Chương 1 - giải tích 12

Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x =2 m để đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm điểm cực tiểu... Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:2 332 Hàm số không có cực trị Hàm số đđđồng biến

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG THPT ĐÔNG DƯƠNG

GIẢI TÍCH 12

PHẦN 1:

Năm học: 2010 - 2011

1

(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu

(cosx)’ = - sinx (cosu)’ = -u’.sinu

(tanx)’ = cos x 12  1+tan2x (tanu)’ = cos u u'2  u’(1+tan2u) (cotx)’ =  sin x 12  -(1+cot2x) (cotu)’ =  sin u u2  -u’(1+cot2u)

*)Các quy tắc tính đạo hàm

1 Quy tắc cộng: (u v)’ = u’  v’

2 Quy tắc nhân: (k.u)’ = k u’, k là hằng số

(u.v)’ = u’v +uv’;

(u.v.w)’= u’.v.w+ u.v’.w+ u.v.w’

DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT 1.Nhị thức bậc nhất : có dạng f(x)= ax+b (a 0).

Chú ý: Phải cùng ,trái trái.

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 1.Tam thức bậc hai : Biểu thức có dạng ax2 bx c  ( a  0)

2.Xét dấu tam thức bậc hai :

f(x) Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

  

(x) Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a

x   x1 x2  

f(x) Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

3

(Trong trái , ngồi cùng)

+ Dựa vào BXD kết luận.

1 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu :

Hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm trên (a; b)

a) Nếu f’(x) > 0 , x (a; b) thì f(x) đồng biến trên (a; b)

b) Nếu f’(x) < 0 , x (a; b) thì f(x) nghịch biến trên (a; b)

c) Nếu f’(x) = 0 , x (a; b) thì f(x) khơng đổi dấu trên (a; b)

2 Định lý ( M ở rộng ) :

Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b)  y’  0, x (a; b)

( dấu bằng chỉ xảy ra ở một vài điểm hữu hạn)

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a; b) y’  0, x (a; b)

( dấu bằng chỉ xảy ra ở một vài điểm hữu hạn)

Bài tập:

Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số:

Phương pháp tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

B1: Tìm tập xác định

B2: Tìm y', Giải phương trình y' = 0 (nếu có), xét dấu y'

Chú ý đến phương pháp xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.

B3: Lập BBT suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến ( áp dụng định lý)

4 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số sau:

10 Tìm m để hàm số  

3 21

Dấu hiệu 1 xác định cực đại, cực tiểu:

1. Hàm số đạt cực tiểu tại x0 y x '( ) 00  và y’ đổi dấu từ âm sangdương khi qua x0

2. Hàm số đạt cực đại tại x0 y x '( ) 00 

, y’ đổi dấu từ dương sang âmkhi qua x0

*) Hàm số có cực trị  y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi đi qua nghiệm

 y’ = 0 có nghiệm phân biệt

Dấu hiệu 2 xác định cực đại, cực tiểu

1. Hàm số đạt cực tiểu tại x0  0

0

y'(x ) 0 y''(x ) 0

1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì

x 0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số;

f(x 0 ) được gọi là giá trị cực đại ( giá trị cực tiểu) của hàm số, ký hiệu :

f CĐ (f CT )

M(x 0 ; f(x 0 )): điểm cực đại ( điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số

2. Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

Giá trị cực đại ( giá trị cực tiểu) của hàm số cịn gọi là cực đại (cực tiểu)

và gọi chung là cực trị

3. Nếu hàm số cĩ đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực đại hay cực tiểu tại

x0 thì f’(x0) = 0 ( Điều ngược lại chưa chắc đúng)

DẠNG 1: Sử dụng dấu hiệu 1 để tìm cực trị của hàm số

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Tìm f’(x) Giải phương trình f’(x) = 0, tìm nghiệm

Bước 3: Lập bảng biến thiên

Bước 4: Từ BBT, suy ra các điểm cực trị của hàm số.

Bước 2: Tìm y’, y’’ Tính y’(x0), y’’(x0)

Bước 3: Sử dụng dấu hiệu 2 để giải bài tốn:

Hàm số đạt cực tiểu tại x0  0

0

y'(x ) 0 y''(x ) 0

15 Cho hàm số y x  3 2 mx2 m x2  2 Tìm m để hàm số đạt cực tiểutại x = 1

16 Cho hàm số y mx  3 mx2 1 Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x =2

m để đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm điểm cực tiểu

18 Cho hàm số y = x3 + (m+3)x2 + 1 – m tìm m để hàm số đạt cực đại tại x

Bước 2: Tìm y’, Cho y’ = 0

Bước 3: Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu

Vì hàm số đạt cực trị tại x 0 nên y’(x 0 ) = 0.

Do đó, giá trị cực trị y 0 = r(x 0 ) ( tức là thế x0 vào phần dư r(x) để tínhtung độ cực trị)

- Hàm hữu tỉ:  

 

u x y

0

' '

u x y

3 Phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt 0



  

4 Phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 trái dấu  ac0

5 Phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

0 0 0 0

a

P S

a

P S

22 Cho hàm số y  2 x3 3 2  m  1  x2 6 m m   1  x  1 Chứng minhhàm số luôn có cực đại, cực tiểu tại x1, x2 và x1 – x2 không phụ thuộcvào m

27 (CĐ 2009) Cho hàm số y = x3 – (2m – 1)x2 + (2 – m)x + 2 (1) Tìm m để hàm số (1) cĩ cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thịhàm số (1) cĩ hồnh độ dương

28 (B – 2002) Cho hàm số y mx  4 ( m2 9) x2 10 Tìm m để hàm số

cĩ 3 cực trị

29. Cho hàm số y = 1 4 2 3

2x  mx 2 có đồ thị (C) Tìm m để đồ thị hàm sốchỉ cĩ 1 cực tiểu mà khơng cĩ cực đại

30 Cho hàm số y x  4 4 mx3 3( m  1) x2 1 Tìm m để đồ thị hàm sốchỉ cĩ 1 cực tiểu mà khơng cĩ cực đại

31 Cho hàm số y x  4 2 m x2 2 1 Tìm m để đồ thị hàm số cĩ 3 điểmcực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuơng cân

32 Cho hàm số

21

35 Cho hàm số

21

y x

 



 Xác định tất cả các giá trị của m để đồ thịhàm số cĩ 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung ( Đs: m >1)

36 (A – 2007) Cho hàm số

(1) 2

40 (A – 2002)Cho hàm số y  x3 3 mx2 3 1   m x m2  3 m2 Viếtphương trỡnh đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu của hàm số

f có đờng thẳng đi qua cực

đại và cực tiểu vuông góc với đờng thẳng y  3 x 7

42 Cho hàm số y = x3 -3(m+1)x +m + 2 Tỡm m để hàm số cú cực đại, cựctiểu và đường thẳng nối 2 điểm cực đại, cực tiểu qua điểm M(4;-2)

II Giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất trờn khoảng:

Cho hàm số y = f(x) liờn tục trờn (a; b)

Nếu trờn (a; b), hàm số cú duy nhất một cực trị và

+) Cực trị đú là cực tiểu thỡ giỏ trị cực tiểu chớnh là GTNN

+) Cực trị đú là cực đại thỡ giỏ trị cực đại chớnh là GTLN

Làm bài tập 4, 5 trang 24 sgk

11

III. Giá tr l n nh t, nh nh t trên đo n: ị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn: ớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn: ất, nhỏ nhất trên đoạn: ỏ nhất trên đoạn: ất, nhỏ nhất trên đoạn: ạn:

Đoạn [a;b ]

 Tính y’

 Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm x0  a b ; 

 Tính y (x0 ) , y(a) , y (b)

Chọn số lớn nhất M , kết luận :maxa b; y M 

Chọn số nhỏ nhất m , kết luận :min ; 





 trên [0; 3] c) 3 1

46 Tìm GTLN, GTNN của hsố trên đoạn chỉ ra:

a) y  x2 3 x  2 trên đoạn [-10,10]

b) y =| x2 + 4x – 5 | trên đoạn [ -6; 6]

c) y = | x2 – 4x| trên đoạn [ -5; 5]

Bài 4: TIỆM CẬN

1 Tiệm cận đứng : Nếu xảy ra một trong cac trường hợp

lim ; lim ; lim ; lim

x x   x x    x x   x x   

thì pt tiệm cận đứng là : x = x0

lim y y0; lim y y0

x   x   

thì pt tiệm cận ngang là: y = y0

3 Chú ý:

a) Hàm số có tập xác định D = R thì khơng cĩ tiệm cận đứng

b) Hàm đa thức khơng cĩ tiệm cận

c) Hàm số hữu tỉ cĩ bậc trên tử thấp hơn hoặc bằng bậc dưới mẫu thì cĩtiệm cận ngang

( ) ( )



4) 5





7) 1





10) 3 2





 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho khoảngcách từ M đến tiện cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiện cậnngang

y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2

KL: hàm số tăng? Giảm?

y/ cùng dấu với hệ số a

KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?)

 Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu? Hàm số không có cực trị

+ Bảng biến thiên:

Th1 : y’ = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt

+ Vẽ đồ thị :  xác đ̣ịnh Cực trị ?

 Điểm uốn I(

a>0 ; có 2 CT a<0; có 2 CT a>0,không CT a<0,không CT

+ TXĐ :D = R, Hàm số chẵn

+ Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x = 2x.(2a x2+ b)

y(0)= c ; y(

2

b a

 ) = 4aCó 3 cực trị

55. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

2

332

Hàm số không có cực trị

Hàm số đđđồng biến trên từng

vì , lim  

d x c

+ Vẽ đồ thị:  Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt

 Chú ý đồ thị đối xứng qua giao điểm hai tiệm cận

56 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

a) y =

1

12

32

2





x x

CÁC ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ CĨ TỌA ĐỘ NGUYÊN

Đối với hàm hữu tỉ: dùng phép chia đa thức để tìm số dư rồi lý luận số dư phải là số nguyên ( đa thức thương thường phải cĩ hệ số nguyên)

Đối với thương cĩ hệ số khơng nguyên: Quy đồng mẫu số các hệ số rơì lý luận đa thức chia hết cho mẫu

x O

I

57 Cho hàm số 1

1

x y x







a Tìm tất cả các điểm trên đồ thị có tọa độ đều là số nguyên

b Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

58 Cho hàm số 3 2

2

x y x







a Tìm tất cả các điểm trên đồ thị có tọa độ đều là số nguyên

b Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

c Tìm M trên đồ thị sao cho khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận

bằng nhau

59 Cho hàm số 3

2 1

x y

x







a Tìm tất cả các điểm trên đồ thị có tọa độ đều là số nguyên

b Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

y  f x có thể suy ra được từ đồ thị (C) của hàm số y  f x  như sau:

- Phần của (C) nằm trên trục hoành, ta giữ nguyên

- Phần của (C) nằm dưới trục hoành, ta bỏ đi và thay vào đó là phầnđối xứng của phần vừa bỏ qua trục hoành

Trong trường hợp không có một trong 2 dạng trên, ta tiến hành như sau:

o Xét dấu biểu thức chứa trong giá trị tuyệt đối

21

o Trong mỗi trường hợp xét ở trên, ta tìm quan hệ với hàm số

đã vẽ đồ thị để suy ra đồ thị của nó

Bài tập:

60 Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm sốy  x3 3x2 1 Từ đó suy ra đồ thịhàm số y   x3 3x2 1

b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x  3 3 x  1 Từ đó suy ra đồ thịhàm số y = |x|3 – 3|x| + 1

c. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x  3 3x2 4 Từ đó suy ra đồ thịhàm số y | x |  3  3x2 4

d. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y 2x  3 6x 1  Từ đó suy ra đồ thịhàm số y  2x3 6x 1 

e. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = -2x4 + 4x2 + 2 Từ đó suy ra đồ thị

hàm số y = |-2x4 + 4x2 + 2|

f. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x  4 2x2 1 Từ đó suy ra đồ thịhàm số y  x4 2x2 1

g. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x  4 x2 2 Từ đó suy ra đồ thịhàm số y  x4 x2 2

h. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 4

1

x y x



 Từ đó suy ra đồ thị hàm số2

j. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 1

1

x y x





 Từ đĩ suy ra đồ thị hàm số

2 1 1

x y

VẤN ĐỀ 1: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ

I Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) (C)

a Loại 1 : Tiếp tuyến tại điểm M (x 0 ; y 0 ) ( C)

 Tìm f’(x0)

 Thế vào phương trình tiếp tuyến có dạng y = f’(x0 )(x- x0) + y0

b Loại 2 : Tiếp tuyến khi biết hệ số góc k:

Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm Ta có f’(x0) = k, giải phương trìnhtìm x0

Thế x0 vào hàm số số y = f(x) tìm y0

Viết phương trình tiếp tuyến : y = k(x – x0) + y0

c Loại 3 :Tiếp tuyến qua điểm A(x 1 ; y 1 ) ( nâng cao)

 Viết phương trình đường thẳng d qua A có hệ số góc k:

y =k(x- x0) + y0 (*) với k chưa biết

 Điều kiện tiếp xúc: hệ f(x) k(x x ) y0 0 (1)

thì d’ cĩ hệ số gĩc k’ = -1/k Bài tập:

23

61 Cho hàm số số y = - x3 + 3x2– 2, gọi đồ thị hàm số là ( C)

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C) tại điểm cĩ hồnh độ lànghiệm của phương trình y// = 0

62 Cho hàm số y = 4x3 + x Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết

tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 13 x + 1

63 Cho hàm số y = x4 – 2x2 – 3 cĩ đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyếncủa (C) tại điểm cĩ hịanh độ x = 2

64 ( Khối D – 2005) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số : y =

3 2

1 x m x 1

3  2  3 ( m là tham số) Gọi M là điểm thuộc (Cm) cóhòanh độ bằng – 1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại M song songvới đường thẳng 5x – y = 0

65 Cho hàm số y = x4 -2x2 + 1, gọi đồ thị của hàm số là (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm cực đại của (C)( đs: y = 1)

2

f x  x  x  Viết phương trình tiếp tuyến tại

giao điểm của đồ thị với trục Ox (đs: y = 15x – 45)

67 Cho hàm số 2 1

2

x y x



 Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết

tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB

cĩ diện tích bằng ¼ ( Đs: M(-1/2; -2) và M(1; 1)

69 ( A – 2009) cho hàm số 2

2 3

x y x





 .Viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đĩ cắt trục hồnh, trục tung tại A, B và tamgiác OAB cân tại gốc toạ độ ( đs: y = -x – 2)

70 Cho hàm số 2 1

1

x y x





 Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C) Tìm

điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuơng gĩc vớiđường thẳng IM ( Đs: M(0;1) và M(2;3)

72 Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1.V iết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

hàm số biết tiếp tuyến qua M( - 1; -9)

( Đs: y = 24x + 15 ; 15 21

y  x  )

73 Cho hàm số y x  3 3x 1  cĩ đồ thị (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M(14

9 ; 1)c.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến điqua điểm A(1;1)

VẤN ĐỀ 2: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ

THỊ + Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0

Trong đó có đồ thị (C) của hàm số y = f(x) + Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) (1)

+ (1) là phương trình hồnh độ giao điểm của

( ) : ( ) ( ) :

d Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

e Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm pt: x3 - 3x + m = 0

75 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm pt:x3 + 3x2 + 1 = m/2

3

y  x  x 

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm pt: x4 – 6x2 + 3 = m

77 Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Biện luận theo m số nghiệm của: 2x3 + 3x2 – 1 = m

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 3 2 3 2 0







 x m x

79 Cho hàm số y =  x 3 3x2 có đồ thị là (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b. Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm :

01

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Biện luận theo m số nghiệm của: x3 – 3x2 + 2 - m = 0

82 Cho hàm số : y = x3 – 3x + 3

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C hàm số trên

b Dựa vào đồ thị C biện luận theo m số nghiệm của phươngtrình : - x3 + 3x – 3 - m = 0

83 Cho hàm số y x  4 2x2 1 có đồ thị (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

b Dùng đồ thị (C ) , hãy biện luận theo m số nghiệm của phương

trình 4x  2x2  1 m 0 

84 Cho hàm số y = - x4 + 2x2 + 3

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b Dựa vào đồ thị, tìm m để phương trình: x4 – 2x2 + m = 0 có 4nghiệm phân biệt

85 (A – 2002) Cho hàm số y = -x3 + 3mx2 + 3(1 –m2)x + m3 – m2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m = 1

b Tìm k để phương trình : -x3 + 3x2 + k3 – 3k2 = 0 có 3 nghiệmphân biệt

86 (A – 2006) Cho hàm số y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

b Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:

2|x3| - 9x2 + 12|x| = m

87 (B – 2009) Cho hàm số y = 2x4 – 4x2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

b Tìm m để phương trình sai có 6 nghiệm phân biệt:

x2|x2 – 2| = m

88 ( Học viện hành chính quốc gia – 2001)

Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

b Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

|x3| - 6x2 + 9|x| – 3 + m = 0

89 Cho hàm số y = x3 – 3x – 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

b Định m để phương trình x3 3 x  1 log  2mcĩ 6 nghiệmphân biệt.( đs: 1<m<2)

90 Cho hàm số y = x4 – 2x2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

b Định m để phương trình x4 2 x2  log m  0cĩ 6 nghiệmphân biệt.( đs: 1<m<10)

 Chú ý: Giải bất phương trình bằng đồ thị

1 Để giải bất phương trình f(x) > 0 bằng đồ thi ta cĩ thể vẽ đồ

thị hàm số y = f(x), xác định giao điểm của đồ thị với trụchồnh, chọn nghiệm ứng với phần đồ thị nằm phía trên trụchồnh

( Đối với bất phương trình f(x) < 0 thì chọn ngược lại)

 Lập PTHĐGĐ: f(x) = g(x; m)  F(x, m) = 0 (*)

 Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) và (C’).

 Dựa vào điều kiên có nghiệm của phương trình để biện luận

Chú ý: Giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với trục hồnh là nghiệm của