bài tập pt tư duy 05

Gọi Ax, By là các tiếp tuyến Ax, By và nử đờng tròn cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ AB.. Qua điểm M thuộc nửa đờng trònM khác A và B, kẻ tiếp tuyến với nửa đờng tròn, nó cắt Ax và By theo

3.Bài tập III (B i 30 sgk Toán 9, tập 1-trang 116) à

Cho nửa đờng tròn tâm O có đờng kính AB Gọi Ax, By là các tiếp tuyến (Ax, By và nử đờng tròn cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn(M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đờng tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D Chứng minh rằng:

a) ãCOD 90= 0

c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đờng tròn

*** Chúng ta quy ớc ký hiệu giả thiết của bài toán là (1)

Hớng dẫn

y

O

D

C

B A

a) Theo tính chất tiếp tuyến của đờng tròn, ta có:

MC.MD MO= 2

Suy ra AC.BD OM , không đổi.= 2

Với giả thiết (1) của bài toán Gọi E và F là giao điểm của AM, BM tơng ứng với Ax, By ta nhận thấy CF = CM, DE = DM và các tứ giác CDEF và ABDC là hình thang Câu hỏi đặt ra là diện tích của các hình thang đó thay

đổi nh thế nào khi M di động trên nửa đờng tròn? Từ đó ta có thêm kết luận cho bài toán là:

d.Tìm giá trị nhỏ nhất của SCDEF khi M di động trên nửa đờng tròn

E

F

y

O

D C

B A

H

ớng dẫn

Do tứ giác CDEF là hình thang nên

CDEF

GTNN của SCDEF là 1 AB2

ằAB

Bây giờ ta quay trở lại kết luận c) của bài toán, ta đã chứng minh đợc

= 2 = 2

nếu ta có AC.BD R thì CD có còn là tiếp tuyến của đờng tròn (O) không?= 2

Ta có bài toán ngợc:

Bài toán 2.

Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R có các tiếp tuyến Ax, By nằm cùng phía với AB Gọi C, D lần lợt là các điểm trên Ax, By sao cho AC.BD R= 2

Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của (O)

Nhận xét thấy VAMB VCOD , do đó nếu biết diện tích VCOD thì ta tính

đợc diện tích VAMB Ta có bài toán mở rộng

Bài toán 3

VAMB

y

O

D

C

B A

H

ớng dẫn

Vì ãOMC OAC 90 nên tứ giác OMCA nội tiếp= ã = 0 ⇒OCM OMAã =ã

 ữ

 

2

Ta còn có thể tính đợc bán kính r của đờng tròn nội tiếp VCOD nhờ công thức S p.r trong đó S, p, r thứ tự là diện tích, nửa chu vi, và bán kính đờng =

tròn nội tiếp của tam giác.

H

ớng dẫn

áp dụng địng lí Pi-ta-go, ta có OC = OM2 +MC2 = 62 +42 =2 13

OD= OM2 +MD2 = 62 +92 =3 13

Vận dụng công thức S p.r ta có = =5 13 13−

2