Giải tích II

Để xây dựng khái niệm giới hạn, khái niệm cơ bản của giải tích trên Rn, cũng nh- trong giải tích I, ta cần khái niệm về khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong không gian Rn.. Điểm a ∈ Rn

MụC LụC

1.1 Không gian Rn 3

1.1.1 Chuẩn và khoảng cách trong Rn 3

1.1.2 Lân cận, tập đóng, tập mở và tập bị chặn 4

1.1.3 Giới hạn của dãy điểm trong Rn 6

1.2 ánh xạ, giới hạn và liên tục của ánh xạ 9

1.2.1 Giới hạn của ánh xạ 9

1.2.2 Giới hạn lặp 14

1.2.3 Hàm liên tục 17

1

Sách dùng cho sinh viên tr-ờng Đại học xây dựng

và sinh viên các tr-ờng Đại học, Cao đẳng kĩ thuật

2

Ch-¬ng 1

Hµm sè nhiÒu biÕn sè,

hµm vÐc t¬ nhiÒu biÕn sè

1.1.1 ChuÈn vµ kho¶ng c¸ch trong Rn

Phï hîp víi kÝ hiÖu trong gi¸o tr×nh §¹i sè vµ Gi¶i tÝch I, trong s¸ch nµy ta kÝ hiÖu R lµ tËp c¸c sè thùc, Rn lµ kh«ng gian vÐc t¬ víi c¸c phÐp to¸n

u + v = (u1 + v1, u2+ v2, · · · , un+ vn)

αu = α(u1, u2, , un) = (αu1, αu2, , αun)

víi mäi α ∈ R, u = (u1, u2, , un), v = (v1, v2, , vn) ∈ Rn C¸c vÐc t¬ thuéc

Rn, trong gi¸o tr×nh nµy cßn ®-îc gäi lµ c¸c ®iÓm trong kh«ng gian Rn vµ ngoµi

c¸c kÝ hiÖu ta th-êng sö dông lµ c¸c ch÷ in ®Ëm nh- a, b, u, v, ta cßn kÝ hiÖu

chóng b»ng c¸c ch÷ in hoa nh- M, N, A, B,

Kh«ng gian Rn lµ kh«ng gian ¬clit víi tÝch v« h-íng

u, v

= u1v1+ u2v2+ · · · + unvn.

§é dµi cña vÐc t¬ u = (u1, u2, , un) ∈ Rn, kÝ hiÖu |u|, ®-îc gäi lµ chuÈn trong

kh«ng gian Rn

|u| =

q

u2

1+ u2

2+ · · · + u2

n

ChuÈn cña vÐc t¬ u tÝnh theo c«ng thøc trªn cßn ®-îc gäi lµ chuÈn ¬clit trong

Rn Thùc chÊt chuÈn cña vÐc t¬ lµ mét ¸nh x¹ tõ Rn vµo R, nã cã c¸c tÝnh chÊt

3

• Với mọi u ∈ Rn, |u| > 0, đồng thời |u| = 0 khi và chỉ khi u = 0.

• |λu| = |λ| ã |u| với mọi λ ∈ R mọi u ∈ Rn

• |u + v| 6 |u| + |v| với mọi u, v ∈ Rn (bất đẳng thức tam giác).

Chú ý rằng ánh xạ |x| : Rn→R đ-ợc xác định

|x| = max

16i6n|xi| x = (x1 , x2, , xn)
cũng thoả mãn các tính chất trên nh- chuẩn ơclit, nó còn đ-ợc gọi là chuẩn max

trong Rn L-u ý rằng ta có thể có nhiều chuẩn khác nhau trên không gian Rn, trong giáo trình này ta hạn chế chỉ xét chuẩn ơclit

Để xây dựng khái niệm giới hạn, khái niệm cơ bản của giải tích trên Rn, cũng nh- trong giải tích I, ta cần khái niệm về khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong

không gian Rn

Khoảng cách giữa hai điểm x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) ∈ Rn đ-ợc xác định

d(x, y) = |x − y| =

v u u t

n

X

i=1

(xi− yi)2

Từ các tính chất của chuẩn, ta suy ra các tính chất của khoảng cách

• Với mọi x, y ∈ Rn, d(x, y) > 0 và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.

• d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ Rn

• d(x, z) 6 d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ Rn (bất đẳng thức tam giác).

Chú ý khoảng cách giữa hai điểm x, y ∈ Rn có thể đ-ợc xác định thông qua chuẩn max

d0(x, y) = |x − y| = max

16i6n|xi− yi|.

Khoảng cách d0 cũng thoả mãn các tính chất trên

1.1.2 Lân cận, tập đóng, tập mở và tập bị chặn

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử a là điểm thuộc Rn, δ > 0 là số thực d-ơng tuỳ ý Ng-ời

ta gọi tập hợp

Uδ(a) = {x ∈ Rn | |x − a| < δ} hoặc {x ∈ Rn

| d(x, a) < δ}

1.1 Không gian Rn 5

là lân cận bán kính δ > 0 của điểm a ∈ Rn (hoặc còn gọi là hình cầu mở tâm a

bán kính δ).

Nếu V ⊂ Rn và V chứa một lân cận bán kính δ > 0 nào đó của điểm a thì V

đ-ợc gọi là lân cận của a.

Chú ý rằng lân cận của một điểm trong Rncũng có thể đ-ợc định nghĩa thông qua chuẩn max Ta dễ dàng chứng minh đ-ợc hệ thống các lân cận của một

điểm luôn nh- nhau cho dù nó đ-ợc xác định theo chuẩn nào (chuẩn ơclit hay chuẩn max) trong Rn

Hiển nhiên hợp hoặc giao của hai lân cận của điểm a cũng là lân cận của a.

Hoàn toàn giống nh- các khái niệm tôpô trong R, ta có thể nói đến điểm tụ,

điểm cô lập, tập đóng, tập mở trong không gian Rn

Giả sử H ⊂ Rn là tập con trong Rn Điểm a ∈ Rn đ-ợc gọi là điểm tụ của

tập H nếu mọi lân cận của a chứa vô hạn các phần tử của H (điểm tụ của tập H

có thể thuộc H cũng có thể không thuộc tập H) Dễ dàng chứng minh a là điểm

tụ của tập H khi và chỉ khi mọi lân cận của a chứa ít nhất một phần tử khác a

thuộc H.

Chẳng hạn Uδ(a) là hình cầu mở tâm a bán kính δ Mọi điểm x ∈ Rn thỏa mãn

tính chất |x − a| = δ (hay d(x, a) = δ) là điểm tụ của hình cầu đó.

H ⊂ Rn đ-ợc gọi là tập đóng trong Rn nếu nó chứa mọi điểm tụ (nếu có) của

H (Ta quy -ớc tập ∅ là tập đóng)

Tập hợp chỉ gồm hữu hạn phần tử là tập đóng, đặc biệt tập

Bδ(a) = {x ∈ Rn | |x − a| 6 δ} (hay {x ∈ Rn | d(x, a) 6 δ})

là tập đóng Bδ(a) còn đ-ợc gọi là hình cầu đóng tâm a bán kính δ.

Ta dễ dàng chứng minh đ-ợc

• Hợp của hữu hạn các tập đóng là tập đóng

• Giao của hữu hạn hoặc vô hạn các tập đóng cũng là tập đóng

Điểm a ∈ H đ-ợc gọi là điểm cô lập của tập H ⊂ Rn nếu tồn tại một lân cận

Uδ(a) của a sao cho Uδ(a) ∩ H = {a}.

Điểm a ∈ Rn đ-ợc gọi là điểm biên của tập H nếu một lân cận bất kì của a

đều chứa ít nhất một điểm thuộc H và một điểm không thuộc H Điểm b ∈ Rn

đ-ợc gọi là điểm ngoài của tập H nếu tồn tại một lân cận Uδ(b) của b sao cho

U (b) ∩ H = ∅.

Điểm a ∈ A đ-ợc gọi là điểm trong của tập A ⊂ Rn nếu tồn tại một lân cận

Uδ(a) của a sao cho lân cận Uδ(a) đ-ợc chứa trong tập A (Uδ(a) ⊂ A).

Tập A ⊂ Rnđ-ợc gọi làtập mở nếu mọi phần tử của A đều là điểm trong của

A Nói cách khác với mỗi a ∈ A tồn tại một lân cận Uδ(a) sao cho Uδ(a) ⊂ A.

Ta quy -ớc tập ∅ là tập mở

Hình cầu mở

Uδ(a) = {x ∈ Rn | |x − a| < δ} (hay {x ∈ Rn

| d(x, a) < δ})

là tập mở

Nh- vậy hình cầu mở là tập mở và ở ví dụ trên ta đã biết hình cầu đóng là tập

đóng

Tập hợp sau trong Rn viết d-ới dạng tích Đề các của n khoảng

H = (a1, b1) ì (a2, b2) ì ã ã ã ì (an, bn) ai < bi, ai, bi ∈R, ∀i = 1, 2, , n

là tập mở và H đ-ợc gọi là hình hộp trong Rn

T-ơng tự tích Đề các của n đoạn thẳng

[a1, b1] ì [a2, b2] ì ã ã ã ì [an, bn] ai < bi, ai, bi∈R, ∀i = 1, 2, , n

là tập đóng và đ-ợc gọi là hình hộp đóng trong Rn

Ta cũng dễ dàng chứng minh đ-ợc

• Giao của hữu hạn các tập mở là tập mở

• Hợp của hữu hạn hoặc vô hạn các tập mở cũng là tập mở

Cuối cùng ta có định lí sau, chứng minh t-ơng tự nh- trong R

Định lí 1.1.1 Phần bù (trong Rn) của tập mở là tập đóng và phần bù của tập

đóng là tập mở.

Tập A ⊂ Rn đ-ợc gọi là bị chặn (hay tập giới nội) trong Rn nếu tập đó đ-ợc

chứa trong một hình cầu nào đó ⇔ A đ-ợc chứa trong một hình cầu tâm 0

bán kính K > 0, A ⊂ UK(0)

Nói cách khác tồn tại số K > 0 sao cho |a| 6 K với mọi a ∈ A.

1.1.3 Giới hạn của dãy điểm trong Rn

Cũng nh- trong giải tích hàm một biến, giới hạn là khái niệm cơ sở ban đầu Mọi vấn đề của giải tích đều dựa trên khái niệm giới hạn Để thuận tiện trong

kí hiệu và không gây nhầm lẫn, ta viết x(1)

, x(2), , x(k), hay {x(k)}∞k=1 là dãy các điểm trong Rn

1.1 Không gian Rn 7

Định nghĩa 1.1.2 Dãy {x(k)}∞k=1 ⊂Rnhội tụ và có giới hạn bằng a ∈ Rn, kí hiệu:

lim

k→∞x(k) = a hoặc x(k)

→a,

nếu lim

k→∞

|x(k)−a| = 0.

Ta cũng có thể nói đầy đủ hơn x(k) → a khi k → ∞ nếu cho tr-ớc  > 0 tuỳ

ý, tồn tại một số tự nhiên n0 = n0() ∈ N (n0 phụ thuộc vào ) sao cho với mọi

k > n0 ta có:

|x(k)−a| < .

Dãy {x(k)}∞1 không hội tụ đ-ợc gọi là dãy phân kì.

Định nghĩa trên t-ơng đ-ơng với khẳng định mọi dãy điểm (véc tơ) trong Rn có

giới hạn bằng 0 khi và chỉ khi chuẩn của các véc tơ đó dần tới 0.

Định nghĩa giới hạn của dãy điểm nêu trên có thể diễn đạt theo ngôn ngữ lân cận nh- sau: lim

k→∞x(k)= a khi và chỉ khi một lân cận bất kì của điểm a chứa mọi

số hạng của dãy {x(k)}∞k=1 trừ hữu hạn số hạng đầu.

Hoàn toàn giống nh- trong tập các số thực R, ta có thể chứng minh dãy điểm {x(k)}∞

k=1 có giới hạn duy nhất nếu dãy hội tụ Hơn nữa định lí sau cho ta mối liên hệ giữa giới hạn của dãy điểm và giới hạn từng thành phần

Định lí 1.1.2 Với mọi dãy {x(k)}∞

k=1 trong Rn x(k) = (x(k)1 , x(k)2 , , x(k)n )

lim

k→∞x(k)= (a1, a2, , an) ⇔ lim

k→∞x(k)i = ai ∀i = 1, 2, , n

Chứng minh Thật vậy, kí hiệu a = (a1, a2, , an) và theo định nghĩa của chuẩn

|x (k)−a| =

q

(x(k)1 − a1)2+ (x(k)2 − a2)2+ ã ã ã + (x(k)n − an)2,

suy ra

|x(k)i − ai| 6 |x(k)−a| 6 |x(k)1 − a1| + ã ã ã + |x(k)n − an|.

Từ bất đẳng thức thứ nhất, theo nguyên lí kẹp về giới hạn dãy số nếu lim

k→∞x(k) = a

suy ra lim

k→∞x(k)i = ai ∀i = 1, 2, , n.

Ng-ợc lại theo bất đẳng thức thứ hai, Pn

i=1

|x(k)i − ai| → 0 kéo theo

limx(k)= a. 

Định lí trên khẳng định việc tìm giới hạn của dãy điểm {x(k)}∞k=1 trong Rn

t-ơng đ-ơng với việc tìm giới hạn của các thành phần tọa độ x(k)

i của x(k) Do

vậy ta còn nói sự hội tụ của dãy điểm x(k) trong Rn là sựhội tụ theo tọa độ

Nh-vậy giới hạn của dãy điểm trong Rn(nếu tồn tại giới hạn) làduy nhất và có tính

chất tuyến tính cũng nh- dãy số trong R

lim

k→∞(x(k)+ y(k)) = lim

k→∞x(k)+ lim

k→∞y(k)

lim

k→∞α ã x(k)= α ã lim

k→∞x(k), ∀α ∈ R.

Trong không gian Rn, các vấn đề t-ơng tự nh- nguyên lí kẹp, giới hạn dãy số

đơn điệu và bị chặn trong R, không có ý nghĩa vì các điểm trong Rn không đ-ợc sắp thứ tự Tuy nhiên ta vẫn có khái niệm dãy Cauchy.

Định nghĩa 1.1.3 Dãy {x(k)}∞k=1 đ-ợc gọi là dãy Cauchy trong Rn nếu cho tr-ớc

 > 0 tuỳ ý, tồn tại một số tự nhiên n0 = n0() ∈ N (n0 phụ thuộc vào ) sao cho với mọi k, m > n0 ta có:

|x(k)−x(m)| < .

Rõ ràng dãy {x(k)}∞k=1 là dãy Cauchy khi và chỉ khi các dãy thành phần

{x(k)i }∞k=1, ∀i = 1, 2, , n

cũng là các dãy Cauchy trong R Do vậy theo định lí 1.1.2 ta có

Định lí 1.1.3 Dãy {x(k)}∞k=1 trong Rn hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.

Khái niệm về dãy con của một dãy điểm trong Rn không có gì khác với dãy con trong R

Định lí 1.1.4 (Bolzano) Mọi dãy giới nội trong Rn đều chứa một dãy con hội tụ.

Chứng minh Giả sử dãy {x(k)}∞k=1 trong Rn là dãy bị chặn Dãy số {x(k)

1 }∞k=1

(thành phần thứ nhất của {x(k)}) bị chặn, theo định lí Bolzano về dãy số, dãy đó

chứa một dãy con {x(k 1 )

1 }∞k

1 =1 hội tụ

Xét một dãy con (với các chỉ số k1 vừa đ-ợc phát hiện) của dãy {x(k1)}∞k

1 =1 Thành phần thứ hai của nó cũng bị chặn, áp dụng định lí Bolzano về dãy số, nó

cũng chứa một dãy con {x(k2)

2 }∞k

2 =1 hội tụ

Cứ nh- vậy, sau n b-ớc lặp lại, ta đ-ợc một dãy con {x(k n )}∞

kn=1 của dãy đã cho ban đầu, mọi thành phần của dãy con này đều hội tụ Theo định lí 1.1.2, dãy con

đó hội tụ trong Rn, đ.p.c.m 

1.2 ánh xạ, giới hạn và liên tục của ánh xạ 9

1.2.1 Giới hạn của ánh xạ

ánh xạ f : A → Rm trong đó A ⊂ Rn đ-ợc gọi làhàm véc tơ n biến Tr-ờng hợp

riêng m = 1, ánh xạ f : A → R đ-ợc gọi là hàm số n biến, hay hàm thực n biến số.

Ví dụ ánh xạ f : R+ìR → R3, f (x, y) = ln x + y, sin(x2+ y2), x − y2

là hàm

véc tơ 2 biến nhận các giá trị trong R3

ánh xạ π : R3 →R, π(x, y, z) = y là phép chiếu lên thành phần thứ hai (trục

tung) π là hàm thực ba biến số.

Tổng quát hơn πk : Rn→R, π(x1, x2, , xn) = xk, phép chiếu lên thành phần

thứ k, là hàm thực n biến số.

Với hàm véc tơ n biến f : A → Rm, A ⊂ Rn

fk = πk◦f

đ-ợc gọi làthành phần thứ k của f và hiển nhiên f = (f1, f2, , fm) Hàm thành

phần fk : A → R là hàm thực n biến số.

Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm véc tơ n biến f : A → Rm, a là một điểm tụ của

A Ta nói giới hạn của hàm f bằng b ∈ Rm trong quá trình x → a, kí hiệu

lim

x→a f (x) = b nếu

∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho khi x thỏa mãn 0 < |x − a| < δ thì |f(x) − b| < .

Nói cách khác với lân cận Uε(b) tuỳ ý của b, tồn tại một lân cận Uδ(a) của a sao cho khi x ∈ Uδ(a) ∩ A và x 6= a ta luôn có f(x) ∈ Uε(b).

Cũng nh- giới hạn hàm thực một biến số, ta dễ dàng chứng minh

Định lí 1.2.1 Nếu hàm f có giới hạn trong quá trình x → a khi đó giới hạn của

hàm là duy nhất.

Chứng minh hoàn toàn nh- chứng minh nguyên lí chuyển đổi giới hạn giữa hàm thực một biến số và dãy số, ta có định lí t-ơng tự

Định lí 1.2.2 Điều kiện cần và đủ để tồn tại giới hạn lim

x→a f (x) = b là với mọi dãy

điểm {x(k)}∞

k=1 → a, dãy giá trị t-ơng ứng {f(x(k))}∞

k=1 cũng tồn tại giới hạn.

(Suy ra các giới hạn đó phải bằng nhau và cùng bằng b, lim

k→∞ f (x(k)) = b.)

Do hàm véc tơ n biến f = (f1, f2, , fm)là một bộ có thứ tự gồm m hàm thành

phần, theo định lí 1.1.2

lim

x→a f (x) = b ⇔ lim

x→afi(x) = bi với mọi i = 1, 2, , m trong đó các số thực bi là các thành phần tọa độ của b = (b1, b2, , bm)trong Rm

Từ nhận xét này, trong thực hành việc tìm giới hạn hàm véc tơ sẽ đơn giản hơn

nếu đ-a về bài toán tìm giới hạn các hàm thành phần fi, chúng là các hàm thực

n biến số

Chú ý rằng song song với kí hiệu lim

x→a f (x) = b, với a = (a1, a2, , an) ng-ời ta

còn sử dụng kí hiệu d-ới đây về giới hạn hàm véc tơ n biến trong quá trình

x = (x1 , x2, , xn) → a = (a1, a2, , an)

lim

x1→a1

x2→a2

ããã

xn→an

f (x1 , x2, , xn) = b.

Sử dụng định lí 1.2.2, ta dễ dàng chứng minh giới hạn hàm véc tơ có tính tuyến tính

lim

x→a (f + g)(x) = lim

x→a f (x) + lim

x→ag(x), lim

x→a(αf )(x) = α lim

x→a f (x)

Với hàm thực nhiều biến số, cũng sử dụng định lí 1.2.2 và các kết quả liên quan tới giới hạn dãy số thực của giải tích hàm một biến, không mấy khó khăn để chứng minh khẳng định sau

• Giả thiết f, g là các hàm thực n biến số, tồn tại các giới hạn hữu hạn

lim

x→af (x) = u, lim

x→ag(x) = v. Khi đó

lim

x→a f (x) ã g(x)

= u ã v, lim

x→a

f (x) g(x) =

u

v (v 6= 0).

• Nguyên lí kẹp vẫn đúng với hàm số nhiều biến số u, v : Rn→R

u(x) 6 f (x) 6 v(x), lim

x→au(x) = lim

x→av(x) = L ⇒ lim

x→af (x) = L

1.2 ánh xạ, giới hạn và liên tục của ánh xạ 11

• Đặc biệt tích của một VCB và hàm giới nội cũng là VCB trong cùng một

quá trình Cụ thể hơn, giả thiết α, f : Rn→R, f là hàm bị chặn tại một

lân cận nào đó của a và lim

x→aα(x) = 0, khi đó lim

x→a α(x) ã f (x)

= 0.

L-u ý rằng nếu lim

x→a f (x) = 0 , ta cũng nói hàm véc tơ f(x) là VCB trong quá trình

x → a và kí hiệu f(x) = o(x).

Ng-ời ta cũng đ-a vào khái niệm về dãy điểm dần ra vô cùng cũng nh- khái

niệmgiới hạn hàm khi biến tiến dần ra vô cùng

Định nghĩa 1.2.2

• Ta nói dãy điểm {x(k)} dần ra vô cùng nếu dãy số {|x(k)|}∞

k=1 tiến tới vô cùng

lim

k→∞

|x(k)| = +∞.

• Ta nói giới hạn của hàm f bằng b ∈ Rm trong quá trình x dần ra vô cùng, kí

hiệu lim

|x|→∞ f (x) = b nếu

∀ > 0, ∃K > 0 sao cho khi x thỏa mãn |x| > K thì |f(x) − b| <  Hoặc t-ơng đ-ơng với nó, diễn đạt theo ngôn ngữ dãy, với bất kì dãy điểm {x(k)}

dần ra vô cùng, dãy giá trị hàm t-ơng ứng {f(x(k))} luôn dần tới b.

Nhận xét rằng dãy điểm {x(k)

= (x(k)1 , , x(k)n )} trong Rn dần ra vô cùng khi và chỉ khi dãy số Pn

i=1

|x(k)i |(hoặc max

16i6n|x(k)i |) có giới hạn bằng vô cùng

Trong các ví dụ về giới hạn hàm hai biến (hoặc ba biến) quá trình x = (x, y) hoặc x = (x, y, z)
dần ra vô cùng th-ờng đ-ợc cho cụ thể hơn Chẳng hạn các

giới hạn d-ới đây đ-ợc xét trong quá trình x tiến ra vô cùng theo các dạng khác

nhau

lim

x→+∞

y→−∞

f (x, y) hoặc lim

x→x0 y→∞

f (x, y) hoặc lim

x→x0 y→+∞

z→−∞

f (x, y, z)

Giới hạn thứ nhất đ-ợc xét trong quá trình cả hai thành phần tọa độ x và y cùng tiến ra vô cùng: x tiến đến +∞, y tiến đến −∞.

Giới hạn thứ hai đ-ợc xét trong quá trình y tiến ra vô cùng trong khi x → x0

Giới hạn thứ ba đ-ợc xét trong quá trình x → x0, đồng thời cả hai thành phần

tọa độ y, z cùng tiến ra vô cùng.

Chẳng hạn trong giải tích hàm một biến ta đã biết lim

t→+∞te−t = 0, suy ra lim

x→+∞

y→+∞

(x + y)e−(x+y) = 0.

Tuy nhiên dễ dàng chứng minh không tồn tại giới hạn

lim

x→+∞

y→+∞

(x + y)e−x.

Ví dụ 1.2.1 (Về giới hạn hàm véc tơ, hàm số nhiều biến số)

1 Tìm giới hạn

lim

x→1 y→0

2x4+ x − xy + y4

x2+ y2

L-u ý rằng khi f là hàm thực hai biến, thay vì viết lim

(x,y)→(a,b)f (x, y) ng-ời

ta quen sử dụng kí hiệu limx→a

y→b

f (x, y) khi viết các biểu thức giới hạn Điều

đó đôi khi cũng xảy ra với cả các hàm thực ba biến số

Quay lại ví dụ trên, hàm x2

+ y2 ở d-ới mẫu của phân thức tiến đến 1, còn

biểu thức trên tử của phân thức, 2x4 + x − xy + y4 → 3 trong quá trình

(x, y) → (1, 0) Theo các nhận xét ở trên

lim

x→1 y→0

2x4+ x − xy + y4

x2+ y2 = 3.

2 Giới hạn

lim

x→∞

y→∞

(x + y)e−(x2+y2)= 0

khi x, y dần ra vô cùng Thật vậy

lim

x→∞

y→∞

(x + y)e−(x2+y2) = lim

x→∞

y→∞

xe−(x2+y2)+ lim

x→∞

y→∞

ye−(x2+y2)

và mỗi số hạng có giới hạn bằng 0 khi x → ∞, y → ∞

0 <

xe−(x 2 +y 2 )

6 e |x|x 2 → 0, 0 <

ye−(x 2 +y 2 )

6 e |y|y 2 → 0.