đề KT HSG Trường

Bài 4:2 điểm :Cho hình vuông ABCD , đường thẳng qua A cắt đường thẳng BC và CD lần lượt tại E và F.

Trường THCS Nhơn Hậu ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - Năm học: 2008-2009 Môn : Toán

Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian phát đề)

Đề bài:

Bài 1: (2 điểm): Chứng minh rằng tích của một số chính phương với số đứng trước nó chia hết cho 12 Bài 2: (2 điểm): a) Chứng minh rằng với x > 1 ta có : 2

1

x

x− ≥

b) Cho a > 1 , b > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : E = 2 2

b− +a−

Bài 3 (2 điểm) : Tìm các giá trị nguyên x , y thõa mãm đẳng thức : ( y + 2 ) x2 + 1 = y2

Bài 4:(2 điểm) :Cho hình vuông ABCD , đường thẳng qua A cắt đường thẳng BC và CD lần lượt tại E

và F Chứng minh rằng : 12 12 12

AE +AF = AB

Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC có các cạnh không bằng nhau xác định một điểm P trong tam

giác ABC sao cho tổng các khoảng cách từ P đến ba cạnh của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất

ĐÁP ÁN

Bài 1: (2 đ) Số chính phương là n2 ( với n ∈Z ) số đứng trước nó là n2 - 1

Ta có: ( n2 - 1)n2 = ( n - 1 )(n+1)n2 = (n - 1).n n (n+ 1) (1đ)

Tích này có 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 , mặc khác (n-1)n là 2 số nguyên liên tiếp nên Chia hết cho 2 và n(n+1) chia hết cho 2 nên ( n-1)n.n(n+1) chia hết cho 4

Mà(3,4)=1 nên (n-1) n.n (n+1) chia hết cho 12 (1đ)

Vậy (n2 -1)n2 chia hết cho 12

Bài 2 ( 2 đ) a) x > 1 nên x− >1 0 Ta có: 2 2 1

1

2 4 4 0

2

x

Bất đẳng thức đúng nên suy ra điều phải chứng minh (1 đ)

b) Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm:

E = 2 2

b− +a−

Theo câu a ta có : 2 2

a− ≥ b− ≥ Nên E ≥8 Vậy Min E = 8 khi x=y =2 ( 1đ)

Bài 3:(2đ) ( y + 2 ) x2 + 1 = y2 ⇔ x2 = 2 1 3

2

+ + x, y nguyên nên y + 2 là Ư(3) (1đ)

y + 2 = 1 ; 3;-1;-3 Nên y = -1 ;1;-3 ;5

do x2 0≥ nên (y2 -1)(y+2) 0≥ , y 2≠ ⇔ 2− ≤ ≤ −y 1 hoặc y 1≥

do đó : y = -1 hoặc y = 1 suy ra x=0 Vậy nghiệm nguyên : (x,y)={( , );( , )0 1 0 1− } (1đ)

Bài 4:(2đ)Trên tia đối của tia BC Lấy điểm M sao cho BM=DF

ABM∆ = ∆ADF Suy ra: góc MAB = góc FAD và AM=AF (1đ)

Từ đó suy ra MAF∆ vuông tại A có đường cao AB

Và hai cạnh góc vuông AF và AE

Nên 12 12 12

AE + AF = AB (1đ)

Bài 5 :(2đ) Gọi a , b, c là các cạnh đối diện với góc A, B, C và ha , hb , hc

Là các đường cao tương ứng Giả sử a b c≥ ≥ ,khi đó : ha≤h b ≤h c

Ta có : SABC = SPAC + SPBC + SPAB ( 1đ)

⇒ 2 S = a PH + b PK + c PI ≤ a ( PH + PK + PI)

⇒ PH + PK + PI 2S

a

≥ = ha ⇒ PH + PK + PI nhỏ nhất khi P trùng với A (1 đ)

M

F

E

B A

I

H P

K

C B

A