1.Hàm số nhiều biến
a) Xét tính lên tục của hàm số
- Nếu bậc cao nhất của từ số và mẫu số bằng nhau -> không liên tục?
Xét khi (x,y) → (0,0) Xét khi (x,y) → (0,0)
Nếu A1 ≠A2 => Không liên tục
- Nếu bậc cao nhất của từ số và mẫu số khác nhau -> liên tục? Hàm số liên tục tại mỗi điểm (x0,y0) ≠ (0,0)
Tại (x0,y0) = (0,0) Tính
Vậy (x0,y0) liên tục tại (0,0)
b) Tính gần đúng
c) Đạo hàm theo hướng Gradien
2.Cực trị
a) Cực trị địa phương
- Giải hệ z’x=z’y=0 -> Điểm dừng M
- Tính Δ=AC-B2=z’’ xx.z ’’ yy - z ’’
xy Tại M → ΔM
+ Δ<0 → Không đạt cực trị tại M
+ Δ>0 & A>0 →Cực tiểu
+ Δ>0 & A<0 →Cực đại
+ Δ=0 Xét z(x,-x) và z(x,0)
Nếu z đổi dấu → Không đạt cực trị Nếu z ≥ 0 với mọi x → Cực tiểu Nếu z ≤ 0 với mọi x → Cực đại b) Cực trị có đk
c) GTLN - GTNN
Trang 2CHƯƠNG 2
1.Tích phân 2 lớp:
a) D là hình thang cong:
D={x1(y) ≤ x ≤ x2(y) ; y1(x) ≤ y ≤ y2(x) } ={[x1(y) ,x2(y) ]x[y1(x) ,y2(x) ]}
→ b) Đổi biến tổng quát:
Đặt (u,v xđ trên D’); J=≠0; D’={(u,v)}
→ |J|.dudv
c) Đổi biến trong tọa độ cực:
Đặt ; J= r ≠ 0; D’={(r,�): α≤�≤β; r1(�)≤ r ≤ r2(�)}
→ r.drd�=
- Nếu D là hình tròn giới hạn bởi (x-x0)2 + (y-y0)2 =a2 thì đổi biến tịnh tiến:
; J= r; D’ xđ theo gốc mới I(x0, y0)
- Nếu D là miền elip: thì đổi biến co giãn:
; J=abr d) Tính S hình phẳng: vẽ hình, chiếu lên Ox, Oy => D
e) Tính S mặt cong:
2.Tích phân 3 lớp:
a) G là hình tr ụ cong:
G giới hạn dưới bởi mặt cong: z= z1(x,y)
G giới hạn trên bởi mặt cong: z= z2(x,y)
(z1, z2 liên tục trên D); D={x1(y) ≤ x ≤ x2(y) ; y1(x) ≤ y ≤ y2(x) }
b) Đổi biến tổng quát:
Đặt ; J= ≠ 0; G’={(u,v,w)}
c) Đổi biến trong tọa độ trụ:
Đặt ; J= r ≠ 0; G’={(r,� ): α≤�≤β; r,z 1(�)≤ r ≤ r2(�);z1≤ z ≤z2}
d) Đổi biến trong tọa độ cầu:
Đặt ; J= -r2sin�
d) Tính V vật thể: chiếu xuống Oxy => D
- Nếu vật thể giới hạn bởi mặt cong dưới f1(x,y) và mặt cong trên f2(x,y)
Trang 4CHƯƠNG 3 1.Tp đường
a)Tp đường L1 b)Tp đường L2
2.Tp mặt
a) Tp mặt L1 b) Tp mặt L2
Trang 51.PTVP cấp 1
a) PT phân li: f(x)dx + g(x)dy = 0
→ Tích phân 2 vế
b) PT đẳng cấp: y’=P/Q hoặc y’= Pdx + Qdy (với P,Q cùng bậc)
Đặt y=ux → y’=u+u’x
u’=du/dx=… →dx/x = du/…
Tích phân 2 vế
c) PTVP TT cấp 1: y’ + p(x).y = f(x)
Giải PT thuần nhất: y’ + p(x).y = 0 →
Nghiệm riêng:
NTQ: y=ytn + y*
d) PT Becnouli: y’ + p(x).y = f(x).yα (với α≠0, α≠1)
- Xét y=0 là nghiệm của PT?
- Xét y≠0, chia 2 vế cho yα
Đặt z=y1-α →z’=(1-α).y-α.y’
Ta có: z’+(1-α)p(x).z = (1-α).f(x) là PTVP TT
e) PTVP toàn phần: P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (với P’y = Q’x)
Thừa số tích phân: α = hoặc α =
PT ↔ α.Pdx + α.Qdy = 0
PTTQ:
hoặc
2.PTVP cấp 2
a) PTVP TT thuần nhất: y’’+p(x).y’+q(x).y = 0
b) PTVP TT không thuần nhất: y’’+p(x).y’+q(x).y = f(x)
c) PTVP TTC2 hệ số hằng:
- PTVPTT thuần nhất: y’’+p.y’+q.y = 0
Giải PTđt: λ2 + pλ + q = 0 =>λ
+ Nếu PTđt có 2 nghiệm thực phân biệt:
→ NTQ:
+ Nếu PTđt nghiệm kép:
→ NTQ:
+ Nếu PTđt có 2 nghiệm phức: λ1= α+βi , λ2= α-βi
→ NTQ:
- PTVPTT không thuần nhất: y’’+p.y’+q.y = f(x)
+Tìm NTQ của PT thuần nhất: y’’+p.y’+q.y = 0 => ytn
+ Tìm nghiệm riêng:
TH1: Vế phải f(x)= e αx P n (x) với Pn(x) là đa thức bậc n của x
Nếu α không là nghiệm của PTđt => nghiệm riêng: y*=e αx Qn(x)
Nếu α là nghiệm đơn của PTđt => nghiệm riêng: y*=x.e αx Qn(x)
Trang 6Nếu α là nghiệm kép của PTđt => nghiệm riêng: y*=x 2 e αx Qn(x)
TH2: Vế phải f(x)= e αx [P n (x).cosβx +Q m (x).sinβx] với l=max(m,n)
Nếu α+βi không là nghiệm của PTđt
=> nghiệm riêng: y*=e αx [Hl(x).cosβx +Kl(x).sinβx]
Nếu α+βi là nghiệm của PTđt
=> nghiệm riêng: y*=x.e αx [Hl(x).cosβx +Kl(x).sinβx]
d) PT Euler: (ax+b)2.y’’+αx.y’+βy=f(x)
PT đặc biệt: x.y’’+αx.y’+βy=f(x)
Đặt x=et → t=lnx
y'=y’t/x;
Thay vào PT Euler → PTVP TTcấp 2
3.Hệ PT tuyến tính