CHUYÊN ĐỀ DIỆN TICH

+Nếu một đa giác được chia thành những đa giác nhỏ không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó.. +Hình vuông cạnh có độ dài bằng 1 thì diện tí

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi

2) Diện tích đa giác có các tính chất sau :

+Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau

+Nếu một đa giác được chia thành những đa giác nhỏ không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó

+Hình vuông cạnh có độ dài bằng 1 thì diện tích là 1 - Hình vuông đó được gọi là hình vuông đơn vị

I DIỆN TÍCH TỨ GIÁC :

1) Cho tứ giác ABCD Gọi AB = a , BC = b , CD = c , DA = d , AC = d1 , BD = d2 , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp và p = (a + b + c + d) Ta có :

(m là độ dài đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai đường chéo)

b) SABCD = d1d2sinα

(α là góc tạo bởi hai đường chéo d1, d2 )

*Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O: R)

b

c r

+Tổng hai cạnh đối diện : a + c = b + d

2)Diện tích các tứ giác đặc biệt :a)Diện tích hình chữ nhật :

II.DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Cho tam giác ABC có BC = a , AC = b , AB = c, đường cao thuộc cạnh BC là AH = ha , r là bán kính đường tròn nội tiếp , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và p = Ta có các công thức sau :

1) SABC = a.h

a

c

b h

SABH + SACH = AH.BH + AH.CH

SABC = AH.(BH + CH) = AH.BC

Hay SABC = a.hTương tự ta cũng có : SABC = b.k = SABC = c.l

(k là chiều cao ứng với cạnh AC, l là chiều cao ứng với cạnh AB)

2)Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O; r)

SABC = p.r

c

b r

Chứng minh :

SABC = SAOB + SBOC + SCOA

Mà : SAOB = r.c

SBOC = 12 r.aSCOA = 21 r.bCộng vế theo vế, ta được : SAOB + SBOC + SCOA = r.c + 21 r.a + 12 r.b

H

D

Chứng minh :

Kẻ đường cao AH và đường kính AD.

SABC = a.hXét ∆ABH vuông tại H và ∆ADC vuông tại C có :

ABH = ADC (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) => ∆ABH ~ ∆ADC => = => AH = =

Vậy SABC = a.h = a =

Để không mất tính tổng quát ta giả sử b > c => b’ > c’

∆ABH vuông tại H : AH2 = AB2 - BH2 hay h2 = c2 - c’2

∆ACH vuông tại H : AH2 = AC2 - CH2 hay h 2 = b2 - b’2

a

c b c b

a c b

2 2

' ' ' '

c b c b

a c b

2 2

' '

' '

=

= +

a

c b a b

a c b

2 2 2

' 2

' '

=

a

c b a

c

a

c b a

b

2 '

2

'

2 2 2

2 2 2

Do đó h2 = b2 - b’2 = b2 - ( )

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

4

c b a b a

c b

2 2 2 2 2 2

4

2 4

4

a

c b a ab a

c b a b

2

2 2 2 2

2 2

4

2 2

a

c b a ab c b a

= [ ( ) ] [ ( ) ]

2

2 2

2 2 2 2

4

2

2

a

b ab a

c c b ab

2

2 2

2 2 4

.

a

b a c c b

2 4

2 2

2

a

a c b a b c b a c c b a c b

(Đặt a + b + c = 2p) = ( )( )( ) ( )( )( )

2

16 4

2 2 2 2 2 2 2

a

c p b p a p p a

a p b p c p

=> h = ( )( )( ) p(p a)(p b)(p c)

a a

c p b p a p p

Để so sánh hai độ dài đoạn thẳng nào đó bằng phương pháp diện tích,

ta chú ý các điểm sau :

1)Xác định quan hệ diện tích giữa các hình

2)Sử dụng các công thức tính diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức có chứa các độ dài

3)Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn thẳng cần so sánh

Khi giải bài toán bằng phương pháp diện tích ta cần nắm vững :

+Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích của các hình.

+Sử dụng tính chất :

-Nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số hai đáy tương ứng bằng

tỉ số hai diện tích Ngược lại, nếu hai tam giác có cùng đáy thì tỉ số hai chiều cao tương ứng bằng tỉ số hai diện tích

-Nếu hai tam giác có cùng chung đáy và có cùng diện tích thì đỉnh thứ

ba thuộc đường thẳng song song với đáy

-Đường trung bình trong một tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích tỉ lệ với 1 : 3

-Đường trung tuyến của một tam giác chia tam giác đó thành hai phần

Cho tam giác đều ABC Từ một điểm O ở trong tam giác, ta kẻ OH ⊥

AB, OK ⊥ AC, OI ⊥ BC Chứng minh rằng khi O di động trong tam giác thì tổng OH + OK + OI không đổi

Giải

I

K A

Cộng vế theo vế ta được : a.h = AB.OH + BC.OI + BC.OI

<=> a.h = a.OH + a.OK + a.OI <=> a.h = a(OH + OK + OI)

<=> h = OH + OK + OI Mà h : không đổi => OH + OK + OI không đổi+Nếu O thuộc cạnh của tam giác đều thì bài toán trên vẫn đúng

+Nếu thay tam giác đều bằng một đa giác đều thì tổng khoảng cách từ điểm

O bất kỳ nằm trong đa giác đến các cạnh của đa giác vẫn không đổi

Chứng minh

F

H

M N

Ta phải chứng minh SBCDE = SABFG + SACMN hay a2 = b2 + c2

Kẻ đường cao AH của ∆ABC kéo dài cắt DE tại K

+ Ta chứng minh SABFG = SBHKE

Nối AE và CF : ∆ABE = ∆CBF (c-g-c) => SABE = SCBF (1)

∆FBC và hình vuông ABFG có chung cạnh đáy FB, đường cao ứng với đáy này là bằng AB => SCBF = SABFG (2)

∆ABE và hình vuông BHKE có chung cạnh đáy là BE, đường cao ứng với cạnh đáy này bằng BH => SABE = SBHKE (3)

SBCDE = SABFG + SACMN

Hay a2 = b2 + c2Bài 3 :

Cho tam giác ABC Trên phần kéo dài của các cạnh AB, BC và AC lấy các điểm D, E, F (B nằm giữa A và D ; C năm giữa B và E ; A nằm giữa

C và F) sao cho BD = AB ; CE = BC và AF = AC Gọi s là diện tích của

∆ABC Tính diện tích ∆DEF theo s

D

E F

Cách 1 : Sử dụng tính chất cơ bản của diện tích

Xét ∆ABE có AC là trung tuyến (BC = CE) => SABC = SACE = s

=> SABE = SABC + SACE = 2s ∆AED có EB là trung tuyến (AB = BD) => SABE = SBED = 2s

=> SAED = SABE + SBED = 4s ∆BCF có BA là trung tuyến (AC = AF) => SABC = SBAF = s

∆CEF có EA là trung tuyến (AC = AF) => SACE = SAEF = s

=> SCEF = SACE + SAEF = 2s

∆AFD có FB là trung tuyến (AB = BD) => SDBF = SBAF = s

=> SAFD = SDBF + SBAF = 2sSDEF = SAED + SAFE + SAFD = 4s + s + 2s = 7s

H P

*Để chứng minh SHV/ABCD = 5S∆BEC Ta chuyển về tính S∆BEC = a 2

Để tính diện tích tam giác BEC ta kẻ đường cao EH ứng với cạnh đáy BC (biết BC = a), ta tính EH theo a

+ Gọi P là trung điểm BC và Q là trung điểm BE => PQ là đường trung bình của tam giác BEC => PQ = CE (1)và PQ // CE

+ ∆BCN = ∆CDM (cgc) => NBC = MCD và CMD = BNC

mà BCM = CMD (SLT) =>BCM = BNC

Có : MCD + BCM = 900 (góc của hình vuông ABCD)

Nên NBC + BCM = 900 => BEC = 900 => CM ⊥ BN tại E

S∆BEC = BC.EH = a.a = a 2 Mà SABCD = a2

Vậy S∆BEC = S HV/ABCD hay S HV/ABCD = 5S∆BEC

Cách 2 :

Chứng minh ∆BCN = ∆CDM (cgc) => NBC = MCD và CMD = BNC mà BCM = CMD (SLT) =>BCM = BNC

Có : MCD + BCM = 900 (góc của hình vuông ABCD)

Nên NBC + BCM = 900 => BEC = 900 => CM ⊥ BN tại E

=> SCEN = SBEC

Kẻ đường chéo BD của hình vuông ABCD => SBCD = S HV/ABCD = a2

∆BCD có BN là đường trung tuyến => SBCN = SBCD = a2 = a2

Mà SBCN = SBEC + SCEN = SBEC + SBEC = SBEC hay a2 = SBEC

=> 5SBEC = a2 , mà a2 = SHV/ABCD Do đó SHV/ABCD = 5SBEC

Có : MCD + BCM = 900 (góc của hình vuông ABCD)

Nên NBC + BCM = 900 => BEC = 900 => CM ⊥ BN tại E

∆BEC vuông tại E : SBEC = CE BE = a5 2 a5 = a2

Mà SABCD = a2 , nên SHV/ABCD = 5SBEC

=> Hãy tính BC và AH theo h và tỉ số lượng giác của góc B hoặc C, hoặc

AB theo h và các tỉ số lượng giác của góc B hoặc C

Chứng minh :

Kẻ CM ⊥ AB và AD ⊥ BC

∆BCM vuông tại M, ta có : sin B = sinα = = => BC =

∆ADB vuông tại D, ta có : D là trung điểm của BC (vì ∆ABC cân tại A), nên

BD = BC = = và tanB = tanα = hay = => AD = BD = =

*Nếu tam giác đều có cạnh bằng 1 thì diện tích là

* Nếu tam giác đều có cạnh nhỏ hơn 1 thì diện tích nhỏ hơn

Chứng minh :Giả sử tam giác ABC có cạnh AB lớn nhất , mà AB < 1 Trên nửa mặt phẳng chứa tam giác ABC có bờ là đường thẳng chứa cạnh AB ta dựng tam giác đều ABC’ có cạnh AB < 1 => SABC’ < Và AC ≤ AC’ , BC ≤ BC’

Từ C và C’ của ∆ABC và ∆ABC’ kẻ hai đường cao tương ứng có chiều dài là h và h’ => h ≤ h’

=> SABC = AB.h và SABC’ = AB.h’, do h ≤ h’ => SABC ≤ SABC’

Mà SABC’ < (vì cạnh AB của tam giác đều ABC’ nhỏ hơn 1)

Vậy SABC < Bài 7 :

Cho tam giác nhọn ABC với ba đường cao tương ứng AH, BI và CK

Chứng minh SHIK = (1 - cos2A - cos2B - cos2C).SABC

*Phương pháp : Từ hệ thức của bài toán cần chứng minh ta có :

= 1 - cos2A - cos2B - cos2C và SHIK = SABC - SAKI - SBKH - SCHI

=> Ta phải chứng minh : = cos2A, = cos2B, = cos2C

Chứng minh :

Cách 1:

C A

B

I

K

H M

Ta có : SHIK = SABC - SAKI - SBKH - SCHI

Chia hai vế cho SABC, ta được : = - - -

= 1 - - -

*Từ K kẻ KM ⊥ AC => KM // BI (vì cùng vuông góc với AC)

Tam giác ABI có KM //BI => = (1)

=

AC BI

KM AI

2

1

2

1

= = (2)

= = =

Tam giác ABI vuông tại I (vì BI⊥ AC) => = cosA

Tam giác AKC vuông tại K (vì CK ⊥ AB) => = cosA

Nên = cos2A , do đó = cos2A

Tương tự ta cũng chứng minh được : = cos2B, = cos2C

Vậy = - - - = 1 - cos2A - cos2B - cos2C

Nên : SHIK = (1 - cos2A - cos2B - cos2C).SABC

Cách 2 :

*Xét ∆ABI vuông tại I và ∆ACK vuông tại K có góc  chung (hoặc ABI = ACK - cùng phụ với góc  hay hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

Từ (1), (2),(3) và (4) => = 1 - cos2A - cos2B - cos2C

Hay SHIK = (1 - cos2A - cos2B - cos2C).SABC

Bài 8 :

Chứng minh định lý :

“Trong một tam giác chân đường phân giác trong của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.”

BEA = CAD ( so le trong - vì BE // AC)

=> BAD = BEA => ∆ABE cân tại B => AB = BE

∆ADC có BE // AC (Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét ) => =

Mà BE = AB , do đó = Vậy =

Cách 2 : Giải bằng phương pháp diện tích :

F E

D trên tia phân giác AD của góc A đến hai cạnh AB và AC )

Ta có SABD = AH.BD = AB.DE

SADC = AH.DC = AC.DF

=> =

DF AC

DE AB CD

AH

BD AH

2 1

2 1

2

1

2

*Phương pháp : Vận dụng về diện tích để chứng minh

+Xét ∆ACD và ∆AMD hai tam giác này có chung cạnh đáy là AD và hai đỉnh C và M cung năm trên đường thẳng BC song song với AD (Tính chất cạnh đối của HBH/ABCD) => SACD = SAMD (1)

+Xét ∆ACD và ∆NCD có cạnh đáy CD chung và hai đỉnh A và N nằm trên đường thẳng AB // CD (Tính chất cạnh đối của HBH/ABCD)

=> SACD = SNCD (2)

Từ (1) và (2) => SNCD = SAMD (3)

SAMD = DH.AM và SNCD = DK.CN (4)

Từ (3) và (4) => DH.AM = DK.CN mà AM = CN (gt) => DH = DK

Vậy đỉnh D của HBH/ABCD cách đều hai đường thẳng AM và CN

Bài 10 : Cho ∆ABC có AC = b , AB = c, phân giác AD của góc A và phân giác BE của góc B cắt nhau tại I Gọi G là trọng tâm của ∆ABC Chứng minh rằng : Nếu BC bằng trung bình cộng của AB và AC thì IG // BC

Cách 2 : Sử dụng diện tích tam giác :

+Kẻ IK ⊥ BC

Vì a = => 2a = b + c

Và I là giao điểm của hai đường phân giác trong của ∆ABC, nên I là tâm đường đường tròn nội tiếp ∆ABC => IK là bán kính của đường tròn nội tiếp => SABC = .IK = IK (1)

Ta có BAD = CAD (gt) và BAD = ADE (SLT - vì DE // AB)

=> CAD = ADE => ∆ADE cân tại E

Kẻ EF ⊥ AD => AF = FD = AD => AF = 6

∆AEF vuông tại F => EF = 8 => SADE = AD.EF = 48 cm2

Từ D kẻ DK ⊥ AC => DK vừa là đường cao của ∆ADE vừa là đường cao của ∆ADC Mà SADE = AE DK <=> 48 = 10 DK => DK = 9,6 (cm)

II.CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP :

Bài 1 : Cho tam giác ABC có diện tích là s, các đường trung tuyến AD, BE

và CF Gọi s’ là diện tích tam giác có độ dài các cạnh bằng AD, BE và CF

Chứng minh rằng s’ = s

Bài 2 : Hình thang ABCD có các đáy AB = b, CD = a (a > b) Đoạn thẳng

MN song song với hai đáy, hai đầu của đoạn thẳng thuộc hai cạnh bên và chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau Chứng minh rằng

MN2 = Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH và đường phân giác BE Đường vuông góc với BE tại E cắt cạnh BC ở G, cắt tia đối của tia

AB ở D Kẻ EF vuông góc với BC Tính diện tích tam giác ABC, biết AD =

15 cm, HF = 20 cm

Bài 4 : (Sách BT Toán 9/1-Tr 102)

Hãy tìm độ dài cạnh đáy của một tam giác cân, nếu đường cao kẻ xuống đáy

có độ dài là 5 và đường cao kẻ xuống cạnh bên có độ dài là 6

Bài 5 : Cho tam giác có độ dài các cạnh là BC = a, AC = b, AB = c và a - b =

b - c G là giao điểm các đường trung tuyến I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác đã cho Chứng minh GI // AC

Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân ghiác AD Vẽ DH

vuông góc với AB Đặt DH = d, AB = c, AC = b Chứng minh

= +

Bài 7 : Cho tam giác ABC và điểm M ở trong hoặc ở trên một cạnh của tam giác, sao cho SMBC = SMAB + SMAC Chứng minh rằng M di động trên một đoạn thẳng cố định

Bài 8 : Cho góc xOy, tia Ot nằm trong góc đó Lấy điểm A cố định trên tia

Ox, điểm B cố định trên tia Oy và điểm C di động trên tia Ot Tia Ot cắt AB tại M

Chứng minh rằng SAOC = SBOC khi và chỉ khi M là trung điểm của AB

Bài 9 : Cho tam giác ABC, các góc B và C có tỉ lệ 3 : 1; phân giác của góc  chia diện tích tam giác theo tỉ lệ 2 : 1 Tính các góc của tam giác

Hướng dẫn giải

Bài 1 :

H G

=> HEGD là hình bình hành => SGDH = SEGH = SEGF (*)

Ta có SGDH = SGDC (tính chất đường trung tuyến trong tam giác)

Mà SGDC = SADC(vì hai ∆ADC và ∆GDC có cùng chiều cao, nhưng cạnh đáy

AD của ∆ADC gấp 3 lần cạnh đáy GD của ∆GDC)

=> SGDH = SADC = SADC

Ta lại có SADC = S (tính chất đường trung tuyến trong tam giác)

=> SGDH = S => S = 12SGDH

+Ta có S’ = SCDF + SADE + SBEF

SCDF = 3SGDH (Hai tam giác này có cùng chiều cao nhưng cạnh đáy của

∆CDF gấp 3 lần cạnh đáy của ∆GDH) (1)

Ta có ∆GDH và ∆EGD có cùng cạnh đáy GD và hai đỉnh đối diện hai cạnh

đó nằm trên cùng một đường thẳng song song với GD => SGDH = SEGD

Mà SADE = 3SEGD => SADE = 3SGDH (2)

Ta cũng có ∆EFG và ∆EGH có cạnh đáy bằng nhau (vì cùng bằng GC) và đường cao bằng nhau => SEFG = SEGH = SGDH (theo * )

Mà SBEF = 3SEFG => SBEF = 3SGDH (3)

Cộng (1), (2) và (3) ta được : S’ = 9SGDH

Vậy = = => S’ = S

Cách 2 :

Kéo dài AD một đoan DH, sao cho GD = GH => GH = AG

Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác ta có AG = AD,

GH = AD, CG = CF ∆BGD = ∆CHD (cgc) => BG = CH = BE

G F

Vậy = = = Nên ∆CGH đồng dạng với tam giác có độ dài bằng ba đường trung tuyến AD, BE, CF của ∆ABC (ccc) và có diện tích là S’ => = 232

Từ (1) và (2) cộng vế theo vế ta được :

+ = + <=> =

Mà : SOAB = SOMN - SABNM = SOMN - S

SODC = SOMN + SMNCD = SOMN + S

=> = ( ) ( )

OMN

OMN OMN

S

S S

G F

Do NE // BC nên => ∆DNE cân tại N

Tứ giác MEFH là hình chữ nhật vì có ba góc vuông => ME = HF = 20 (cm)

∆ANE vuông cân tại A có AM ⊥ NE (do AH ⊥ BC mà NE //BC ) => AM cũng là trung tuyến => 2ME = NE => NE = 2.20 = 40 (cm) Mà NE = AN

D

A

Cách 1 : Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác

Chứng minh ΔADC ~ ΔBEC (g – g) => = <=> =

SABC = AD.BC = AC.BE <=> 5BC = 6AC <=> 25BC2 = 36AC2

ΔADC vuông tại D => AC2 = AD2 + CD2 mà AD = 5 và CD =

=> AC2 = 52 + ()2 = 25 + (2)

Từ (1) và (2) => 36(25 + ) = 25BC2 => BC = 7,5 (cm)

Bài 5: Xem cách giả bài tập 8 (Phần bài giải mẫu)

I

A

C B

E

F

G J

Ta có BH // GK (vì cùng vuông góc với AC) => = = (1)

+ Công thức tính diện tích tam giác

H

D B

A

C

Giải :

Kẻ DK ⊥ AC, ta có DK = DH = d vì AD là phân giác của góc BAC

Ta có : SABC = SABD + SACD

Bài 8 :

Gợi ý : + Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác để chứng minh phân thuận

“Nếu M là trung điểm của AB thì SAOM = SBOM.”

+ Sử dụng tính chất diện tích để chứng minh phần đảo lại :

“Nếu SAOM = SBOM thì MA = MB.”

a)Thuận : Nếu AM = MB => SAOC = SBOC

Xét ∆AOB có MA = MB => OM là trung tuyến => SBOM = SAOM (1)

∆ABC có CM là trung tuyến => SBCM = SACM (2)

Cộng (1) và (2) Vế theo vế ta được : SBOM + SBCM = SAOM + SACM

Hay : SBOC = SAOC

b) Đảo lại : Nếu SAOC = SBOC => AM = MB