = {1; 2; 3 …}
+ Tập hợp số nguyên âm Z- = {-1; -2; -3; …}
+ Tập hợp số nguyên Z = {…-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}
III Nhắc lại về ph ơng trình nghiệm nguyên:
♣ Giải phơng trình nghiệm nguyên F(x,y,z,…) = 0 là tìm tập hợp nghiệm (x,y,z,…) trong đó x,y,z,… ∈Z
B Giáo viên hớng dẫn học sinh giải bài tập theo từng dạng và từng phơng pháp.
I Dạng ph ơng trình ẩn đơn giản
1- Phơng trình nghiệm nguyên dạng ax + b = 0
a- Cách giải:( Qua 2 bớc)
+ Giải phơng trình tìm nghiệm.
+ Tìm nghiệm nguyên (x∈Z).
b- Ví dụ : Tìm m để phơng trình mx + 3 = 0 có nghiệm nguyên
Trang 4*Hớng dẫn :
- Để phơng trình có nghiệm nguyên thì
∈
−
=
≠
Z m x
m
3 0
⇒ m là ớc số của 3 ⇒ m = {±1; ±2; ±3}
c- Bài tập t ơng tự: Tìm m để các phơng trình sau có nghiệm nguyên:
a) (2m – 1)x – 10 = 0 b) (m2 – 2)x + 36 = 0
d- Bài tập phát triển:
*Bài tập 1: Tìm n ∈ N để PT (4n + 3)x - 8n = 193 có nghiệm tự nhiên
*Hớng dẫn:
(4n + 3)x - 8n = 193
⇔(4n + 3)x = 193 + 8n
⇔x =
3 4
187 3
4
6 8 3 4
8 193
+
+ +
+
= +
+
n n
n n
n
⇔x = 2 +
3 4
187
+
n
Bài toán trở thành đơn giản để x ∈ N thì
3 4
187
+
n ∈ N
⇒ 4n + 3 là ớc số của 187
⇒ 4n + 3 = {1; 17; 187} ⇒ 4n + 3 = {17; 187} ⇒ n = {2; 46}
*Bài tập 2: Tìm n ∈ N để PT (n - 1)x n– 3 + n 2 - 2 = 0 có nghiệm tự nhiên.
*Hớng dẫn:
(n - 1)x – n3 + n2 - 2 = 0
⇔(n - 1)x = n3 - n2 + 2 ⇔x =
1
2 1
2 3
− +
=
−
+
−
n
n n
n n
Bài toán trở thành đơn giản để x ∈ N thì
1
2
−
n ∈ N ⇒ n - 1 là ớc số của 2
⇒ n = {2; 3}
2 Giải phơng trình nghiệm nguyên dạng ax 2 + bx + c = 0 (a, b, c ∈Z)
a- Cách giải:( Qua 2 bớc)
+ Giải phơng trình tìm nghiệm.
+ Tìm nghiệm nguyên (x∈Z).
b-Ví dụ :
*Ví dụ 1 : Giải PT nghiệm nguyên 2x 2 x 3 = 0– –
*Hớng dẫn:
2x2 – x – 3 = 0 ⇔(x + 1)(2x – 3) = 0⇔
=
−
=
2 3
1
x x
Vậy PT có nghiệm nguyên là x = -1
*Ví dụ 2: Tìm n ∈ N để PT nx 2 + (2n 3)x 6 = 0– – có 2 nghiệm nguyên.
*Hớng dẫn:
nx 2 + (2n 3)x 6 = 0– –
⇔(x + 2)(nx – 3) = 0 ⇔
=
−
=
n x
x
3 2
Trang 5- Để PT có 2 nghiệm nguyên thì x = Z
n∈
3 vì n ∈ N ⇒ n = 1 hoặc n = 3
*Ví dụ 3: Tìm a ∈ Z để phơng trình (a + 1)x 2 - (30 + 10a)x + 200 = 0 có hai nghiệm nguyên lớn hơn 6.
*Hớng dẫn:
(a + 1)x2 - (30 + 10a)x + 200 = 0
⇔(x – 10)[(a + 1)x – 20] = 0 ⇔
+
=
=
1 20 10
a x x
Để PT có 2 nghiệm nguyên lớn hơn 6 thì
>
+
∈ +
6 1 20 1 20
a
Z
a ⇒ a = 0 hoặc a = 1
3 - Phơng trình nghiệm nguyên bậc cao.
a-Cách giải:
- Dùng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa về dạng PT tích.
b- Ví dụ:
*Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của PT x 3 6x– 2 + 11x 6 = 0–
*Hớng dẫn:
- Đa PT về dạng (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0
- PT có 3 nghiệm nguyên x = 1; x = 2; x = 3
*Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của PT x 3 7x– 2 + 15x 25 = 0–
*Hớng dẫn:
- Đa PT về dạng (x – 5)(x2 – 2x + 5) = 0
- Nhận xét: x2 – 2x + 5 = (x – 1)2 + 4 > 0 với mọi x
⇒ PT chỉ có nghiệm nguyên x = 5
*Ví dụ 3: Giải PT nghiệm nguyên x3 + (x + 1)3 + (x + 2)3 = (x + 3)3
*Hớng dẫn:
- Đặt y = x – 3 ⇒ x = y + 3
⇒ (y + 3)3 + (y + 4)3 + (y + 5)3 = (y + 6)3
⇔ 2y3 + 18y2 + 42y = 0
⇔ 2y(y2 + 9y + 21) = 0
- Vì y2 + 9y + 21 = (y +
2
9 )2 +
4
3 > 0 ⇒ y = 0 ⇔x = 3
*Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của PT:
6
7 3 2
2 2 2
2
1 2
2
2
2
2
= + +
+ + + + +
+ +
x x
x x x
x
x x
*Hớng dẫn:
- Đặt y = x2 +2x+2 = (x + 1)2 + 1 ≥ 1
⇒ ta đợc PT nghiệm nguyên đối với y là:
6
7 1
1
= + +
−
y
y y
y
⇔5y2 -7y – 6 = 0 ⇒ y = 2 hoặc y = -
5
3(loại)
- Với y = 2 ⇒ x2+ 2x + 2 = 2 ⇔ x = 0 hoặc x = - 2
II Dạng ph– ơng trình nghiệm nguyên nhiều ẩn.
1-Phơng trình nghiệm nguyên dạng ax + by = c (a, b, c ∈Z)
Trang 6- Điều kiện để PT có nghiệm nguyên là (a,b) = 1 Nếu (a,b) = d > 1 và c chia hết d thì phơng trình không có nghiệm nguyên
* Cách giải:
- Tách phần nguyên rút ẩn có hệ số giá trị tuyệt đối nhỏ.
*Ví dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên 3x + 4y = 29
*Hớng dẫn:
3x + 4y = 29 ⇔3x = 29 – 4y ⇔x =
3
2 9
3
4
y
y = − + −
−
x,y ∈Z ⇒
3
2 y− ∈Z ⇒ 2 – y = 3t (t ∈Z) ⇒
−
=
+
=
t y
t x
3 2
7 4
*Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình 5x - 7y = 15
*Hớng dẫn:
- Nhận xét UCLN(5 ;15) = 5 Nên ta đặt y = 5t (t ∈Z)
Ta có : 5x - 35t = 15 ⇒ x = 7t + 3 Vậy nghiệm của PT là
=
+
=
t y
t x
5
3 7 (t ∈Z)
*Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dơng của 8x - 3y = 15
*Hớng dẫn:
- PT 8x - 3y = 15 ⇔3y = 8x – 15 ⇔y = 3x + 4 +
3
1 x−
- Đặt 1 – x = 3t (t ∈Z) ⇒ x = -3t + 1 ⇒ y = - 8t + 7
- Để x,y nguyên dơng thì
>
−
>
−
0 8 7
0 3 1
t
t
⇒ t <
3 1
Vậy nghiệm nguyên dơng của PT là
+
−
=
+
−
=
7 8
1 3
t y
t x
(t <
3
1 )
2 - Giải phơng trình nghiệm nguyên dùng tính chất chia hết.
* Cách giải:
- Dùng tính chất chia hết để thu hẹp miền xác định của nghiệm.
*Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của PT 3x 2 + 5y 2 = 345
*Hớng dẫn:
- Vì 345 chia hết cho 3 và 345 chia hết cho 5
⇒ 3x2 : 5 ⇒ x2 : 5 ⇒ x : 5
⇒ 5y2 : 3 ⇒ y2 : 3 ⇒ y : 3
- Đặt x = 5a, y = 3b (a,b nguyên dơng)
⇒ 3.25a2 + 5.9b2 = 345 ⇒ 5a2 + 3b2 = 23
⇒ a2
5
23
≤ và b2
3
23
≤ ⇒ a ≤ 2 và b ≤ 2
- Thử với a = 1; 2 và b = 1; 2
Ta thấy chỉ có nghiệm nguyên dơng là x = 10; y = 3
*Ví dụ 2: Giải bài toán cổ:
Trăm trâu trăm bó cỏ Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba
Lụ khụ trâu già
Ba con một bó Hỏi trâu mỗi loại ?
Trang 7*Hớng dẫn:
- Gọi số trâu đứng là x con
- Gọi số trâu nằm là y con (Với x,y,z nguyên dơng)
- Gọi số trâu già là z con
Theo bài ra ta có
= + +
= + +
⇔
= + +
= + +
) 2 ( 300 9
15
) 1 ( 100 100
3 3 5
100
z y x
z y x z
y x
z y x
- Lấy (2) - (1) ⇒ 7x + 4y = 100 ⇒ y = 25 – 2x +
4
x ⇒ x: 4 ⇒ x = 4t (t ∈
Z)
⇒ y = 25 – 7t ⇒ z = 75 + 3t
Ta có y > 0 ⇒ t ≤ 3 Ta có các nghiệm sau :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
84 4
12
; 81 1
8
; 78 18 4
z y x z
y x z
y x
*Ví dụ 3: Giải PT nghiệm nguyên x 3 + 9y 3 + 9z 3 -9xyz = 0
*Hớng dẫn:
- Gọi x0, y0, z0 là nghiệm của PT ⇒ Ta có x3 + 9 + 9z3 -9x0y0z0 = 0
⇒ x0 : 3 ⇒ 3 y3 : 9 ⇒ y0 : 9 ⇒ 9z3 : 27 ⇒ z0 : 3
- Đặt x0 = 3x1 ; y0 =3y1 ; z0 = 3z1
⇒x1 + 3y3 + 9z3 - 9x1y1z1 = 0
Tơng tự trên ta có x1, y1, z1 đều chia hết cho 3
⇒x0, y0, z0 đều chia hết cho 32
- Lập luận nhiều lần ⇒ x0, y0, z0 đều chia hết cho 3n ( mọi n ≥ 1)
⇒ x0= y0= z0 = 0
3 - Giải phơng trình nghiệm nguyên bằng cách tách phần nguyên.
*Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của PT 5x 3y = 2xy - 10–
*Hớng dẫn:
5x – 3y = 2xy – 10 ⇔y(2x + 3) = 5x + 10 ⇔2y =
3 2
5 5 3 2
10 5
+ +
= +
+
x x
x
- Để PT có nghiệm nguyên thì 2x + 3 là ớc của 5
⇒ Chỉ có 2x + 3 = 5 x =1 ⇒ y = 3 (Thoả mãn)
Vậy PT có nghiệm nguyên dơng là x =1; y = 3
*Ví dụ 2: Giải phơng trình nghiệm nguyên 14xyz + 7x + 7z = -11 22yz–
*Hớng dẫn:
14xyz + 7x + 7z = -11 – 22yz
⇔7(xyz + x + z) = -11(1 + 2yz)
⇔x +
7
3 2 1
+
yz z
⇔x +
3
1 2
3 2 1 2
1
+
+
−
= +
z
=
=
−
=
3 1 2
z y x
4 - Giải phơng trình nghiệm nguyên bằng phơng pháp bình đẳng ẩn.
*Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của PT x + y + z = xyz
*Hớng dẫn:
x, y, z có vai trò bình đẳng
Trang 8Giả sử 0 < x ≤ y ≤ z ⇒ xyz = x + y + z ≤ 3z ⇒ xy ≤ 3
+ Nếu x = y = z ⇒ z3 = 3z ⇒ z2 = 3 không xảy ra
⇒ x, y, z không thể bằng nhau
+ Từ xy ≤ 3 ⇒ chỉ có cặp số (1; 2; 3) là nghiệm của PT
*Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dơng của PT 1 +1 +1 = 1
z y x
*Hớng dẫn:
x, y, z có vai trò bình đẳng
- Giả sử 0 < x ≤ y ≤ z ⇒
x z y x
3 1 1
1 + + ≤ mà 3≥ 1 ⇒x≤ 3
x
⇒x = {1; 2; 3}
+ Nếu x = 1 ⇒
z y
1
1 + = 1 – 1 ⇒
z y
1
1 + = 0 không xảy ra.
+ Nếu x = 2 ⇒
z y
1 1
+ =
2
1 dùng bình đẳng với y và z
⇒ (y;z) = {(4 ; 4) ; (3 ; 6) ; (6 ; 3)}
+ Nếu x = 3 ⇒ chỉ có y = z = 3
Vậy các cặp số sau là nghiệm của PT (2; 4 ; 4) ; (2 ; 3 ; 6) ; (3 ; 3 ;3)
*Ví dụ 3: Giải PT nghiệm nguyên + + = 3
y
zx x
yz z
xy
*Hớng dẫn:
- Nếu trong 3 số x, y, z có cùng một số âm thì
3 =
y
zx x
yz z
xy+ + < 0 không xảy ra
- Nếu x, y, z có cùng dơng hoặc có 2 số âm thì
y
x z x
z y z
y
1 Vậy x = y = z = 1
5 - Giải phơng trình nghiệm nguyên bằng phơng pháp loại trừ.
*Cách giải:
- Biện luận để làm ngắn miền nghiệm
*Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của PT 12 x + 5 y = 13 x
*Hớng dẫn:
- Ta thấy x = 2 là nghiệm của PT vì 122 + 52 = 132
- Biến đổi PT 12x + 5y = 13x ⇔ ) 1
13
5 ( ) 13
12 ( x + x = + Nếu x > 2 ⇒ )x
13
12 ( < ) 2
13
12 ( và )x
13
5 ( < ) 2
13
5
13
5 ( ) 13
12 ( x + x < không xảy ra.
+ Nếu x < 2 ⇒ )x
13
12 ( > ) 2
13
12 ( và )x
13
5 ( > ) 2
13
5
13
5 ( ) 13
12 ( x + x > không xảy ra.
Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất
*Ví dụ 2: Giải PT nghiệm nguyên x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y 2
*Hớng dẫn:
Trang 9x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y2
⇔ (x2 + 8x)(x2 + 8x + 7) = y2, đặt z = x2 + 8x
⇔z(z + 7) = y2 ⇒
−
≤
≥
7
0
z z
- Ta có (z + 3)2 < z(z + 7) < (z + 4)2 với mọi z > 9
⇒ (z + 3)2 < y2 < (z + 4)2 không xảy ra ⇒ z ≤ 9
Vậy z ≤ -7 hoặc 0 ≤ z ≤ 9
- Thay vào ta có:
(x;y) ={(-9;-12);(-9;12);(-8;0);(-7;0);(-4;-12);(-4;12);(-1;0);(0 ;0);(1;-12);(1;12)}
*Ví dụ 3: Giải PT nghiệm nguyên x 6 + 3x 3 + 1 = y 4
*Hớng dẫn:
- Xét x > 0 ta có (x3 + 1)2 < x6 + 3x3 + 1 < (x3 + 2)2
⇒ (x3 + 1)2 < y4 < (x3 + 2)2 không xảy ra
- Xét x ≤ - 2, ta có: (x3 + 2)2 = x6 + 4x3 + 4 < x6 + 3x3 + 1 < (x3 + 1)2
⇒ (x3 + 2)2 < y4 < (x3 + 1)2 không xảy ra
⇒ x = {0; 1} thay vào ta có nghiệm là
=
=
1
0
y
x
;
−
=
=
1
0
y x
*Bài tập t ơng tự : Giải PT nghiệm nguyên (x + 2) 4 - x 4 = y 3
6 - Giải phơng trình nghiệm nguyên đa về dạng tích.
*Ví dụ 1: Giải PT nghiệm nguyên dơng xy 4x = 35 - 5–
*Hớng dẫn:
xy – 4x = 35 – 5 ⇔xy – 4x + 5y – 20 = 15
⇔ (x + 5)(y – 4) = 15 ⇒ x + 5 và y – 4 là ớc của 15
Thay vào ta chỉ có nghiệm nguyên dơng là
=
=
5
10
y x
*Ví dụ 2: Giải PT nghiệm nguyên dơng x 2 – 6xy + 13y 2 = 100
*Hớng dẫn:
x2 – 6xy + 13y2 = 100 ⇔ x2 – 6xy + 9y2 = 100 – 4y2
⇔(x – 3y)2 = 4(25 – y2) ≥ 0 ⇒y ≤ 5 và 25 – y2 là số chính phơng Thay các giá trị của y, ta có các nghiệm nguyên dơng là :
(x ;y) = {(1 ; 3) ; (17 ; 3) ; (6 ; 4) ; (18 ; 4) ; (15 ; 5)}
*Ví dụ 3: Tìm nghiệm tự nhiên của PT xy 2 + 3y 2 x = 108–
*Hớng dẫn:
xy2 + 3y2 – x = 108
⇔ xy2 + 3y2 – x – 5 = 105
⇔(y2 – 1)(x + 3) = 105 ⇒ y2 – 1 là ớc của 105
Thay vào ta chỉ đợc y = 6 ⇒ x = 0 Vậy PT có nghiệm tự nhiên là
=
=
6
0
y x
Bài tập bổ sung, mở rộng Bài 1: Tìm nghiệm nguyên:
a) 3x + 2y = 85 b) 3x - 5y = 7 c) 5x + 25 = - 3xy + 8y2
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dơng:
a) 7x + 4y = 85 b) 8x + 9y = 79 c)
14
1 1
1 + =
y x
Trang 10Bài 3: Tìm x, y ∈ N thoả mãn 7.2x = 3y + 4
Bài 4: Cho đờng thẳng d có PT 2x + 3y = 11 Tìm các điểm nằm trên đờng
thẳng d có toạ độ là các số nguyên và nằm trong góc phần t thứ I
Bài 5: Chứng minh rằng trên đờng thẳng 6x – 2y = 1, không tồn tại điểm
nào có toạ độ là các số nguyên
Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của hệ PT
−
= +
−
= +
−
= +
1 1 1
yz xt
yt xz
zt xy
Bài 7 : Tìm a để HPT có có nghiệm nguyên
+
= +
= +
1
2
a ay x
a y ax
Bài 8: Biết rằng PT x2 – 3x + 1 = 0 có nghiệm x = a Hãy tìm một gia trị của
b ∈Z để PT x16 –b.x8 + 1 = 0 có nghiệm x = a
Bài 9: (Đề thi HSG lớp 9- vòng 2-Thừa Thiên Huế- 2003-2004)
Tìm các số x, y, z nguyên dơng thoả mãn đẳng thức 2(y + z) = x(yz – 1) Bài 10: (Đề thi vào lớp 10 -THPT- Hải D ơng - 2004-2005)
Cho HPT
=
− +
= +
−
2 ) 1 (
) 1 (
y m x
m y x m
có nghiệm duy nhất là (x; y)
? Tìm giá trị của m để biểu thức
y x
y x
+
− 3 2
nhận giá trị nguyên
Bài 11: (Đề thi vào lớp 10 -THPT- Thái Bình- 2002-2003)
Cho biểu thức K =
x
x x
x x x
x x
) 1
1 4 1
1 1
1
−
−
− + +
−
−
−
+
a) Rút gọn biểu thức K
b) Với những giá trị nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên ?
Bài 12: (Đề thi vào lớp 10 chuyên toán- Quốc học Huế - 2002-2003)
Cho biểu thức A =
x
x x
x x x
x x
) 1
1 4 1
1 1
1
−
−
− + +
−
−
−
+
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị nguyên lớn hơn 8 (a ∈ Z; a > 8) để A có giá trị nguyên
IV- Kết quả đạt đ ợc
1- Kết quả chung:
Sau khi dạy xong về “Phơng trình nghiệm nguyên” cho học sinh Các em không những giải tốt những bài toán về “Phơng trình nghiệm nguyên”, mà các em còn giải
đợc một số bài toán có liên quan khác nh:
♣ Dạng toán chia hết
♣ Dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
♣ Dạng toán hệ phơng trình nghiệm nguyên
Thông qua các dạng toán về “Phơng trình nghiệm nguyên” giúp các em học sinh phát triển t duy tốt hơn, nhiều em thể hiện rõ sự yêu thích, say mê học toán hơn
2- Kết quả cụ thể:
a- Kiểm tra 20 em học sinh lớp 8A (Khá và trung bình) với bài toán:
Bài 1: Tìm số nguyên dơng x để y dơng và lớn nhất với y =
5 4
7 3
−
+
x x