Bài tập giải tích II hàm biến nhiều số

BÀI TẬP GIẢI TÍCH II HÀM NHIỀU BIẾN SỐ Phép tính vi phân hàm nhiều biến, tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt, phương trình vi phân... Chương 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

BÀI TẬP GIẢI TÍCH II HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

Phép tính vi phân hàm nhiều biến, tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt, phương trình vi phân.

2012

Tạ Ngọc Ánh

Bộ môn Toán - Khoa CNTT - HVKTQS

(Sưu tầm và biên soạn)

Chương 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

1 Tìm tập xác định của hàm số

a) ux y b) u 1x2  1y2 c) u x2y2 1 d) ulnxy

2 Tìm giới hạn của hàm số

a)

2 2

2 2

x y u

x y





 khi ( ; )x y (0; 0) b)

2

2 4

xy u

x y



 khi ( ; )x y (0; 0)

x xy u

x y



khi ( ; )x y    ( ; ) d) u (x y) sin 1

xy

  khi ( ; )x y (0; 0)

e) u(x2y2)x y2 2 khi ( , )x y (0; 0) f)

2 2

ln(x e y)

u

x y





 khi ( , )x y (0; 0)

g) u(x2y2)(x y ) khi ( ; )x y    ( ; ) h) u sin xy

x

 khi ( , )x y (0;3)

3 Xét tính liên tục của các hàm số

a)

2 2

1

x y

e xy u

xy





 



b)

2

x y

x y

x y









4 Tính các đạo hàm riêng của các hàm số

a) uln(x x2 y2) b) ux y2 c) ue xz xy d) ue cos x xy2  e) uarctan(xy2)

5 Tính các đạo hàm riêng của hàm số tại O(0; 0)

a)

3 3

2 2

2

x y

x y







x y

u

x y



 





6 Tìm vi phân toàn phần của các hàm số

a) ux2y23xyz b)

3

xy u

x y



x u

y

 d) uln(xy2)

7 Kiểm tra xem hàm số u 3 x3 y3 có khả vi tại O(0; 0) hay không ?

8 Sử dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng

3 3

9 Tính đạo hàm, đạo hàm riêng của các hàm ẩn xác định bởi phương trình

a) xe yye xe xy  0 b) (x2y2 2) 3x y2 y3 tính y'(0) biết y(0) c) 0 z

xy z e

d) xe xy e2 yze z  0 e) xe yyzze xy  tại điểm (1;1) 0

10 Tính các đạo hàm riêng cấp hai

a) uln(x xy2) b) ux3ln(xy) c) ue xlnysin lny x d) ux4y4xy3

11 Cho

2 2

2 2

f x y xy

x y





 khi ( , )x y (0; 0) và f(0; 0) Tính đạo hàm riêng 0

''

(0; 0)

xy

f và ''

(0; 0)

yx

f Chỉ ra rằng f xy''(0; 0) f yx'' (0; 0)

12 Tính vi phân cấp hai của hàm số

a) ux 3xy y b) u x y z , chứng minh d u  0

ux y  z xy xz tại điểm M(1;1;1), tìm ma trận của dạng toàn phương 2

( )

d u M với các

biến dx dy dz , ,

13 Khai triển hàm số thành chuỗi Maclaurin đến vi phân cấp ba

a) xsin

ue y b) yln(1 x y) c) 2 2

u x y

14 Chứng minh

a) y z 'xx z 'y 0 với z f x( 2y2) và f t là hàm khả vi ( )

b) x z "xxy z "xy2 'z x0 với

2

(xy)

z

x y



 c) z"xxz"yy 0 với

2 2

z x y

" "xx yy ( " )xy 0

z z  z  với zy f x y ( / ) và f t có đạo hàm cấp hai liên tục ( )

15 Tìm hàm zz x y( , ) thỏa mãn

a) z'x  2 4ye xy, z'y  3 4xe xy, z(0;1)0 b) z'x x22xy23, z'y y22x y2 3

c) z"xx 12x y2 2, z'y x430xy5, z(0; 0)1, z(1;1) 2

16 Tính đạo theo hướng của vector v

tại điểm M

a) u x2y2, M(1;1),v(3; 4)

17 Tìm cực trị của hàm số

a) ux33xy230x18y b) u4(xy)x2y2 c) uxyxe y

d) ux33xy215x12y e) ux4y4x22xyy2 f) uxyln(x2y2) g) ux2xyy2 x y 1 h) 8 1 4 2(1 2)

4

u x x y x i) ux3y33xy

ux y  xy k) 2 2 2

ux y  z  x y z

ux  y z  y z m) 3 2 2

ux y z  xy z

18 Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số

a) ux2y2 với x2y2  1 b) uxy2 với xyy3  3 0

c) ux212xy2y2 với 4x2y2 25 d) ux3yy2 với x2 y2xy 3

e) ucos2xcos2 y với

4

1

x y

u x y z

z xy



 g) ux2y2z2 với

2 2

2

1

x y

z

2 2 2

1 0





19 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong miền tương ứng

a) uxy trong miền x2y2 25 b) ux2y2 trong miền

2 2

1

x y

3

ux yxy  xy trong miền 0x4, 0 y 3

d) u3xy2x22y2 trong miền  2 2 

D x y x  y 

2

ux xyy  x trong miền 2 2

0

x y  f) 2 2

ux xyy trong miền x  y 1

f) uxyz trong miền 2 2

1

x y z

20 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong

a) y34xy5yx312 tại điểm 0 M(1; 2) b) x(xy e) x2y30 tại điểm M(0;1)

c) x2 ,t2 y3 ,t ze t1 tại điểm M(2;3;1), viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện

21 Tìm tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong

a) x23y22z2 0 tại điểm M(1;1; 2) b) xy  tại điểm z 0 M(1;1;1)

Chương 2

TÍCH PHÂN BỘI

1 Tính các tích phân

D

I  x xy dxdy với D giới hạn bởiyx y, 2 ,x x 2 (Đs I 10)

b

D

I xydxdy với D giới hạn bởi xy 4 0,x2 2y (Đs I 90)

D

xy

I dxdy

x y





 với D là tam giác có các đỉnh là O(0,0), A(3,3), B(3,0) (Đs 9 ln 2

4

D

I  xy dxdy với D xác định bởi D0x, 0 yx (ĐsI )

D

x

I dxdy

x y





 với D giới hạn bởi

2

, 2

x

D

I  x y dxdy với D giới hạn bởi y x x2,  y2 (Đs 33

140

I  )

2 Đổi thứ tự lấy tích phân

a

2 2

3 1

0 2

( , )

y

y

I dy f x y dx



2

1

2 2 1 3 3 2

1

0 0 0 2 0

2

I dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy



b

2

1 2

0 2

( , )

x

x x

I dx f x y dy



2

1 1

1 2 1

y

I dy f x y dx dy f x y dx

 

c

2

1 1

0 1

( , )

y

y

dy f x y dx



 

  (Đs

2

0 1 1 1

1 0 0 0

I dx f x y dy dx f x y dy



3 Đổi biến để tính tích phân

a

D

I dxdy với D giới hạn bởi y 1 x y,  2 x y, 2x1,y2x 3 (Đ/s 2

3

I  )

b

D

I xdxdy với D xác định bởi xy x 3, 2 x 1 y 2x 5 (ĐS I 2)

D

I  xy xy dxdyvới D giới hạn bởi xy1,xy1,xy3,xy  1 (Đs 20

3

I  )

D

I  x x y dxdyvới D giới hạn bởi x2y24x  3 0 (Đs

2

D

I  x y dxdy với D xác định bởi x2y2 1, x y 0 (Đs 2 ln 2 1

2

I 

f (4 2 2) 4 x2 y2

D

I  x y e   dxdy với D xác định bởi 1 x2y2  4

g

D

I xydxdy với D là nửa trên của hình tròn (x2)2y2  4 (Đs 32

3

I   )

h

2 2

4

D

dxdy I



 với D xác định bởi x2y2 2 ,y x y (Đs 3 4 2

2

I    )

k

2 2

D

y

x

 với D xác định bởi 1x2 y22x (Đs 4 3

I 

D

I  x x y dxdy với D xác định bởi 2 x2y2 42 (Đs I  62)

D

I  x y dxdy với D là miền giới hạn bởi

i)

2 2 2

2 2 2, 0

4

x y a

a

x y a









3

14 3

a

I 

ii) Đường hai cánh rasin 2 , a 0 (Đs

3

4 9

a

I  )

n

2 2

2 2

sin

D

x y

I dxdy

x y







2

2 2 2 2 2

,

4

x y x y 



4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a y2 x y, 2xx2

2 2

4

b a

S  

2

3 2

a

S 

d 2 2

2 cos 2 ,

3

S  a

e y  và một nhịp của đường cycloid 0 xa t( sin ),t ya(1 cos ), 0 t  t 2 , a 0

(Đs S 3 a2)

f (x2y2 2) a x2( 2y2) a 0 (Đs S a2)

g 2/3 2/3 2/ 3

0

2

3 8

a

S 

h rasin 2 a 0

5 Tính diện tích của phần mặt:

a zx2y2 nằm trong mặt trụ x2y2  1 b

2 2

2 2

x y z

a b

  nằm dưới mặt z 1

c

2 2

x y z

a b

  nằm trong mặt

2 2

2 2 1

x y

a b  với ,a b  0

d x2y2z2 a2 nằm trong mặt (x2y2 2) a x2( 2y2) a 0

e z2 x2y2 nằm trong hình trụ x2y2  1

6 Tính thể tích

a Phần hình nón 2 2 2

z x y nằm trong mặt trụ 2 2

1

x y  b.Vật thể giới hạn bởi hai mặt x2y2z2 2 ,z x2y2 z2 lấy phần z x2y2 (Đs V )

c Vật thể giới hạn bởi và x y z a và mặt (x y ) a x( y ) a 0

7 Xác định trọng tâm của bản phẳng đồng chất giới hạn bởi các đường

a y2 4x và 4 y2  2x 4 b

2 2

1

25 9

x y

c 2

y x và 2

x y d xa(1 cos ) 

8 Tính các tích phân

V

I  x y zdxdydz với V giới hạn bởi x2y2 z z,  1 (Đs 4

21

b

V

I xy zdxdydz với V giới hạn bởi z0,z y y, x y2,  1 (Đs 8

189

I  )

V

I x dxdydz với V giới hạn bởi

2 2 2

2 2 2 1

x y z

3

4 15

a bc

I 

V

I  xyz dxdydz với V giới hạn bởi x2y2 z z, 4 (Đs I 32)

V

I z dxdydz với V xác định bởi x2y2z24,x2y2z2 4z(Đs 59

15

V

I  x y dxdydz với V xác định bởi x2y2z21,x2y2 z z2, 0(Đs

2

2 16

I   

g

V

I zdxdydz với V xác định bởi 0 1, 2 , 0 1 2 2

4

3072

V

I z x y dxdydz với V giới hạn bởi x2y2 2 ,x z0,za 0 (Đs

2

16 9

a

I  )

V

I  x y z dxdydzvới V là miền x2y2z2 x (Đs

10

V

I  x y dxdydz với V giới hạn bởi x2y2 2 ,z z 2 (Đs 16

3

V

I  x z dxdydz với V giới hạn bởi y x2z2,y 1x2z2 (

2

2 16

I   

V

I  x y z dxdydzvới V giới hạn bởi 2 2 2 2

3(x  y )z 3a a, 0

V

I  x y z dxdydzvới V là miền

2

2 2 1 1

x y z  

V

I  x y dxdydz với V là miền 2 2 2 2 2

a x y z b z (Đs 4 5 5

15

V

I  x y dxdydz với V giới hạn bởi z x2 y2,za, 0a 1

V

I  x y z dxdydzvới V giới hạn bởi x2y2z2  z (Đs

10

q ( 2 2 2)

V

I  x y z dxdydzvới V là miền 2 2 1

3

x y z

a a



V

I z dxdydz với V là miền x2y2z2  4 (Đs 128

15

V

I  xyyzxz dxdydzvới V là miền x2y2 z2  4

t

V

I ydxdydz với V giới hạn bởi y x2z2,ya 0

9 Hãy tính tích phân sau bằng cách chuyển sang

a

2

2 2

2 2

0 0 0

x x a

I dx dy z x y dz



    hệ tọa độ trụ (Đ/s

2

8 9

a

I  )

b

2 2 2

2 2

2

1 1

2

0 0

x y x

x y

I dx dy z dz

 





10 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi

a

2 2

2 2 2

1

x y y

x y z







b

2 2

2 2

2 2









c

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1 4









d

3









11 Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi

a x2y2 2az x, 2y2z2 3a z2, 0,a 0

b xy1,zx2y x2, 0,y0,z 0

Chương3

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT

1 Tính các tích phân đường loại I

a) I xyd



  với

2 2

2 2

a b

I x d



  và

2 2

3 2

y



2 2 2 2

:

0

 



c) I (x 2 )y d



   với

2 2 2 2

:

0

 



C

I  yd với C là đường cong

2 3

t t

xt y z   t

e)

C

I xyd với C là cung elip

2 2

2 2 1

x y

a b  nằm trong góc ,x y  0

f)

C

I xyd với C là đường cong cos , sin , , 0

2

2 Tính khối lượng đường cong

a) , 0

2

a

y e e  xa

biết khối lượng riêng là ( , )x y 1

y

  b) xacos ,t yasin ,t zbt, 0 t 2 biết khối lượng riêng là ( , , )x y z z2

3 Tìm chiều dài và trọng tâm của các đường đồng chất

a) xa t( sin ),t ya(1 cos ),0 t  t 2

b) xacos ,t ybsin ,t zct, 0 t 

4 Tính tích phân đường loại II

I x xy dx y xy dy



yx nối A ( 1;1) và B(1;1)

b) I (x y dx) (x y dy)



    với  là đường elip

2 2

2 2 1

x y

a  b  , lấy hướng dương

c)

(2;3) ( 1;3)

I xdy ydx



(2;3)

2 2 ( 1;3)

xdx ydy I

x y











AB

I   xy dxx ydy AB là đường

2 2

1 4

y

x   nối (1; 0)A và B(0; 2)

C

I  xy x y dx xy x y dy với C: x2 y2 2x Tính trực tiếp và sử dụng công thức Green

AB

I   x dxy dy với AB là đường tròn x2y2 2x nối A(0; 0) và B(2;0)

h) I 2(x2 y dx2) (x y dy)2



    với  là tam giác ABC trong đó A(1;1), (2; 2), (1;3)B C

i)

3

3

AB

x

I   x y xy dx xy  x x xy dy với AB là cung tròn x2 y2 4 và

( 2; 0), (2;0)

A  B

2 2 2 2 ( 1) ( 1) 1

ln

I x y dx y xy x x y dy

   





k)

2 2

3

1

3

x y

x

I xy x y xy dx xy x x xy dy

 



l)

2 2

2 4

2

x y

x

I xy x y dx y x dy

 



m)

2 2 4

x y x

 

n)

2 2

2 2

2 2 1

x y

a b

I x y dx xy dy

 

C

xdy ydx

x y





 với C là đường cong kín đơn không qua O(0; 0)

( 2;0) (2;0)

x y

I e x y dx x y dy





C

I xy dxyz dyzx dz trong đó C là đoạn thẳng nối O(0; 0), ( 2; 4;5)B 

q) Vẫn tính tích phân trong p) với C là đường tròn trong không gian cho bởi 45

x y





r)

C

I zdxxdyydz trong đó C là đường

2 2 2

1 1

x z



 



C

I   y z dx z x dy x y dz với C là giao tuyến của các mặt x2y2z2 4y và

2 2

x y  y z Tích phân lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía z 0

C

I   yz dx zx dy xy dz với C là giao tuyến của các mặt

2 2 2

9 0





Tích phân lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía x 0

C

I   ydx dyzdz với C là đường tròn

2 2

1 1

z







Tích phân lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía z 0

C

i  x dxy dyz dz với C là đường cong

2 2 2 2

4

x y z

z y









Tích phân lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ gốc tọa độ O

5 Tính tích phân mặt loại I

3

S

y

I  z x ds trong đó S là mặt 1

   với x y z  , , 0 b)

S

I yds trong đó S là mặt z x y2 với 0x1, 0 y 2

S

I  x y ds trong đó S là mặt z2 x2y2 với 0z1

S

I  xyz ds với S là phần mặt 2x2y  nằm trong góc , ,z 2 x y z  0

S

I x y  ds với S là phần mặt y24z16 cắt bởi x0,x1,z 0

6 Tìm khối lượng và trọng tâm của mặt 2 2

zx y z nếu khối lượng riêng là ( , , ) x y z  z

7 Tính tích phân mặt loại II

a)

S

I xyzdxdy trong đó S là phía ngoài của mặt cầu 2 2 2

1; , 0

x  y z  x y

S

I xdydzdzdxxz dxdy trong đó S là phía ngoài của mặt cầu 2 2 2

1; , , 0

x y z  x y z

S

I x dydzy dzdxz dxdy trong đó S là phía ngoài của mặt cầu 2 2 2

4

x y z  d) Tính tích phân như trong c) với S là phía ngoài của mặt nón z2 x2y2, 0z 4

e)

S

I xdydzydzdxzdxdy với S là phía ngoài mặt paraboloid 2 2

zx y z f)

S

I xzdydzyzdzdx dxdy với S là phía ngoài của chỏm cầu 2 2 2

25

x y z  cắt bởi z 3

g)

S

I xdydzydzdxzdxdy trong đó S là phía ngoài của mặt cầu x y z  4

S

I x dydzy dzdxz dxdy trong đó S là phía ngoài của mặt cầu x2y2z2  9

S

I xzdydzyx dzdxzy dxdy trong đó S là phía ngoài của mặt x2y2 9,z0,z 9

S

I  yz dydz zx dzdx xy dxdy trong đó S là phía ngoài của mặt

2 2

y z

x  x

Chương 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

1 x(1y2 2) dxy(1x2 2) dy0

2 y'cos 2ysiny 0

3 y' 1 1

x y



4 y'cos(xy)

5 x 1y dx2 y 1x dy2 0, y(0) 1

6 (x21) 'y  y24, y(1)2

7 ' sin cos 22 2

1

x x y

y





8 x y' ( ') y 3

9 (yx dx) (xy dy)  0

10

2

2 ' 2

1

y y

x y

3

x y

y

x y

 



12 xdyydx x2 y dx2

13 y' 2 xyxex2

14 (1x2) ' 2y xy(1x2 3)

15 (1x2) 'yxy1, y(0) 0

16 (xy1)dx(xy23)dy 0

17 xy' y 21 2

x y

18 y( ')y 2e y'  0

19 ( ')y 3y33yy'

20 yx y( ')2( ')y 3

21 xy'x e2 y 2

22 yy'xyx3

23 xy e" y"y" 0

24 y" 1

y



25 4 " 2y  yy" ( ') y  1

26 yy" ( ') y 2y2lny 0

27 yy" ( ') y 4( ')y 2  0

28 ( ")y 22xy"y' 0

x

   biết nghiệm riêng là y sin x

x



30 y" 4 ' yyx2

31 y" 6 ' 8 y  ye xe2x

32 y" 4 yxsin 2x

33 y"ysinx

34 y" 2 y4x e2 x2

35 Lập phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai nhận 2

1 , 2

y x y x làm hệ nghiệm cơ bản

36 Lập phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai nhận y1sin ,x y2 cosx làm hệ nghiệm cơ bản

37 ' 3 2

' 2

y y z

z y z







'

y z

z y

 









39 ' 2

y y z

z y z







40 ' 2

y y z

z

y y z







41 '

y y z

y y z







42

2

'

'

2

y y

z y z









 



'

'

z z

y















x x

y y z e

z y z e







45 '

y y z x

z y z





  



BÀI TẬP ÔN TẬP HỌC KỲ

1 Xét tính liên tục của hàm số

2 2 2

2 2

4 4

2 2

4 ,

x x y

x y

x y

f x y







 







sin cos 2

,

x

f x y

x y



 



2 2

2 2

2 2

2 2

4

,

x y

x y

x y

f x y

x y





 



2 2

2

,

x y

x y

x y x y

f x y

x y





 







2 2

2 2

,

x y

f x y

x y







 





2 Tìm cực trị của hàm số

2

ux  y  xy

2 2

2

x y z

x y z

c) ux3y2z23x22y

d) u3x y2 x3y4

e) uarctanx2y22y

f) ux2 y2z22x4y6z

3 Tìm cực trị có điều kiện của hàm số

a) ux2y2z2 với điều kiện

2

2 2

1 4

y

x  z 

u x y z  x y z với điều kiện 1

1

x y

z xy

  





 c) uxyyz với điều kiện  

2 2

4

4

x y

x y z

y z





 

 d) u2xyz với điều kiện

2

2 2

9 4

y

x  z 

4 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

u x yxy  xy trong miền đóng 0x1, 0y2

b) u4x y 2x2y trong miền D:x0,y0, 2xy2

c) ux2y212x16y trong miền D{(x,y): x2y2 36}

5 Tính vi phân, đạo hàm theo hướng của hàm nhiều biến, đạo hàm của hàm ẩn

a) Cho z là hàm ẩn xác định bởi /

0

x z

zye  Tính dz0; 1 

u  x  y  z và điểm A1;1; 1 , B(0;3;1) Tính đạo hàm của u tại điểm A theo

hướng AB

Tìm giá trị lớn nhất của U A 







và u



 tại M0(1;1; 0) với i 2j 2k

d) zz x y( , ) là hàm ẩn hai biến xác định bởi hệ thức: yze zxe y  Tính 0 dz1; 0 Áp dụng tính gần đúng z0,95;0, 05

e) y = y(x) là hàm số ẩn xác định từ biểu thức:

3 3

1 0 27

x

y xy

    Tính 2

d y tại điểm x  0

6 Tính tích phân bội

a) x2 y2

V

ze  dxdydz

 với V xác định bởi

2 2 2

2 2

4

x y z

z x y







b) ( ) (3 )

D

xy xy dxdy

xy xy xy  xy

c)

2 2

2 4

D

x dxdy

 D là miền x2y2 4, x0, y0

d)

V

xyzdxdydz

 với V là miền

2 2

2

1

x y

z

V

x  y  z dxdydz

 , trong đó V là miền x24y29z21, x y z, ,  0

V

z x y dxdydz

 trong đó V là miền giới hạn bởi mặt trụ x2y2 2 , 0x z 4

7 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt

a) zx2y2 và 1 z  3

b) x2y2z223 xyz nằm trong góc x y z , , 0

zx y y  z

(x y z ) 4 (z x y ) nằm trong góc x y z , , 0

2zx y z,  8 x y

(x2) y 4,x  y z 16

g) 2 2

4

x y  và 2 2

4

x z 

8 Tính diện tích

a) Hình phẳng giới hạn bởi đường cong (x2y2 2) 2x3