Ta giả sử mỗi điểm trong mặt phẳng đều được tô màu đỏ hoặc màu xanh.. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác vuông cân có 3 đỉnh cùng màu... Thay x , y bởi x hay –x, y hay –y có thể thấy c
Trang 1TRƯỜNG THPT LƯƠNG TÀI ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2007 – 2008
Môn: Toán 12
Thời gian 180 phút không kể giao đề
Bài 1(1,5 điểm).
Cho tam giác ABC thỏa mãn
3cosA 3 cosB cosC
2
Chứng minh rằng tam giác ABC cân ở A và Â = 1200
Bài 2 (2 điểm).
Xét phương trình xn – x2 – x – 1 = 0 ( n 2, n> ∈N ) (1)
1/ CMR phương trình (1) có nghiệm dương duy nhất
2/ Với mỗi n ( n 2, n> ∈N ), ký hiệu xn là nghiệm dương của PT (1)
nlim n x 1
→∞ −
Bài 3 (1,5 điểm).
Giải hệ
2 2 2
y x
2
e
−
=
+
Bài 4 (4 điểm).
1/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tính diện tích phần mặt phẳng tạo bởi các điểm (x; y) thỏa mãn điều kiện:
12≤ x −2007 + y −2007 ≤84 2/ Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau tại A và I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó ( )α là mặt phẳng đi qua I và ( )α ⊥AI CMR điều kiện cần
và đủ để M∈ α( ) là MB2 + MC2 + MD2 = 3MA2
Bài 5 (1 điểm).
Ta giả sử mỗi điểm trong mặt phẳng đều được tô màu đỏ hoặc màu xanh Chứng minh rằng tồn tại một tam giác vuông cân có 3 đỉnh cùng màu
……… Hết ………
Trang 2LỜI GIẢI TÓM TẮT
Bài 1 (1 điểm)
2
2
B C
−
Từ đây suy ra ĐPCM
Bài 2 (2 điểm)
1/ ( 1 điểm)
Xét h/s f(x) = xn – x2 – x – 1, n 2, n> ∈N Ta có f(-1) = -2 <0, f(2) = 2n – 7 > 0, từ đó
PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trông (1; 2)
Nếu x là nghiêmj dương của PT thì x > 1, vì xn = x2 + x + 1 >1
Với x > 1 thì f’(x) = nxn-1 – 2x – 1 >0 nên PT f(x) = 0 chỉ có nhiều nhất 1 nghiệm
Từ đó ta có đpcm Hơn nữa 1< xn <2
2/ (1 điểm)
Mặt khác
ln x
−
Bài 3 (1,5 điểm).
PT(1)⇔y −x =ln x + −1 ln y + ⇔1 ln x + +1 x + =1 ln y + +1 y +1 Xét h/s f(t) = lnt + 1, t 1≥ là hàm đồng biến trên (1;+∞) do đó x2 + 1 = y2 +1 nên
x= ±y.
Với x = -y, từ PT(2) ta được x = 3, y = -3
Với x = y, từ PT(2) ta được 3log (x 2) 2 log (x 1), x3 + = 2 + > −1
Đặt 3log3(x+2) = 2log2(x+1) = 6u, ta được x+2 = 32u và x+1 = 23u từ đó suy ra
1 + 23u = 32u, PT này có nghiệm duy nhất u = 1 Từ đó được x = y = 7
Bài 4 (4 điểm)
1/ (2 điểm).
Trang 3Thay x , y bởi x hay –x, y hay –y có thể thấy các điểm thỏa mãn bài ra được biểu diễn bởi các phần tô đậm sau Từ đó tính được diện tích cần tìm là 4 84 12π( − ) =288π
2/ (2 điểm) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác
BCD Ta có: I, G, A thẳng hàng và IA 3GA
2
=
uur uuur
Ta có MB2 + MC2 + MD2 = 3MA2
( )
uuuruur uuur uur uuur uuur
Bài 5 (1 điểm).
Giả sử có 2 điểm phân biệt A, B có cùng màu đỏ Dựng
hình vuông ABCD tâm O
Nếu C màu đỏ hoặc D màu đỏ thì ta có tam giác vuông cân
có 3 đỉnh cùng màu là ABC hoặc ABD
Nếu C, D cùng màu xanh thì
- Nếu O màu đỏ thì ta có tam giác vuông cân có 3
đỉnh cùng màu là OAB
- Nếu O màu xanh thì ta có tam giác vuông cân có 3
đỉnh cùng màu là OCD
A
B
C
D
I G
C D
O
