CHUYÊN ĐỀ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ,THẦY QUANG BABYCHUYÊN ĐỀ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ,THẦY QUANG BABYCHUYÊN ĐỀ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ,THẦY QUANG BABYCHUYÊN ĐỀ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ,THẦY QUANG BABY
Trang 1Tất cả vì học sinh thân yêu
TUYỂN CHỌN 13 BÀI
Nếu các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các
hàm số y = f 1 (x); y = f 2 (x) và các đường thẳng x = a; x = b được tính theo công thức:
Công thức : 1( ) 2( )
b
a
S f x f x dx
Yêu cầu phần này , các em cần phải biết xác định cận , biết tính tích phân trị tuyệt đối
Link xem tích phân trị tuyệt đối :
https://www.youtube.com/playlist?list=PLOE2nwWdLO_HBKOcq2RhjpUUSSJhSu9Sa
Trang 2Tất cả vì học sinh thân yêu
( )
b
b
a b a
a
f x dx khi f x
S f x dx
f x dx khi f x
Bài 1:
Bài giải:
+) Xét phương trình: (x-1)lnx = x-1 x = 1 hoặc x = e
+ Diện tích cần tìm là:
2
2
x
2
2
1
e
2
4
e e
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y ( e 1) x, y ( ex 1) x
Bài giải:
Trang 3Tất cả vì học sinh thân yêu
Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình
1 x 0
S x e e dx
S xe dx exdx xd e e xdx
1
1
0
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1
2
x y x
Bài giải:
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại (– 1; 0) Do đó
0
1
1 2
x
x
Ta có
0
1
1 2
x
x
0
1
3
2 dx x
0 1
Trang 4Tất cả vì học sinh thân yêu
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số yx2x, trục hoành và hai đường
thẳng x = 0, x = 1
Bài giải:
Diện tích hình phẳng cần tính là: S =
1 2
0
x x dx
1 2
0
x S x x dx
Suy ra S =
0
x x
Vậy S = 5
6
Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: yx22x,x0,x3 và trục
hoành
Bài giải:
Do x22x0 x0x2 nên ta có diện tích cần tìm là
3 2
0
Trang 5Tất cả vì học sinh thân yêu
Bài 6: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường: y ln ; x y 0; x e
Bài giải:
Diện tích hình phẳng là
1
1
1
1 1
e
e
x e
Bài 7: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đường
1
y
x
Bài giải:
Trang 6Tất cả vì học sinh thân yêu
Thể tích khối tròn xoay là
1
2
dx V
x
Đặt t 4 3 x, ta có khi x = 0 thì t = 2, khi x = 1 thì t = 1 và
2 4 3
t
3
t
dx dt Khi đó ta có:
2
1
t
t
t
Bài 8: Tính S hình phẳng được giới hạn bởi các đường
; 0; x 1
x
Bài giải:
Ta có:
x
x
Rõ ràng
0
x
với mọi x 0;1
Do đó diện tích của hình phẳng là
.3
x
Đặt t 3x 1, ta có khi x 0 thì t 2, khi x 1 thì t 2 và 3x t2 1
ln 3
Trang 7Tất cả vì học sinh thân yêu
2
2 3 2 2
1
t
Bài 9: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đồ hịt hàm số
Bài giải:
Ta có x(3x1)0, x 0và x(3x1)0 x0 Do đó thể tích khối tròn xoay cần tính
là
1
0
V x dx
1
0
3x
x dx
1
0
xdx
1
0
3 2
x
x dx
(1)
Tính
1
0
3x
x dx
ln 3
x
v
Theo công thức tích phân từng phần ta có
2 0
x
V
Trang 8Tất cả vì học sinh thân yêu
Bài 10: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đường
1
x
Bài giải:
Thể tích khối tròn xoay là
1
2 0
dx V
x
Đặt t 4 3 x, ta có khi x = 0 thì t = 2, khi x = 1 thì t = 1 và
2 4 3
t
x nên 2
3
t
dx dt
Khi đó ta có
t
2
1
Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn với đồ thị hàm số y x 1 ln x 1 và trục
hoành
Bài giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là:
x 1 ln x 1 0
0
x x
Trang 9Tất cả vì học sinh thân yêu
S x x dx x x dx
1
u x
dv x dx
1
u x
dv x dx
1 1 2 2
du dx x
x x v
0 0
2 2
x x
x x
x
1
0
ln 2
1 2
0
5 2ln 2 4
2ln 2 4
S
Bài 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị yx2 ln x và trục hoành
Bài giải:
*) Hoành độ giao điểm của đồ thị yx2 ln x và trục hoành (y = 0) là:
Trang 10Tất cả vì học sinh thân yêu
1
x x
x
*) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị yx2 ln ; x y0;x2;x1 là:
S x x dx x x dx x xdx
*) Đặt:
x
ln x
2x 2
d du
v
1
5
Bài 13: Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số yxln 3 x1, trục hoành
và hai đường thẳng x 0, x=1
Bài giải:
Chú ý rằng xln 3 x 10, với mọi 0 x 1 Khi đó diện tích hình phẳng cần tính là
1
S x x dx
,
x
Theo công thức tích phân từng phần ta có
2
2
1
0
x
Trang 11Tất cả vì học sinh thân yêu
0