Gọi K là trung điểm của SC... I là giao điểm của AK và SO.
Trang 1Sở GD&ĐT nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Trờng THPT DTNT Kỳ Sơn
Môn thi: Toán - Năm học: 2010 – 2011.Thời gian: 150
o00o
Cõu 1 (6.0 điểm):
1) Khảo sỏt hàm số ( ) (2 )
y= +x −x 2) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trỡnh
( ) (2 ) ( ) (2 )
x+ − =x m+ −m
Câu 2 (2.0 điểm):
Giải hệ phơng trình:
= + + +
= + + +
20 1 1
5 1 1
3
3 3
3
y
y x x
y
y x x
Câu 3(2.0 điểm):
Tìm số nguyên dơng n sao cho:
2 2 3 2 4 2 ( 2 1 ) 2 2 1 2009
1 2 2 4
1 2 3 3
1 2 2 2
1 2
1
1
+ +
+ +
n n
n n
Câu 4(2.0 điểm):
Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định ( 4 +x)( 6 −x) ≤x2 − 2x+m
Câu 5(2.0 điểm):
Giải phơng trình:
sinx+ sin 2x+ sin 3x+ sin 4x= cosx+ cos 2x+ cos 3x+ cos 4x
Câu 6(6.0 điểm):
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K là trung điểm của SC Mặt phẳng (P) qua AK và cắt các cạnh SB , SD lần lợt tại
M và N Đặt V1= VS.AMKN , V = VS.ABCD
1) Khi mp(P)//BD, hãy tính tỷ số thể tích
V
V1
2) Đặt x = SM SB , y= SD SN Tính
V
V1
theo x và y
Hết
Trang 2đáp án và hớng dẫn chấm
* TXĐ: R
* Giới hạn: = ∞
±∞
→ y
xlim
*Bảng biến thiên:
y’ = 2(x+1)(2-x) – (x+1)2 = (x+1)(3-3x)
y’ = 0
=
−
=
⇔
1
1
x x
x -∞ -1 1 +∞
y’ 0 + 0
*Vẽ đồ thị:
y’’= - 6x; y’’= 0 ⇔x = 0⇒y = 2
Đồ thị nhận I(0; 2) làm tâm đối xứng
Giao với Ox: (-1; 0) và (2 ; 0)
0.5 0.5
0.5
0.5
Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của đồ thị trên và
đ-ờng thẳng y = (m +1)2(2 – m)
Dựa vào đồ thị ta có:
• Khi (m +1)2(2 - m) > 4⇔m < -2 thì có 1nghiệm.
• Khi (m +1)2(2 - m) = 4⇔m = -2 hoặc m =1 thì có 2
nghiệm
0 m)
- (2 1) (m
4 m)
- (2 1)
(m
2
2
−
−
∈
⇔
>
+
<
+
m thì phơng trình
có 4 nghiệm
• Khi (m +1)2(2 - m) = 0⇔m = -1 hoặc m = 2 thì có 2
nghiệm
• Khi (m +1)2(2 - m) < 0⇔m > 2 thì có 1nghiệm
0.5
0.5 0.5 0.5
0.5 0.5
4
-∞
0
O
y
x -1 1
2 4
2 -2
Trang 3Đặt
= +
= +
v y y
u x
x
1
1
, Điều kiện: u ≥ 2 ;v ≥ 2
Tacó hệ
=
− +
−
= +
15 3 3
5
3
u
v u
=
=
=
=
⇔
=
= +
⇔
2 3 3 2 6
5
v u v u uv
v u
Suy ra các nghiệm là:
+ ;1
2
5 3
− ;1
2 5 3
2 5 3
;
1 1;3−2 5
0.5 0.5 0.5
0.5
Xét hàm số:
1 2
) 1 ( )
(x = +x n+
f
1 2 4
4 1 2 3 3 1 2 2 2 1 2
1 1 2
0
1
+ +
+ +
+
n n
n n
n
Ta có f' (x) = ( 2n+ 1 )( 1 +x) 2n=
n n
n n
1 2 3
4 1 2 2 3 1 2
2 1 2
1
1
+ +
+ +
Do đó f' ( − 2 ) = 2n+ 1 =
1 2 2 4
1 2 3 3
1 2 2 2
1 2
1
1
2 + − 2 2 + + 3 2 + − 4 2 + + + ( 2 + 1 ) 2 n++
n
n n
n n
Suy ra:
2009 2
) 1 2 ( 2
4 2
3 2
.
1 2 2 4
1 2 3 3
1 2 2 2
1 2
1
1
+ +
+ +
n n
n n
⇔ 2n + 1 = 2009
⇔ n = 1004
0.5
0.5 0.5
0.5
4 Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc tập
xác định ( 4 +x)( 6 −x) ≤x2 − 2x+m
2
Đặt ( 4 +x)( 6 −x) =t ⇒ t2 = -x2 + 2x + 24
Do − 4 ≤ x≤ 6 suy ra 0 ≤t ≤ 5
Khi đó ta có bất phơng trình:
t2 + t – 24 ≤ m.(*)
Xét hàm số g(t) =t2 +t− 24 trên đoạn [0 ; 5]
Có bảng biến thiên:
t 0 5 g’(t) +
-24
Để bpt đã cho nghiệm đúng mọi x thuộc TXĐ thì bpt (*) phải
nghiệm đúng với mọi t thoả mãn0 ≤t ≤ 5
Từ bảng biến thiên suy ra: m≥ 2
0.5 0.5
0.5
0.5
Trang 45 Giải phơng trình:
x x
x x
x x
x
x sin 2 sin 3 sin 4 cos cos 2 cos 3 cos 4
(*)⇔(sinx - cosx)[2 +2(sinx+ cosx) + sinxcosx] = 0
= +
+ +
=
−
⇔
) 2 ( 0 cos sin ) cos (sin
2 2
) 1 ( 0 cos sin
x x x
x
x x
) ( 4 1
tan )
1
( ⇔ x= ⇔x=π +kπ k∈Z
4 sin(
2 cos
2
1 cos
sin
2 −
=
Tacó t2 + 4t +3 = 0⇔t = -1 v t = -3(loại)
4
sin(
2
2 )
4 sin( +π =− = −π
∈ +
=
∈ +
−
=
⇔
) ( 2
) ( 2 2
Z n n
x
Z m m x
π π
π π
0.5 0.5 0.5 0.5
6.1
Khi mp(P)//BD, hãy tính tỷ số thể tích
V
V1
Gọi O là giao điểm của 2đờng chéo
I là giao điểm của AK và SO
Do (P)//BD, qua I kẻ đờng song song với
BD cắt SB và SD tại M và M
Trong tam giác SAC có I là trọng tâm
Suy ra:
3
2
=
SB
SM
;
3
2
=
SD
SN
Vì SABCD là hbh nên Vs.ABC = Vs.ADC =
2
1
V
SC
SK SB
SM V
V
AMK S ABC
S
AMK S
6
1 3
1 2
1 3
2
.
Tơng tự ta có V S ANK V
6
1
Mà V = Vs.ABC + Vs.ADC và V1 = VS.AMK+ VS.ANK
Suy ra
3
1
1 =
V V
1
0.5
0.5 1
6.2
Đặt x =
SB
SM
, y=
SD
SN
Tính
V
V1
SC
SK SB
SM V
V
AMK S ABC
S
AMK S
4 2
1
.
Tơng tự ta có V S ANK y V
4
Suy ra
4
1 x y V
1 1 1
S
C
D
M O I
