Giải tích II - Chương 3 pps

Bây giờ, tổng quát hơn chúng ta sẽ định nghĩa khái niệm phép chia theo kiểu l-ới hình hộp n chiều H nói trên thành các hình hộp n chiều nhỏ hơn trong H.. Trong ch-ơng này khi nói về phép

3 Tích phân bội 3

3.1 Định nghĩa tích phân trên hình hộp 5

3.2 Điều kiện đủ để hàm khả tích 7

3.3 Tích phân bội trên tập giới nội 10

3.4 Cách tính tích phân bội 18

1

Sách dùng cho sinh viên tr-ờng Đại học xây dựng

và sinh viên các tr-ờng Đại học, Cao đẳng kĩ thuật

2

Tích phân bội

Trong ch-ơng này chúng ta sẽ xây dựng khái niệm và cách tính tích phân chohàm thực nhiều biến số Tr-ớc hết chúng ta nhắc lại khái niệm "hình hộp" đãbiết đến ở ch-ơng tr-ớc

Hình hộp trong R là khoảng đóng

[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

trong đó a, b ∈ R Ng-ời ta th-ờng nói hình hộp trong R là hình hộp 1 chiều.

Hình hộp trong Rn là tích Đề các của n khoảng đóng trong R:

H = [a1, b1] ì [a2, b2] ì ã ã ã ì [an , b n]hay

Nếu H2 là hình hộp 2 chiều H2 = [a1 , b1] ì [a2, b2], khi đó thể tích của H2

λ(H2) = (b1− a1)(b2 − a2)

chính là diện tích hình chữ nhật H.

Khi xây dựng khái niệm tích phân hàm một biến chúng ta đã nói tới phép

chia khoảng [a, b] thành n khoảng nhỏ bởi các điểm chia x i thuộc [a, b]

a = x0 < x1 < x2 < ã ã ã < x n = b.

Bây giờ, tổng quát hơn chúng ta sẽ định nghĩa khái niệm phép chia (theo kiểu

l-ới) hình hộp n chiều H nói trên thành các hình hộp n chiều nhỏ hơn trong H.

Hình 3.1: Phép chia l-ới hình hộp

Gọi T1 là một khoảng con nào đó (T1 = [x i , x i+1]) trong phép chia [a1, b1]

thành m1 khoảng nhỏ, T2 cũng là một khoảng con nào đó (T2 = [y j , y j+1]) trong

phép chia [a2 , b2]thành m2 khoảng nhỏ T-ơng tự đối với T n Khi đó hình hộp

Trong ch-ơng này khi nói về phép chia F một hình hộp nào đó, chúng ta luôn hiểu là phép chia kiểu l-ới nói trên Hiển nhiên thể tích của H bằng tổng

lim S(F ) = lim

N

X

f (ti)λ(H i ) = L,

Với ε > 0 tùy ý luôn tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho với mọi phép chia hình hộp

H có đ-ờng kính d(F ) < δ và mọi cách chọn các điểm ti ∈ H i , ta có

(Chú ý rằng sự tồn tại giới hạn của tổng tích phân S(F ) không phụ thuộc

vào việc chọn các điểm t i tùy ý trong H i)

Ví dụ Xét tích phân hàm hằng số f(x) ≡ C với ∀x ∈ H Khi đó với mọi phép

Định lí 3.1.1 (Điều kiện cần để hàm khả tích) Nếu f khả tích trên hình hộp

H , khi đó hàm f bị chặn trên H (tồn tại số K ∈ R để |f(x)| ≤ K với mọi x ∈ H).

Do định lí trên, trong ch-ơng này từ nay về sau khi nói về các hàm khả tích,

ta chỉ xét những hàm bị chặn

3.2 Điều kiện đủ để hàm khả tích

Chúng ta cần đến khái niệm sau về các phép chia

Định nghĩa 3.2.1 Giả sử F và F0 là hai phép chia một hình hộp H Ta nói phép chia F mịn hơn phép chia F0 nếu mọi hình hộp con của H ứng với phép chia F

đều nằm trong một hình hộp con nào đấy ứng với phép chia F0 Điều này t-ơng

đ-ơng với khẳng định mọi hình hộp con ứng với phép chia F0 là hợp của các hình hộp con nào đó ứng với phép chia F

H i(1)∩ H j(2).

H i(1) lµ h×nh hép con øng víi phÐp chia F1 vµ H(2)

j lµ h×nh hép con øng víi phÐp chia F2.

Định lí 3.2.2 (Định lí Darboux) I∗ = lim S∗(F ) và I∗ = lim S∗(F ) khi đ-ờng kính của phép chia d(F ) tiến tới 0.

Từ định lí trên, ta có hệ quả

Hệ quả 3.2.1 Điều kiện cần và đủ để hàm bị chặn f : H → R khả tích trên hình

hộp H là I∗= I∗ hoặc diễn đạt d-ới dạng khác t-ơng đ-ơng:

Với ε > 0 tùy ý luôn tồn tại một phép chia F sao cho

S∗(F ) − S∗(F ) < ε.

Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên.

Để chứng minhđiều kiện đủ, ta gọi I = I∗ = I∗ là giá trị chung của tích phân

trên, tích phân d-ới hàm f Theo Định lí Darboux, với ε > 0 tùy ý luôn tồn tại

δ = δ(ε) > 0 sao cho với mọi phép chia hình hộp H có đ-ờng kính d(F ) < δ, ta

có

|S∗(F ) − I| < ε và |S∗

(F ) − I| < ε.

Với phép chia F nh- vậy và chọn các điểm ti ∈ H i tùy ý, do tổng tích phân

S(F ) thoả mãn bất đẳng thức S∗(F ) ≤ S(F ) ≤ S∗(F ), suy ra

Định lí 3.2.3 Nếu hàm f bị chặn và liên tục trên hình hộp H ⊂ R n , khi đó f khả tích Hơn nữa nếu tập hợp các điểm gián đoạn của f là hữu hạn hoặc vô hạn đếm

3.3 Tích phân bội trên tập giới nội

Bây giờ chúng ta sẽ mở rộng khái niệm tích phân trên một miền giới nội (bịchặn) bất kì Chính xác hơn ta chỉ xây dựng khái niệm tích phân trên một miền

Chú ý rằng tr-ờng hợp không tồn tại một hình hộp nào đ-ợc chứa trong M, khi

đó theo quy -ớc λ∗(M ) = 0 Hiển nhiên λ∗(M ) ≤ λ∗(M ) Ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 3.3.1 Một tập M bị chặn đ-ợc gọi là đo đ-ợc dạng Jordan nếu

λ∗(M ) = λ∗(M ) Khi đó giá trị chung của chúng

λ∗(M ) = λ∗(M )

đ-ợc gọi là độ đo Jordan của tập M (ng-ời ta còn gọi tắt là thể tích của M), kí hiệu

λ(M ) = λ∗(M ) = λ∗(M ).

Nhận xét rằng nếu M là hình hộp khi đó độ đo Jordan của M chính là thể

tích của hình hộp đó Ta có thể chứng minh rằng (dành cho độc giả) các đa giác,hình tròn, hình elip, hình cầu, là các tập đo đ-ợc dạng Jordan Nói chungcác tập hợp "thông th-ờng" (các tập hợp th-ờng gặp) là các tập đo đ-ợc dạngJordan

Tuy nhiên ta xét một ví dụ về tập hợp không đo đ-ợc dạng Jordan Kí hiệuA là tập các số hữu tỉ trên đoạn [0, 1] (xét trong tập các số thựcR) Hiển nhiên không tồn tại một hình hộp (đoạn thẳng) nào đ-ợc chứa trongA, suy ra λ∗(A) = 0 Trong khi đoạn thẳng (hình hộp một chiều) bé nhất chứaAlà đoạn [0, 1], nói cách khácλ∗(A) = 1 Vậy tập các số hữu tỉ trên đoạn [0, 1]không đo

Bây giờ ta xét tích phân hàm đặc tr-ng χ M(x) trên hình hộp H Dễ dàng chứng minh đ-ợc λ∗

(M ) và λ∗ (M ) bằng tích phân trên và tích phân d-ới t-ơng

ứng của hàm đặc tr-ng χ (x) Vì vậy định lí sau là hiển nhiên

Định lí 3.3.1 Tập bị chặn M ⊂ R n đo đ-ợc dạng Jordan khi và chỉ khi hàm đặc tr-ng χ M : H → R khả tích trên hình hộp H nào đó chứa M Khi đó thể tích (độ

đo Jordan) của M bằng:

λ(M ) =

Z

H

χ M (x) dx.

Nhận xét rằng tích phân trên không phụ thuộc vào việc chọn hình hộp H chứa

M Từ định lí này suy ra hợp (giao) của hữu hạn tập hợp đo đ-ợc dạng Jordan

cũng là tập hợp đo đ-ợc dạng Jordan Ngoài ra nếu A, B là hai tập hợp rời nhau

A ∩ B = ∅ trong Rn, hiển nhiên

Định nghĩa 3.3.2 Ta nói f khả tích trên tập bị chặn và đo đ-ợc M, nếu hàm f∗

Tính chất của tích phân bội

Tích phân trên tập bị chặn có các tính chất đơn giản sau đây (t-ơng tự tích phânhàm một biến, bạn đọc tự chứng minh)

1 Tập M là tập đo đ-ợc dạng Jordan trong R n Giả sử f và g là các hàm

5 Với f khả tích trên M,

Z

M

f (x)dx

≤

Z

M

|f (x)|dx.

6 Ta công nhận kết quả sau (còn đ-ợc gọi là định lí về giá trị trung bình)

Giả sử f liên tục trên tập liên thông D ⊂ R n và D đo đ-ợc dạng Jordan,

khi đó tồn tại một điểm c ∈ D sao cho

đối xứng nhau qua đ-ờng thẳng y = 0

f (x, y) = −f (x, −y) với mọi (x, y) ∈ M.

(Ta còn nói f là hàm lẻ theo biến y) Khi đó

Theo tính chất của tích phân bội nêu trên

Hình 3.2: Miền đối xứng

Từ định nghĩa tích phân bội lập các tổng tích phân của hai tích phân nói trên,

nếu ta sử dụng các phép chia đối xứng và chọn các các điểm t i = (ξ i , η i) cũng

đối xứng nhau qua đ-ờng thẳng y = 0, suy ra các tổng tích phân t-ơng ứng là

2 Ta cũng nhận đ-ợc kết quả t-ơng tự nếu tập M nhận đ-ờng thẳng x = 0 (trục tung) làm trục đối xứng (hoặc gốc tọa độ O làm tâm đối xứng), hàm d-ới dấu tích phân f(x, y) là hàm lẻ theo x, khả tích trên M

Ta nhận xét rằng D nhận đ-ờng thẳng x = 0 (trục tung trong mặt phẳng

xOy) làm trục đối xứng, hàm d-ới dấu tích phân

r

1 − x2

là nửa trên mặt phẳng xOy và V2 là phần còn lại, nửa d-ới Hàm d-ới

dấu tích phân (f(x, y, z) = x2yz3) nhận các giá trị đối nhau tại các điểm

đối xứng nhau qua mặt phẳng xOy (hàm lẻ theo z)

ý nghĩa hình học của tích phân bội

Giả sử f : M → R là hàm không âm khả tích trên M ⊂ R2 Đồ thị của f th-ờng

đ-ợc biểu diễn nh- một mặt cong trong không gian R3 Phần không gian giới

hạn bởi mặt cong đó, mặt phẳng tọa độ z = 0 và mặt trụ với M là đáy, đ-ợc

gọi là hình trụ cong ứng với hàm không âm f Do các tổng Darboux d-ới S∗(F )

là tổng các thể tích của các phần không gian nằm trong hình trụ cong và tổng

Darboux trên S∗(F )là tổng các thể tích của các phần không gian chứa hình trụ

cong, đồng thời f khả tích trên M hay lim S∗(F ) = lim S∗(F ), suy ra hình trụ cong có thể tích và thể tích hình trụ cong, kí hiệu V , bằng giá trị tích phân hàm

Trong thực hành ta th-ờng xuyên phải sử dụng định lí cực kì quan trọng sau

đây Để đơn giản, tr-ớc hết ta phát biểu và chứng minh cho tr-ờng hợp n = 2,

việc chứng minh trong tr-ờng hợp tổng quát hoàn toàn t-ơng tự dành cho bạn

đọc

Định lí 3.4.1 (Fubini) Cho hình chữ nhật H = [a, b] ì [c, d] và hàm f : H → R

khả tích trên đó Giả sử với mọi x ∈ [a, b], tồn tại tích phân xác định

g(x) =

Z d

f (x, y) dy.

Khi đó g(x) khả tích trên [a, b] đồng thời

Z b

a

g(x) dx =

Z b a

Z d c

Z d c

f (x, y) dxdy.

Chứng minh Xét phép chia F bất kì hình chữ nhật H.

Hình 3.4: Phép chia l-ới hình hộpGiả sử

Z d c

Z d c

Z b a

Z d c

f (x, y) dy



dx =

Z b a

Z d c

f (x, y) dy

trong định lí cũng chính là diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua x, vuông góc với trục Ox và "hình hộp cong" Vì vậy ng-ời ta còn kí hiệu tích phân đó bằng S(x) (Xem hình vẽ d-ới).

S(x) = g(x) =

Z d c

Khi đó h(y) khả tích trên [c, d] đồng thời

Z d

c

h(y) dy =

Z d c

Z b a

Từ hai định lí trên ta suy ra hệ quả sau

Hệ quả 3.4.1 Nếu các điều kiện của hai định lí trên đ-ợc thoả mãn, khi đó

Z b a

Z d c

f (x, y) dy



dx =

Z d c

Z b a

Z d c

Ví dụ 3.4.1

1 Tính tích phân

I1=

Z 5 2

Z 3 1

(5x2y − 2y3) dxdy.

Do hàm f(x, y) = 5x2

y − 2y3 liên tục trên hình chữ nhật D = [2, 5] ì [1, 3] suy ra f khả tích trên D Mặt khác với mọi y ∈ [1, 3] tồn tại tích phân xác

định

g(y) =

Z 5 2

(5x2y − 2y3) dx = 195y − 6y3

Vì vậy theo định lí Fubini

I1=

Z 3 1

g(y) dy =

Z 3 1

(195y − 6y3) dy = 660.

Chú ý rằng tích phân I có thể tính theo biến y tr-ớc, biến x sau

I1 =

Z 5 2

Z 3 1

5x2y − 2y3dy



dx =

Z 5 2

(20x2− 40) dx = 660.

2 Tính tích phân

I2 =

Z 1 0

Z 1 0

1

trong đó H = [2, 3]ì[0, 2]ì[0, 1] là hình hộp trong R3 Hình hộp H th-ờng

dx

Z 2 0

dy

Z 1 0

(zy2+ 2yx2)dz =

Z 3 2

dx

Z 2 0

Do miền D không là hình chữ nhật, nên để sử dụng đ-ợc công thức Fubini

đ-a tích phân trên về các tích phân xác định, ta lồng miền D vào trong

hình chữ nhật

H = {(x, y) | 1 ≤ x ≤ 2,1

2 ≤ y ≤ 2}.

(H là hình chữ nhật nhỏ nhất chứa miền D) Nhắc lại rằng

I4 =ZZ

(x3− x) dx = 9

4.

Các nhận xét liên quan tới định lí Fubini

1 Chú ý rằng khi tính tích phân bội trên miền bị chặn, để có thể áp dụng côngthức Fubini ng-ời ta th-ờng sử dụng ph-ơng pháp trên, tức là lồng miền lấy

ZZ

f (x, y) dxdy,

Z d c

f (x, y)χ M (x, y) dxdy =

Z b a

dy

Z x2(y)

x1(y)

f (x, y) dx.

2 T-ơng tự nếu V ⊂ R3 là miền đ-ợc xác định bởi các bất đẳng thức

Ngoài ra nếu kí hiệu S(x) là thiết diện tạo bởi V với mặt phẳng đi qua x, vuông góc với trục Ox, khi đó

ZZ Z

V

f (x, y, z) dxdydz =

Z b a

trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng

x + y + z = 1 Miền V đ-ợc xác định bởi các bất đẳng thức

Z 1 0

Do diện tích thiết diện S(x) (để thuận tiện ta cũng kí hiệu diện tích đó là

S(x) ) bằng tích π với các bán trục của elip

a2



Suy ra

T1 =ZZZ

mặt phẳng xOy làm mặt phẳng đối xứng, do vậy V = V1 ∪ V2, trong đó

V1 là nửa trên mặt phẳng xOy và V2 là phần còn lại, nửa d-ới Hàm d-ới

dấu tích phân (z) nhận các giá trị đối nhau tại các điểm đối xứng nhau qua mặt phẳng xOy Từ định nghĩa tích phân bội suy ra tích phân hàm z trên

V1 và V2 cũng đối nhau Vậy

Cuối cùng ta phát biểu định lí đổi biến của tích phân bội Định lí đ-ợc diễn

đạt giống nh- trong tr-ờng hợp hàm một biến, chúng ta thừa nhận không chứngminh định lí này

Định lí 3.4.4 Cho hàm f : M → R khả tích trên tập giới nội M ⊂ R n Gọi

g : M0 → M là song ánh từ M0 ⊂Rn lên M, khả vi liên tục trên tập M0 Kí hiệu

g0(y)là Jacobien của ánh xạ g tại y ∈ M0, |g0(y)| = | det g0(y)|, khi đó

Nh- vậy bằng phép đổi biến x = g(y), ta đ-a tích phân bội hàm f(x) trên tập

M về tích phân bội trên tập M0 ánh xạ g đ-ợc viết một cách chi tiết hơn

g(y) = (g1 (y), g2(y), , g n(y))

trong đó g i : M0→R với mọi i = 1, 2, , n Jacobien của ánh xạ g là định thức

det g0(y) =

4t −4au cos3t sin t

b sin4t 4bu sin3t cos t

= 4abu sin3t cos3t

Z 6 3

trong đó M là hình hộp xiên giới hạn bởi các mặt phẳng

x+y +z = ±2, x+3y +z = 0, x+3y +z = 3, x−2y +2z = 1, x−2y +2z = 2.

Sử dụng phép đổi biến

u = x + y + z, v = x + 3y + z, t = x − 2y + 2z

hay d-ới dạng ma trận



u v t



 = A



x y z



Jacobien của ánh xạ đổi biến (ánh xạ tuyến tính) bằng

Nh- phép đổi biến x = g(y), ta đ-a tích phân bội hàm f(x) tập

M tích phân bội tập M0... class="text_page_counter">Trang 33

4t −4au cos3< /small>t sin t

b sin4t 4bu sin3< /sup>t...

trong định lí diện tích thiết diện tạo mặt phẳng qua x, vng góc với trục Ox & #34 ;hình hộp cong& #34 ; Vì ng-ời ta cịn kí hiệu tích phân S(x) (Xem hình vẽ d-ới).

S(x) = g(x)