Để có thể phát triển khả năng tu duy và sáng tạo trong việc học toán và giải toán cho hoc sinh, thì việc tìm ra kết quả của một bài toán có cha thể coi là kết thúc đợc, mà cần phải tiến
Trang 1Để có thể phát triển khả năng tu duy và sáng tạo trong việc học toán và giải toán cho hoc sinh, thì việc tìm ra kết quả của một bài toán có cha thể coi là kết thúc đợc, mà cần phải tiến hành “mổ xẻ”, phân tích bài toán đó Nhng khai thác, phát triển một bài toán nh thế nào?
Ta biết rằng một số bài toán có thể phát biểu tóm tắt dới dạng nếu A thì B
Do đó để khai thác phát triển một bài toán ở dạng trên thì vấn đề đặt ra là: i/ Ngoài B ra thì còn có thể thu đợc kết quả nào khác na không?
ii/ Đảo lại nếu có B thì có A không?
iii/ Thay đổi một số dữ kiện của giả thiết A thì kếtquả thu đợc của bài toán
có gì mới không?
Đó là một số hớng để khai thác, phát triển, mở rộng một bài toán để thể phát triển khả năng t duy và sáng tạo trong việc học toán và giải toán cho hoc sinh
Trang 2I bài toán mở đầu.
1 Bài toán mở đầu thứ nhất
Từ một điểm M thuộc đáy BC của tam giác cân ABC(AB = AC), vẽ
ME, MF theo thứ tự vuông góc với AB, AC (E AC,F AC ∈ ∈ )
Chứng minh tổng ME MF+ là không đổi khi M di động trên cạnh BC
Vài cách giải tóm tắt của bài toán trên
Để chứng minh ME MF là không đổi , ta có thể giải theo hai hớng +
sau.
J
H K
E
B
A
1 Hớng thứ nhất (Đặc biệt hóa).
Gọi BH, CK là các đờng cao của VABC cân thì BH CK h không đổi.= =
Chọn M trùng với B thì ME 0;MF BH ta có = = ME MF BH+ =
Tơng tự, nếu M trùng với C thìMF 0;ME CK nên = = ME MF CK+ =
Ta có cách giải thứ nhất
Vẽ đờng cao BH và vẽ MI⊥BH
Khi đó VBME=VMBI⇒ME BI=
Ta có ME MF BI IH BH h+ = + = =
Cách giải thứ hai
Trang 3Vẽ đờng cao BH và vẽ BJ⊥FM
Khi đó VBME=VBMJ⇒ME MJ=
ME MF MJ MF JF BH h
Cách giải thứ 3
Vẽ đờng cao BH và nối A với M kí hiệu S là diện tích tam giác
2 Hớng giải thứ hai
I'
E'
M'
A
M
Cách giải thứ t
Gọi M,M’ là hai điểm bất kì thuộc cạnh BC, giả sử M’ nằm giữa C và M Vẽ
M'E' AB;M'F' AC , vẽ MI⊥M'E';M' I'⊥MF
Khi đó VMIM'=VM' I' M⇒MI' M' I=
Ta có ME MF E' I MI' I'F E' I M' I I'F M'E' M'F'+ = + + = + + = +
Do M và M’ là hai điểm bất kì thuộc BC nên ta kết luận đợc ME MF+ là không đổi
Khai thác và phát triển bài toán trên
Trớc hết, ta viết lại giả thiết của bài toán nh sau:
Trang 4
( )
( ) ( )
∈
=
V
M BC 1 ABC;AB AC 2
1 Khai thác kết luận
*Theo cách giải thứ nhất, khi chứng minh VBME=VMBI ta còn chứng minh
đợc BE MI HF= =
Do đó AE AF+ =(AB BE− ) (+ AH HF+ ) =AB AH không đổi, từ đó và + kết quả của bài toán 1 ta nhận thấy ME EA AF FM c+ + + = không đổi
Vậy ta có thể chứng minh chu vi tứ giác AEMF không đổi
*Mặt khác cùng từ cách giải thứ nhất ta có:
đổi
Nh vậy từ giả thiết của bài toán trên ta có thể chứng minh thêm đợc:
a) Chu vi tứ giác AEMF không đổi
b) AE CF không đổi.−
2 Thay đổi giả thiết (1)
Ta giữ nguyên giả thiết (2) và (3) Kiểm tra kết luận.
Nếu ta bỏ dữ kiện M thuôc đoạn thẳng BC và thay bằng M thuộc đờng thẳng BC
Giả sử M thuộc tia đối của tia BC
Trang 5
J M
F H
E
C B
A
Theo cách giải thứ hai vẽ BJ⊥MF ta đợc MJ ME và = JF BH Khi đó = nhận xét thấy MF ME MF MJ BH h− = − = = không đổi Nếu lấy M thuộc tia đối của tia CB ta cũng có kết quả ME MF CK h không đổi − = =
Từ đó ta có bài toán mới
Bài toán 2.
Cho tam giác ABC cân AB = AC Lấy điểm M nằm trên đờng thẳng BC nhng không thuộc đoạn BC Gọi E và F là chân đờng vuông góc hạ từ M xuống các
đờng thẳng AB, AC Chứng minh ME MF không đổi−
3 Thay đổi giả thiết (2)
Giữ nguyên giả thiết (1) và (3) Kiểm tra kết luận
Nếu thay dữ kiện tam giác ABC cân tại đỉnh A, tổng quát hóa giả thiết tam giác ABC không cân Giả sử AB > AC
Trang 6
Lại theo cách giải thứ nhất, vẽ MI⊥BH ta đợc MI // AC và MF BH= Hãy
so sánh ME và BI Nhận thấy rằng:
> ⇒ < ⇒ < ⇒ > ⇒ <
Khi M trùng với B thì ME MF BH+ = nh vậy ta có ME MF BH+ ≤
Tơng tự ta cũng có ME MF CK+ ≥
Ta có bất đẳng thức kép CK ME MF BH Ta có bài toán mới :≤ + ≤
Bài toán 3.
Cho tam giác ABC có AB > AC và các đờng cao BH , CK Lấy M trên cạnh
BC Gọi E, F là chân đờng vuông góc hạ từ M xuống AB, AC Chứng minh rằng CK ME MF BH≤ + ≤
Bài toán 4.
Cho tam giác ANC với AB>AC Gọi E, F là chân đờng vuông góc hạ từ điểm
M nằm trên cạnh BC xuống cạnh AB, AC Tìm vị trí của điểm M thuộc cạnh
BC sao cho:
a) ME MF+ đạt giá trị nhỏ nhất
b) ME MF đạt giá trị lớn nhất.+
4 Thay đổi giả thiết (3)
Giữ nguyên giả thiết (1) và (2) Kiểm tr a kết luận
Trang 7M
F E
C B
A
Nếu ta bỏ dữ kiện ME⊥AB, MF⊥AC và thay bằng dữ kiện
ME // AC, MF // AB thì tứ giác AEMF là hình bình hành, nên AF ME BE= = , tơng tự AE MF FC= =
Do đó ME MF AF FC AC+ = + = không đổi
Hơn nữa AE EM MF AF AB AC Từ đó ra có đợc bài toán mới+ + + = +
Bài toán 5
Cho tam giác ABC cân tại A Kẻ ME // AC, MF // AB với E thuộc AB, F thuộc
AC Chứng minh rằng:
a) ME MF không đổi.+
b) Chu vi tứ giác AEMF không đổi