GIẢI TÍCH II

Lưu ý:Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến số thực chất là đạo hàm của hàm một biến số.Vì trong quá trình lấy đạo hàm theo biến x thì y y0 const.. Đạo hàm của hàm hợp: Cho u f x, ytrong

BÀI SOẠN

GIẢI TÍCH TOÁN HỌC II

CHƯƠNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

§1:KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1) Hàm số nhiều biến số

Trong không gian Euclide n chiều n(n1)một phần tử x nlà một bộ n số thực

(x , x , , x ) Tập D   ta gọi ánh xạ n f : D   xác định bởi

x (x , x , , x )Du f (x)f (x , x , , x ) là một hàm số n biến xác định trên 

2) Tập hợp trong n:Giả sử M(x , x , , x ); N(y , y , , y ) trong 1 2 n 1 2 n n.Khoảng

cách giữa 2 điểm ấy,ký hiệu d(M,N) được xác định bởi

b) Điểm M được gọi là điểm trong của tập E nếu tồn tại một lân cận của M E

nằm hoàn toàn trong E

c) Điểm M được gọi là điểm biên của tập E nếu mọi lân cận của M vừa chứa

những điểm của E và những điểm không thuộc E

d) Tập E được gọi là mở của nnếu mọi điểm của nó đều là điểm trong

e) Tập E được gọi là liên thông nếu với mọi điểm M , M đều nối với nhau bởi 1 2

một đường cong liên tục nằm hoàn toàn trong E

3) Giới hạn của hàm số nhiều biến số:

a) Ta nói rằng dãy điểm M (x , y )n n n dần tới M (x , y ) khi n   và viết 0 0 0

M M nếu lim d(M , M ) hay 0 lim x x và lim y  y

b) Giả sử hàm zf (M)f (x, y)xác định trong một lân cận V của M (x , y ) 0 0 0Hàm f (M) được gọi là có giới hạn  khi M(x,y) dần đến M (x , y ) nếu 0 0 0

I Đạo hàm riêng:Cho hàm u f (x, y)xác định trong D mở, M (x , y )0 0 0 D

Cho x một số gia x0  sao cho x0   x D.Nếu tồn tại

Lưu ý:Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến số thực chất là đạo hàm của hàm một biến

số.Vì trong quá trình lấy đạo hàm theo biến x thì y y0 const

Hoàn toàn tương tự ta cũng có các định nghĩa đạo hàm riêng của các hàm 3,4…biến

II Vi phân toàn phần

Chú ý:Nếu hàm u f (x, y) khả vi tại M (x , y ) thì liên tục tại đó 0 0 0

2) Định lý:Nếu hàm u f (x, y) có đạo hàm riêng tại M (x , y ) và tại đó hàm 0 0 0

f (x , yy 0 0  y)f (x , y )y 0 0   với  0 khi y  0

Vậy  u f (x , y ) xx 0 0  f (x , y ) yy 0 0     x y đpcm

Chú ý:+ Nếu f (x, y)x hoặc f (x, y) thì y  x dxvà  y dy khi đó

duf dxx f dyy

+ Ta có thể dung vi phân toàn phần để tính giá trị gần đúng của một biểu

thức,xong sai số không theo ý muốn

III Đạo hàm của hàm hợp: Cho u f (x, y)trong đó x x(t,s) và y y(t,s)là các hàm số.Các hàm u, x, y là các hàm có đạo hàm riêng,khi đó

gọi là ma trận Jacobi của x,y đối với t và s.Định thức của ma trận gọi là định thức

Jacobi của x,y đối với t và s.Ký hiệu

Chú ý:Các quy tắc lấy đạo hàm riêng và vi phân của hàm số nhiều biến số tương tự như

quy tắc đối với hàm một biến số

IV Đạo hàm của hàm ẩn:

1) Khái niệm về hàm ẩn:Gsử từ phương trình F(x, y, z)0 xác định hàm z z(x, y)thỏa mãn F x, y, z(x, y) 0 Như vậy hàm zz(x, y)được xác định một cách ẩn bởi phương trình F(x, y, z)0 Tương tự đối với các hàm nhiều hơn ba biến

2) Định lý:Giả sử hàm F(x, y, z) có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận của

z

Fz

F



  



V Đạo hàm và vi phân cấp cao

1) Khái niệm:Giả sử hàm số Uf (x, y)có đạo hàm riêng U(x, y)

x



U(x, y)y



cũng là những hàm số có đạo hàm riêng và đó là các đạo hàm riêng cấp 2

2 2

2) Định lý(Schwarz):Nếu trong lân cận nào đó của M (x , y ) hàm số 0 0 0 Uf (x, y)

có các đạo hàm riêng fxy  fyx và các đạo hàm đó liên tục tại M (x , y ) thì 0 0 0

f (x , y ) f (x , y )xy 0 0  yx 0 0

Chứng minh:Xét  f (x  x, y y)f (x  x, y)f (x, y y)f (x, y)

Giữ y và y không đổi, đặt (x) f (x  x, y)f (x, y)thì   (x x) (x)

từ giả thiết ta có (x)khả vi trong x, x x,nên

khi  x 0và y  thì 0 f (x, y)xy f (x, y)yx vì các đạo hàm riêng hỗn hợp liên tục

3) Vi phân cấp cao:Giả sử duf dxx f dyy là vi phân toàn phần của hàm Uf (x, y)tại M (x , y ) ,với dx,dy được coi như hằng số và 0 0 0 duf dxx f dyy cũng là một hàm có

yy

Ngược lại thay x bởi i tx và nhân hai vế của đẳng thức đã cho với i tk 1 thì được



 cho t1 ta được Cf (x , x , , x )1 2  n ,tức là

f (tx , tx , , tx )1 2  n t f (x , x , , x )k 1 2  n

VII Đạo hàm theo hướng.Gradien

Cho hàm số U(x, y, z) xác định trên V   Qua điểm 3 M (x , y , z )0 0 0 0 Vvẽ một đường thẳng định hướng có vecto đơn vị là 

,M là một điểm trên đường thẳng đó

trong đó cos , cos ,cos   là tọa độ của vecto 

(hay còn gọi là côsin chỉ phương)

Chứng minh:Do giả thiết,nên

u u(M ) cos0 u(M )cos0 u(M ) cos0 o( )

VIII Công thức Taylor:

Định lý:Cho hàm số f (x, y) có đạo hàm riêng đến cấp (n 1)liên tục trong lân cận nào đó của điểm M (x , y ) Nếu 0 0 0 (x0  x, y0  y)cũng thuộc lân cận đó thì

Chứng minh:Đặt F(t)f (x0  t x, y0  t y)với 0 t 1 khi đó

§3:CỰC TRỊ

I Cực trị của của hàm nhiều biến:Cho hàm số u f (x, y)xác định trong miền D nào

đó trong 2,điểm M (x , y )0 0 0 D.Ta nói hàm u f (x, y)đạt cực trị tại M nếu với mọi 0điểm M(x, y) trong lân cận của M :0 f (x, y)f (x , y )0 0 giữ nguyên một dấu

nếu f (x, y)f (x , y )0 0  thì hàm số đạt cực tiểu tại 0 M 0

nếu f (x, y)f (x , y )0 0  thì hàm số đạt cực đại tại 0 M 0

c) ACB2  thì u0 f (x, y)có thể đạt hoặc không đạt cực trị tại M 0

Chứng minh:Giả sử M(x0  h, y0 k)ở trong lân cận M theo công thức Taylor ta có: 0

g(h, k)Ah 2BhkCk coi là cùng dấu với  Ta coi g(h, k)Ah2 2BhkCk2

là dạng toàn phương của 2 biến h và k.Dạng toàn phương có ma trận A B

Cụ thể:Với hàm 3 biến u f (x, y, z)có f (M )x 0 f (M )y 0 f (M )z 0 0,còn các đạo hàm cấp hai tính tại M (x , y , z ) Ở đó 0 0 0 0

2 0

xy xz x

1)Tìm điểm nghi ngờ:

x y z

Định thức con chính dương thì dạng toàn phương xác định dương

Dạng toàn phương xác định âm khi và chỉ khi các định thức con chính cấp lẻ âm và cấp chẵn dương

II Cực trị có điều kiện

1) Bài toán:Tìm cực trị của hàm số u f (x, y)thỏa mãn điều kiện g(x, y) 0

2) Điều kiện ắt có của cực trị có điều kiện

Giả sử M (x , y ) là điểm cực trị có điều kiện của hàm số 0 0 0 uf (x, y)và thỏa mãn điều kiện g(x, y) 0

Định lý:Các hàm f (x, y) ; g(x, y) có đạo hàm riêng cấp một liên tục trong lân cận của điểm M (x , y ) và thỏa mãn 0 0 0 gx2(M )0 gy2(M )0  Khi đó 0

Đối với hàm nhiều hơn hai biến số ta cũng có kết quả tương tự

§4:PHÁP TUYẾN VÀ TIẾP DIỆN1) Tiếp tuyến của đường cong ghềnh trong không gian

Trong không gian cho đường cong ghềnh

x x(t)(L) y y(t)

xcos

trong đó việc chọn dấu được xác định với việc chọn hướng của tiếp tuyến

Mặt phẳng pháp diện của đường cong tại M có phương trình

(Xx)xt (Y y)yt (Zz)zt  0

2) Tiếp diện

Giả sử trong không gian cho một mặt S có phương trình F(x,y,z) trong đó 0

F(x,y,z) là hàm khả vi.và M (x ,y ,z ) S0 0 0 0  gọi là điểm chính quy khi

Fx2 Fy2 Fz2 0

Giả sử đường L trong S qua M có phương trình 0

x x(t)(L) y y(t)

không đổi,còn a(x ,y ,z )    t

thay đổi khi L thay đổi

nhưng vẫn qua M.Nên vecto

x

fcos

§1.TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

I Tích phân phụ thuộc tham số cận là hằng số

1) Khái niệm:Cho tích phân

b a

f (x, y)dx

 với yc,d.Đặt

b a

F(y)f (x, y)dx,tích phân đó phụ thuộc y được gọi là tích phân phụ thuộc tham số

2) Tính chất

a) Định lý 1:Nếu f (x, y) liên tục trên a, b  c,dthì hàm

b a

F(y y)F(y)  f (x, y y)dx f (x, y)dx f (x, y y)f (x, y) dx

vì hàm f (x, y) liên tục trên a, b  c,dnên liên tục đều trên đó,nên

b a

Chứng tỏ

y 0

lim F(y y) F(y)

     ,tức là F(y) liên tục tại y.Do y bất kỳ trên c,dnên F(y) liên tục trên c,d

b) Định lý 2:Nếu với mỗi yc,dhàm số f (x, y) liên tục trên a, btheo x và

y

f (x, y) liên tục trên a, b  c,dthì hàm

b a

F(y)f (x, y)dx khả vi trên c,dvà ta có

b y a

y 0

a

Flim f (x, y)dx

  đó là điều phải chứng minh

c) Định lý 3:Nếu hàm f (x, y) liên tục trên a, b  c,dthì

b a

Chứng minh:hàm f (x, y) khả tích trên c,dlà hiển nhiên

Giả sử với u bất kỳ thỏa mãn cud,ta chứng minh

(x, u) f (x, y)dy

u u

1) Định lý 1:Nếu hàm f (x, u) liên tục trên a, b   , ,các hàm số a(u);b(u)

liên tục trên  , và aa(u)b; b(u)     u  , thì

(u) f b(u), u b (u) f a(u), u a (u) f (x, u)dx

   

b(u) u

III Tích phân phụ thuộc tham số cận suy rộng:Cho hàm số f (x, u) xác định trong

miền R a x   ; u .Giả sử với mỗi u   , mà tích phân

I(u) lim f (x, u)dx f (x, u)dx

 gọi là hội tụ đều về hàm I(u) trên đoạn  , 

nếu  0, A 0 a để sao cho    u  , AA0:

 hội tụ đều trên  , 

3) Định lý:Cho hàm số f (x, u) liên tục trên R a x   ; u mà tích phân hội

tụ đều trên  , ,thì tích phân

4) Định lý:Cho hàm số f (x, u) liên tục trên R a x   ; u mà tích phân hội

tụ đều trên  , ,thì tích phân

a

f (x, u)dx



 khả tích trên  , .Và

I Thể tích hình trụ Cho hình trụ V xác định bởi phương trình z = f(x,y), đáy là miền D

Chia D thành n phần rời nhau Gọi tên và diện tích mỗi phần là Di (i 1, n) Trên mỗi miền con Di, chọn bất kì điểm Mi(xi,yi) Khi đó V được tách thành các vật thể hình trụ

Khi tăng số mảnh chia lên vô hạn, sao cho maxDi0 Nếu giới hạn:

  , và gọi là tổng tích phân của hàm f trên D

Cho n   , sao cho maxDi0 Nếu giới hạn  

III Ý nghĩa của tích phân kép

1 Tính thể tích Trường hợp f(x,y) không âm thì tích phân  

trong đó (x,y) là hàm khối lượng riêng của bản phẳng

4 Tính tọa độ trọng tâm Cho hệ gồm n chất điểm M1(x1,y1), M2(x2,y2), … , Mn(xn,yn), với khối lượng tương ứng là m1, m2, … mn Khi đó trọng tâm G của hệ có tọa độ tính theo công thức

IV Sự tồn tại và tính chất của tích phân kép

1 Sự tồn tại: Người ta chứng minh được rằng, nếu f(x,y) liên tục trên miền đóng, bị chặn thì khả tích trên miền ấy

2 Tính chất: Tích phân kép có các tính chất giống với tích phân xác định Nếu các tích

phân có mặt trong các công thức sau là tồn tại thì:

V1) Miền lấy tích phân là hình chữ nhật

Định lí 1 (Định lí Fubini). Giả sử D là hình chữ nhật [a,b] × [c,d] và f : DRlà hàm

số khả tích trên D Khi đó:

1) Nếu với mỗi x cố định trên [a,b], hàm một biến f(x,.) Khả tích trên [c,d] thì hàm số

d c

yJ y f x, y dx khả tích trên [c,d] và:

Công thức (2) được chứng minh tương tự

V2) Miền lấy tích phân là hình bất kì, giới nội

Định lí 2 Giả sửD x, y | a x b, y x1  yy2 x , trong đó y1(x), y2(x) là hai hàm liên tục trên [a,b] Nếu f(x,y) là hàm số liên tục trên D thì

Giả sử hình chiếu của D trên trục Ox là [a,b], trên trục Oy là [c,d] Giả sử biên của D được chia thành các phần: Dưới, Trên, Trái, Phải, với các phương trình tương ứng dưới dạng tường minh là: y = y1(x), y = y2(x), x = x1(y), x = x2(y)

c)  

y 4

a) D = {y = x2, 4y = x2, x = 2}, f(x,y) = x2y

2 2

b)  

2 y 1

VI ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP

6.1) Đổi biến tổng quát Xét  

Giải Miền lấy tích phân tương đối phức tạp Để khắc phục, ta thực hiện phép đổi biến

6.2) Tính tích phân kép trong tọa độ cực

1 Nhắc lại tọa độ cực Trong mặt phẳng, dựng trục Ox Xét điểm M bất kì

Đặt r OM ,  Ox,OM 

Khi đó bộ số (  , r) được gọi là tọa độ cực của điểm M Tọa độ đề các và tọa độ cực có liên hệ x = rcos  , y = rsin 

2 Đổi biến sang tọa độ cực

Thực hiện phép đổi biến sau, gọi là đổi biến sang tọa độ cực:

x = rcos  , y = rsin  Định thức Jacobi của phép đổi biến là

If x, y dxdyf r cos , r sin  rdrd

Để xác định cận lấy tích phân, ta mô tả D' dưới dạng các ràng buộc bất đẳng thức

Đó là công thức tính tích phân kép trong tọa độ cực

Chú ý: Nếu đổi biến x = a rcos  , y = b rsin  thì phép đổi biến được gọi là đổi sang tọa độ cực suy rộng Định thức Jacobi của phép đổi biến là J = abr Vậy, gọi D' là miền nghịch ảnh của miền D qua phép đổi biến (*) thì

 2 2   2 2 

a) D x y 2x , b) D 2xx y 4x Giải:

a) Miền D được vẽ như hình bên Đổi sang tọa độ cực xr cos ; y r sin

Phương trình biên của D được viết như sau:

b) Miền D được vẽ như hình trên Đổi sang tọa độ cực x r cos ; y r sin

Phương trình biên của D được viết như sau:

Đó là hình hoa hồng hai cánh đối xứng qua Ox và Oy Do x 0 nên D là cánh phải

3 Chú ý về ứng dụng phép đổi biến trong tích phân kép

Khi tính tích phân kép, cần để ý trước hết đến miền lấy tích phân Nếu miền lấy tích phân

là hình tròn hoặc hình quạt, thì nên đổi biến sang tọa độ cực Khi đó việc xác định cận tích phân là dễ dàng

§3 TÍCH PHÂN BỘI BA

I Định nghĩa và tính chất tích phân bội ba

1 Định nghĩa Cho hàm số f(x,y,z), xác định và liên tục trên miền đóng giới nội V của không gian Oxyz Chia V thành n phần rời nhau Gọi tên và thể tích mỗi phần là

  , (In gọi là tổng tích phân của hàm f(x,y,z)) Cho n  , sao

cho maxVi0 Nếu giới hạn I =  

n

nlim f x , y , z V

  là tồn tại và không phụ

thuộc cách chia miền V, và cách chọn các điểm Mi, thì hàm sô f(x,y,z) được gọi là khả tích trên V, và giới hạn I được gọi là tích phân bội ba của hàm f(x,y,z) trên D Kí hiệu tích phân này là  

V

f x, y, z dxdydz

2 Ý nghĩa của tích phân bội ba

1) Khối lượng m của V tính theo công thức m =  

V

x, y, z dxdydz



 , trong đó x, y, z

là hàm khối lượng riêng của V

2) Thể tích của vật thể V tính theo công thức V =

II Tính tích phân bội ba trong tọa độ đề các

Xét tích phân I =  

V

f x, y, z dxdydz

 Đưa I về ba tích phân đơn liên tiếp như sau:

a) Chiếu V lên mặt phẳng Oxy Gọi hình chiếu là D Giả sử biên trên và dưới của V là hai mặt cong S1, S2 với các phương trình tương ứng là z = z1(x,y), và z = z2(x,y) Khi đó ta có:

III Tính tích phân kép trong tọa độ cầu

2 Nhắc lại tọa độ cầu Trong không gian Oxyz, xét điểm M bất kì Gọi N là hình

chiếu của M lên Oxy Đặt r  OM ,  Oz, OM ,   Ox, ON 

Khi đó bộ ba số (r, , )  được gọi là tọa độ cầu của điểm M Giữa tọa độ đề các và tọa độ cầu có liên hệ x = rcos  sin, y = rsin  sin, z = rcos

Một số vật thể trong tọa độ cầu:

2 Đổi biến sang tọa độ cầu

Thực hiện phép đổi biến sau, gọi là đổi biến sang tọa độ cầu:

x = r sincos  , y = r sin  sin, z = r cos

Khi đó người ta chứng minh được công thức

Trong đó V' là miền nghịch ảnh của miền V qua phép đổi biến (*)

Chú ý: Nếu đổi biến x = arsincos  , y = brsin  sin, z = crcos

Thì phép đổi biến được gọi là đổi sang tọa độ cầu suy rộng Khi đó

3 Chú ý về ứng dụng phép đổi biến trong tích phân bội ba

a) Khi tính tích phân bội ba, cần để ý trước hết đến miền lấy tích phân Nếu miền lấy tích phân là khối cầu hoặc khối quạt cầu, thì nên đổi biến sang tọa độ cầu Khi đó việc xác định cận tích phân là dễ dàng

b) Khi miền lấy tích phân là hình trụ cong, có đáy là hình tròn hoặc quạt tròn, hãy đưa tích phân bội ba về tích phân kép lấy trên đáy của trụ Để tính tích phân kép này, đổi biến sang tọa độ cực

CHƯƠNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG – MẶT

A: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

§1:TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I

I Định nghĩa:Trong mphẳng x0y cho hàm số Uf (x, y)xác định dọc theoL AB Dùng phép phân hoạch  chia L bởi các điểm chia AA , A , A , Ao 1 2 n B

Trên mỗi cung 