SKKN Toán lập phương trình

Có thể nói “ Giải bài toán bằng các lập phương trình ”là phần quan trọng nhất của giải phương trình , bởi lẽ thông qua giải bài toán học sinh không những được cũng cố và mở rộng thêm kiế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CÀ MAU Đơn vị : Trường THPT Hồ Thị Kỷ

*****************

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài :

- Đề tài thuộc lĩnh vực chuyên môn : TOÁN HỌC

- Chức vụ , nhiệm vụ dang phụ trách : Giảng dạy

- Đơn vị công tác : Tổ TOÁN – TIN HỌC

Cà mau , ngày 18 tháng 4 năm 2009

MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢNG DẠY BÀI TOÁN BẰNG

CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

I- ĐẶT VẤN ĐỀ

Phần toán lập phương trình ở bậc THCS được thể hiện qua hai giai đoạn Giai đoạn ẩn tàng từ lớp 1 đến lớp 7 , giai đoạn tường

minh bắt đầu từ lớp 8 và hoàn thiện vào lớp 9 Viêïc hình thành thuật toán sẽ dẫn đến phương trình bậc I một ẩn số , phương trình bậc II một ẩn

Toán lập phương trình thường chiếm tỷ lệ khá lớn trong các kỳ thi tuyển vào lớp 10 và chuyên toán Đây là phần tương đối phức tạp trừu tượng mà học sinh hây vấp váp trong các kỳ thi

Có thể nói “ Giải bài toán bằng các lập phương trình ”là phần quan trọng nhất của giải phương trình , bởi lẽ thông qua giải bài toán học sinh không những được cũng cố và mở rộng thêm kiến thức về phương trình mà còn rèn luyện được nhiều về kỹ năng phân tích tổng hợp , kỹ năng phiên dịch từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số và ngược lại thế mà kỹ năng giải bài toán này của đa số học sinh còn yếu Điều này được chứng tỏ qua thực tế học tập ở nhà trường nhất là qua các kỳ thi trong những năm qua Một trong nhữnh nguyên nhân của hiện tượng này là thời gian trong phân phối chương trình dành cho phần này là quá ít , so với mức độ “ khó” của nó

II – MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHÓ KHĂN TRONG QUÁ TRÌNH DẠY BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Chúng ta biết muốn giải bài toán lập phương trình ta làm theo thứ tự sau đây :

Bước 1 Lập phương trình

a) Chọn ẩn số, đơn vị và tìm điều kiện thích hợp cho ẩn số

b) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết c) Lập phương trình hoặc hệ phương trình diễn đạt sự tương quan giữa các đại lượng trong bài toán

Bước 2 Giải phương trình

Bước 3 Trả lời : Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn , nghiệm nào không , rồi kết luận

( Ở đây chỉ nói đến phần lập phương trình )

1) Những sai lầm thường gặp .

- Học sinh chưa hiểu hết các ngôn ngữ thông thường dưới ngôn ngữ đại số

- Chọn ẩn số tuỳ tiện , sai đợn vị , sai điều kiện

Ví dụ Gọi vận tốc của xe thứ nhất là x (km) ; Gọi số học sinh của lớp 7A là x (hs) ; x>0;

- Chưa hiểu rõ việc biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

Ví dụ : Bài toán vừa gà vừa chó (lớp 8 ) Gọi x (con ) là số con gà x > 0 Số con chó là : 36 - x (con)

Số chân gà : 2x (chân ) Số chân chó : 4 ( 36 – x ) ( chân)

- Học sinh khi gặp bài toán dẫn đến lập việc phương trình biểu thị sự tương quan hơn kém giữa hai biểu thức cùng một đại lượng thường vấp phải những sai lầm tai hại ( vì phép trừ không có tính giao hoán )

- Học sinh phân vân không biết lập phương trình như bên trái hay bên phải dưới đây phương trình nào đúng ?

Ví dụ 1: Gọi x (h) là thời gian ; Biểu thức chỉ vận tốc ( km/h ) 10

4 3

150 150

= +

−

x

x ? hoặc 150 10

4 3

150

=

−

x

(Đ) (S)

Ví dụ 2 : Gọi x(km/h) là vận tốc ; Biểu thức chỉ thời gian ( h)

60 40 31 4030 = 32











+ + +

−

x x

Hoặc 40 31 4030 −60 = 32











+ + +

x x

2 Một số biện pháp khắc phục khi giảng dạy

Lập phương trình là biểu thị một ( hoặc nhiều ) đièu kiện nào đó nhờ các ký hiệu dịch từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số cũng tức là sang công thức toán học Muốn diễn tả một điều kiện ra ký hiệu toán học thì một mặt cần phải hiểu điều kiện đó một cách tường tận ,mặt khác phải quen thuộc với cách diễn tả toán học

• Với một số bài toán đơn giản ta có thể <<phiên dịch >> dễ dàng chẳng hạn << Tìm hai số có tổng bằng 25 và tích bằng 150 >>

- Ta phát biểu bài toán :

Bằng ngôn ngữ thông thường : Bằng ngôn ngữ đại số ( hoặc ký hiệu toán học )

- Tìm hai số : x,y

- Có tổng bằng 25 : x + y = 25

- Và tích bằng 150 : x.y = 150

Ta được hệ phương trình của bài toán :







=

=

+

150

25

y x

y x

(Ở đây đề bài toán được dễ dàng phân tích ra nhiều phần mà mỗi phần có thể diển tả tức khắc bằng ký hiệu toán học )

-Có những bài toán phức tạp ( tất nhiên là đôùi với từng người ) trong đó điều kiện không thể hiện rỏ ràng nên khó phiên dịch ra ký hiệu toán học hoặc khó phân chia thành nhiều phần khác nhau để dễ dàng phiên dịch Gặp trường hợp này tôi thường cho hocï sinh làm như sau :

A- Tìm hiểu ý nghĩa bài toán và ý nghĩa từng lời

B- Phân tích đề toán bao gồm các công việc :

1 Xem bài toán nói đến đối tượng nào ? ( Nói về chuyển động của một vật , về công việc của đội sản xuất , về sự sắp xếp học xinh theo số ghế trong một phòng học v.v…)

2 Chia bài toán thành nhiều dạng khác nhau

a) Toán công việc làm chung làm riêng và vòi nước ,

b) Toán về chuyển động

c) Toán về phân chia sắp xếp - Phân phối đều

d) Toán có nội dung số học , phần trăm

e) Toán có nội dung hình học

f) Toán có nội dung vật lý , hoá học …

Với mỗi dạng toán có thể chia thành nhiều loại khác nhau

Ví dụ : Toán chuyển động có thể chia thành nhiều loại

- Hai chuyển động ( cùng chiều – ngược chiều )

- Một chuyển động v.v…

3 – Nêu rõ các đại lượng cần xét cho mỗi trường hợp ( Với bài toán về chuyển động thì các đại lượng cần xét là : Quảng đường , thời gian , vận tốc Với bài toán về sản xuất thì các đại lượng cần xét là khối lượng công việc , thời gian làm việc ,năng suất lao động Với bài toán về sự sắp xếp học sinh theo số ghế thì các đại lượng cần xét là : Số học sinh , số dãy ghế , số học sinh ngồi trên 1 dãy ghế v.v…)

4 – Viết công thức diễn đạt sự tương quan giữa các đại lượng ấy , (giữa các đại lượng ) : quãng đường (S ) , thời gian ( t ) và vận tốc ( v ) có công thức :

S = v.t ; v = S t ; t =S v

Giữa số học sinh ( M ) , số dãy ghế (k ) , số học sinh ngồi trên mỗi dãy ghế (p) có công thức : M = k.p ; k = M p ; p = M k

5 – Tìm sự tương quan khác

6 - Tóm tắt đầu bài trên cơ sở vừa phân tích thành 1 bảng ( có thể dùng sơ đồ , hình vẽ , ký hiệu hoặc câu ngắn gọn …) Thông thường có thể hướng dẫn học sinh lập bảng Bảng không phải lời giải của bài toán nhưng giúp các em lập lời giải một cách dễ dàng Bảng gồm một cột ghi các trường hợp và các cột khác mỗi cột ghi một đại lượng cần xét :

Trường hợp

I

II

III

Rồi ghi các giá trị đã biết vào các cột và các dòng tương ứng

C – Thực hiện từng phần việc như đã ghi trong bước lập phương trình :

1) Chọn ẩn số … Thông thường bài toán yêu cầu tìm giá trị của một đại lượng nào thì chọn giá trị ấy làm ẩn số, đơn vị của ẩn số, điều kiện của ẩn số

( Nhưng không phải lúc nào cũng làm như vậy ) Ghi ẩn số vào cột và các dòng tương ứng

2) Dùng ẩn số và … căn cứ vào những tương quan tính giá trị các đại lượng ứng với những ô còn trống trong bảng rồi ghi các giá trị đó vào bảng

3) Lập phương trình dùng các tương quan làm cơ sở và những biểu thức tương

ứng trong bảng để lập phương trình

Khi giải xong một bài toán cần khắc sâu cho học sinh về phương trình vừa thành lập được biểu thị như thế nào ? Tai sao phải làm như vậy ?Từ đó làm kinh nghiệm cho học sinh để giải bài toán sau này

Ví dụ : *Bài toán chuyển động , thông thường nếu đềâø bài cho biết quãng

đường

• Nếu gọi ẩn số x là vận tốc thì phương trình sẽ biểu thị theo thời gian ( Như ví dụ 2 )

• Nếu gọi ẩn số x là thời gian thì phương trình sẽ biểu thị theo vận tốc

* Bài toán về công việc làm chung làm riêng thì phương trình thườngcó dạng : Năng suất chung của hai đội = năng suất của đội I + năng suất của đội II

Ví du :ï Lập phương trình bài toán sau đây:

Hai đội thanh niên cùng làm chung ,đã hoàn thành công việc trong 4 ngày Nếu mỗi đội làm riêng thì đội I nhanh hơn đội II là 6 ngày Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội cần bao lâu để hoàn thành cả công việc ?

Phân tích : Bài toán nói về đối tượng nào ?

Bài toán nói về công việc làm của hai đội thanh niên

+ Nên phân chia bài toán thành mấy tình huống

- Tình huống làm chung và tình huống làm riêng Trong tình huống làm riêng lại chia thành : Trường hợp đội I và trường hợp đội II

+ Ở mỗi trường hợp cần xét nhgững đại lượng nào?

- Cần xét toàn bộ công việc ; thơì gian hoàn thành và năng suất lao động

+ Trong bài toán còn có những tương quan nào khác ?

- Nếu làm riêng thì thời gian đội II hoàn thành cả công việc nhiều hơn đội I là 6 ngày

Năng suất chung của hai đội = năng suất của đội I + năng suất của đội II

Đại lượng Tình huống Khối lượngCông việc Thời gian Năng suất Làm riêng

(1)

X

(2) x

1

(3)

(4) X + 6

(5) x1+6 (6)

(8) 41

( 9) +Ghi các giá trị đã biết : khối lượng công việc trong cả 3 ô ( 1 ) ( 4 ) ( 7 ) điều là 1 Vì làm chung thì hoàn thành trong 4 ngày nên ô ( 8) ghi là 4

Thực hiện từng phần công việc của bước lập phương trình :

- Chọn ẩn : x ngày là thời gian đội I làm riêng hoàn thành cả công việc , x> 4 ( ghi vào ô (2) )

- Biểu thị những số chưa biết khác :

Tính những giá trị đại lượng tương ứng với những ô còn trống rồi ghi vào bảng :

+ Ô ( 3 ) : Năng suất của đội I : 1x cv

+ Ô ( 5 ) : Thời gian đội II làm riêng hoàn thành công việc : x + 6 ngày + Ô ( 6 ) : Năng suất của đội II : x1+6cv

+ Ô ( 9 ) : Năng suất chung của cả 2 đội : 41 cv

- Lập phương trình : theo các ô (3) (6) (9) Năng suất chung của cả hai đội = năng suất của đội I + năng suất của đọi II

4

1 6

1

+

+

x x

Chú ý : có thể có nhiều cách một bài toán thành các trường hợp Tuỳ theo cách phân chia mà phương trình có thể đơn giản hay phức tạp hơn

Từ bảng đã lập hướng dẫn cho học sinh lập lời giải cho bài toán

Từ bảng đã lập có thể chỉ cho học sinh số lượng lời giải của bài toán Sau vài dạng bài tập học sinh dần dần hình thành được cách lập bảng và đặt lời giải một cách nhanh và chính xác

Tuy nhiên không phải bài toán nào cũng cần lập bảng

Ví dụ 2 : Một chiếc ôtô khởi hành từ tỉnh A đi đến tỉnh B 200 km Đi được nửa đường thì ôtô tăng vận tốc thêm 10 km/ h Nhờ vậy ôtô tới B sớm hơn dự định 1/ 2 giờ Tính vận tốc ban đầu của ôtô

A 100km C 100km B

-Cách 1 : chia bài toán thành 2 tình huống :

- Tình huống dự định trong đó ôtô đi từ A đến B với vận tốc ban đàu

- Tình huống thưc tế trong đó có hai trường hợp

+ Đi từ A đến C với vận tốc ban đầu

+ Đi từ C đến B với vạn tốc tăng thêm 10 km/h Ở mỗi trường hợp cần xét 3 đại lượng : quãng đường S , thời gian t , vận tốc v

Đại lượng

Tình huống Quãng đường Thời gian Vận tốc

Dự định A →B 200

x

200

x Thực tế A → C 100

x

100

x

10

100

+

Cơ sở lập phương trình : thời gian thực tế đã đi ít hơn thời gian dự định 21 giờ

Phương trình bài toán :

200 100 1001+21

+ +

=

x x

x ( 1 )

Cách 2 : Chia thành hai tình huống cần xét :

Đại lượng

Dự định đi C → B 100

x

100

x Thực tế đi C → B 100

10

100

+

Cơ sở lập phương trình : thời gian thực tế đi quãng đường CB ít hơn thời gian dự định 12 giờ

Phương trình bài toán : 100 10010+21

+

=

x

x ( 2 ) Rõ ràng phương trình có từ (2) cách đơn giản hơn phương trình có từ cách (1) Có thể ta chưa tìm ra được cách phân chia ngay từ ban đầu nhưng suy nghĩ trên phương trình (1) ta cĩ thể tìm ra nĩ Thật vậy từ phương trình :

200 100 10010+12

+ +

=

x x x

Ta cĩ thể bằng cách chuyển vế :

200 100 10010+21

+

=

−

x x x

Hay 100 10010+12

+

=

x x

Phương trình này diễn đạt phương trình nào ? Nĩ nĩi lên <<Thời gian dự định đi quãng đường (100x giờ) nhiều hơn thực tế đi quãng đường đĩ ( x100+10giờ là 21 giờ

>>

Thực tế thì ơ tơ chỉ ngắn hơn thời gian trên quãng đường từ C đến B Chính phương trình (2 ) đã đưa ta tới cách giải thứ hai Số lượng lời giải của bài tốn với cách làm thu 2 cũng ít hơn

Chú ý : Sau mỗi tiết học cần cho các bài tốn cĩ cùng dạng theo mức độ tăng dần

từ dể đến khĩ

Qua quá trình giảng dạy tôi rút ra được một số kết quả như sau:

-Giáo viên có sự chuẩn bị tốt hơn , kỹ lưỡng hơn cho giờ lên lớp

- Khi giảng dạy các bài tập toán ở các lớp 6 – 7 ta có thể đưa các bài toán có dạng lập phương trình một cách đơn giản đễ học sinh có khái niệm ban đầu từ từ hình thành các khái niệm về toán lập phương trình đến khi giải các bài toán lập phương trình học sinh ít bỡ ngỡ và thuận lợi hơn

-Học sinh biết dịch từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số

- Học sinh có sự chuẩn bị tốt hơn cho giờ học

- Biết chọn ẩn số , đơn vị , điều kiện , một cách thích hợp

-Học sinh tự lập bảng một cách dễ dàng , biết điền vào trong ô các yêu cầu bài toán

- Biết lập lời giải bài toán dựa trên bảng đã lập

- Các bước giải bài toán chặt chẽ hơn , có căn cứ hơn

- Học sinh nâng cao được nhận thức của mình đối với giải toán

- Học sinh tìm được nhiều cách lập phương trình hơn

- Phát shuy được tính tự giác , tích cực độc lập của học sinh

- Học sinh thích giờ học giải bài toán bằng cách lập phương trình

Cà Mau , ngày 18 tháng 04 năm 2009

Người viết

Huỳnh Thanh Tòng

PHẦN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ , XẾP LOẠI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài :

MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢNG DẠY BÀI TOÁN

BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Tác giả : HUỲNH THANH TÒNG

TRƯỜNG THPT HỒ THỊ KỶ

- Đặt vấn đề :

- Biện pháp :

- Kết quả phổ biến , ứng dụng

- Tính khoa học

- Tính sáng tạo

Xếp loại chung :

Ngày tháng năm 2009 Thủ trưởng đơn vị

Căn cứ kết quả xét , thẩm định của Hội đồng khoa học ngành GD & ĐT cấp tỉnh , Giám đốc Sở GD & ĐT Cà Mau thống nhất công nhận SKKN và xếp loại : ………

Ngày tháng năm 2009

GIÁM ĐỐC