Giải bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình

Lý do: Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây dựngthế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủphẩm chất đạo đức, năng lực, trí

A LỜI NÓI ĐẦU

1

1 Lý do:

Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây dựngthế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủphẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay.Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta phảitạo tiền đề vững chắc lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh cũng nhưphương pháp giảng dạy của giáo viên các bộ môn nói chung và môn Toán nóiriêng Toán học là một môn khoa học tự nhiên quan trọng

Trong quá trình học tập của học sinh ở trường phổ thông đòi hỏi phải có tưduy rất tích cực của học sinh

Để giúp các em học tập môn Toán có kết quả tốt, có rất nhiều tài liệu sáchbáo đề cập tới Giáo viên không chỉ nắm được kiến thức, mà điều cần thiết làphải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, truyền thụkiến thức cho học sinh dễ hiểu nhất

Chương trình bộ môn Toán 8 ở THCS là một dạng toán tương đối khó đối vớihọc sinh Do đặt trưng của loại này là loại toán có đề bài bằng lời văn và đượcxen trộn nhiều loại ngôn ngữ

Hầu hết các bài toán có các dữ kiện ràng buộc nhau,ẩn ý dưới dạng lờivăn,buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm được sự liên quan giữ các đạilượng dẫn đến việc lập phương trình mà thực chất các vấn đề khoa học giải toán

là giải phương trình

Trong chương trình toán THCS thì đến lớp 8 học sinh mới được học kháiniệm về phương trình và các phép biến đổi tương đương các phương trình.Nhưng việc giải phương trình đã có trong chương trình từ toán lớp 1 với mức

độ và yêu cầu tùy theo từng đối tượng học sinh Từ lớp 8 ngoài những mối liên

hệ như trên bài toán còn cho dưới dạng lời văn có các dữ kiện kèm theo

Vì vậy muốn giải được loại toán này học sinh phải có tư duy suy luận lôgic

để từ thực tiễn cuộc sống tìm ra được các mối liên hệ giữa các yếu tố đã biết, đã

cho ( giả thiết ) và những đại lượng cần tìm ( ẩn ) từ đó thiết lập mối quan hệdẫn đêns việc lập phương trình.

Hầu hết các bài toán đều được gắn liền với nội dung thực tế Chính vì vậy

mà việc chọn ẩn số thường là những số liệu có liên quan đến thực tế Do đó khigiải toán học sinh thường mắc sai lầm và thoát li thực tế Vì những lí do đó màtrong quá trình giải loại toán này học hường vấp phải những sai lầm ngớ ngẩn.Mắt khác, cũng có thể trong qua trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáoviên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa

mà chưa biết phân loại toán, khái quát được cách giải của mỗi dạng Kỹ năngphân tích tồng hợp của học sinh còn yếu trong quá trình đặt ẩn số, mối liên hệgiữa các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến lúng túng trong việc giải loại toán này.Chính vì vậy, muốn giải bài toán bằng cách lập phương trình thì đều quantrọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ đã cho trong bài thành những quan

hệ toán học Do vậy, nhiệm vụ của người thầy không phải là giải bài tập chohọc sinh mà vấn đề đặt ra là người thầy phải dạy cho học sinh cách giải bài tập

Do đó khi hướng dẫn học sinh giải toán phải dựa vào quá trình biến thiên củacác đại lượng ( tăng giảm, thêm, bớt ) làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đạilượng, dẫn đến lập được phương trình một cách dễ dàng Đây là bước quantrọng và khó khăn đối với học sinh

Trong thời gian giảng dạy ở trường THCS Vĩnh Bình Bắc 2, Vĩnh Thuận,Kiên Giang, qua học hỏi kinh nghiệm của các thầy, cô giáo lớp trước và cácđồng nghiệp trong nhóm đề tài này, đặc biệt được sự hướng dẫn tận tình củathầy Nguyễn Mạnh Hùng, tôi mạnh dạn viết đề tài này với mong muốn đượctrao đổi với đồng nghiệp những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy về dạngtoán “Giải bài tóan bằng cách lập phương trình”

NỘI DUNG CHÍNH CỦA SKKN GỒM:

1.1 Giải pháp khắc phục.

1.2 Nội dung vấn đề.

a/ Lược đồ giải bài toán:

b/ Phân tích bài toán :

c/ Những loại toán và hướng dẫn học sinh giải :

Do trình độ có hạn nên đề tài này không tránh được những sai sót rất các thầy,

cô giáo lượng thứ và chỉ bảo để bản thân tôi rút được những kinh nghiệm tronggiảng dạy và áp dụng

Kiên Giang,ngày 19 tháng 8 năm 2010 Tác giả

- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản theo từng dạng phương trình

- Tìm tòi những cách giải hay

1.2 Nội dung vấn đề.

“Giải bài toán bằng cách lập phương trình”, đây là một trong những

dạng toán cơ bản Ở lớp 8 các em chỉ làm quen những dạng đơn giản và là cơ sởcho những bài toán phức tạp ở các lớp kế tiếp Nên đòi hỏi giáo viên phảihướng dẫn cụ thể để học sinh nắm một cách chắc chắn

a/ Lược đồ giải bài toán:

Để giải một bài toán, trước hết phải cho các em nắm vững lược đồ để “ Giải bàitoán bằng cách lập phương trình”

Bước 1 Lập phương trình gồm các công việc:

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số: Thông thường người tahay chọn ẩn dựa theo đề bài, bài toán hỏi cái gì thì chọn cái đó là ẩn, sau đó nêuđơn vị sử dụng và đặt điều kiện cho ẩn Trong một số trường hợp cụ thể, có thể

chọn ẩn là một đại lượng trung gian, điều này giúp cho việc lập phương trình dễhơn và đôi khi sẽ có được những phương trình gọn hơn, dễ giải hơn.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết:Trong một bài toán ngoài ẩn mà ta cần tìm thì còn có những đại lượng khác liênquan đến ẩn theo các điều kiện nêu trong bài toán Ta dựa vào các thông tin này

để biểu thị các đại lượng ấy thông qua ẩn Thực hiện việc này ta nên lập mộtbảng thể hiện ẩn, các đại lượng liên quan Điều này giúp ta cụ thể hóa các đạilượng mà giả thiết bài toán đã cho và giúp việc lập phương trình dễ dàng hơn

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng (Nhờ sự liên

quan giữa các số liệu, căn cứ vào đề bài mà lập phương trình).

Bước 2 Giải phương trình.

Bước 3 Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình,

nghiệm nào thõa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận Chú ý

so sánh với điều kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp không, có thể thử lại kếtquả đó với cả nội dung bài toán (Vì các em đặt điều kiện cho ẩn đôi khi thiếuchặt chẽ) sau đó trả lời bằng danh số (có kèm theo đơn vị )

Chú ý: Bước 1 có tính chất quyết định nhất Thường đầu bài hỏi số liệu

gì thì ta đặt cái đó là ẩn số Xác định đơn vị và điều kiện của ẩn phải phù hợpvới ý nghĩa thực tiễn

b/ Phân tích bài toán :

- Trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn các em giải bài tập, giáo viên phảiphân ra từng loại toán, giới thiệu đường lối chung từng loại, các công thức, cáckiến thức có liên quan từng loại bài ( kiến thức của bộ môn Toán, Vật lý, Hóahọc…) Ở chương trình của lớp 8, do mới bắt đầu làm quen với dạng toán nàynên các em thường gặp các loại bài như :

1- Bài toán về chuyển động

2- Bài tập năng suất lao động, tỷ lệ %

3- Bài tập liên quan đến các môn học

4- Bài toán có nội dung thống kê

Khi bắt tay vào giải bài tập, một yêu cầu không kém phần quan trọng, đó là phảiđọc kỹ đề bài, tự mình biết ghi tóm tắt đề bài, nếu tóm tắt được đề bài là các em

đã hiểu được nội dung, yêu cầu của bài, từ đó biết được đại lượng nào đã biết,đại lượng nào chưa biết, mối quan hệ giữa các đại lượng

Cần hướng dẫn cho các em ghi được tóm tắt đề bài một cách ngắn gọn, toát lênđược dạng tổng quát của phương trình thì các em sẽ lập phương trình được dễdàng Đến đây coi như đã giải quyết được một phần lớn bài toán rồi

Khó khăn nhất đối với học sinh là bước lập phương trình, các em không biếtchọn đối tượng nào là ẩn, rồi điều kiện của ẩn ra sao? Điều này có thể khắc sâucho học sinh là ở những bài tập đơn giản thì thường thường “bài toán yêu cầutìm đại lượng nào thì chọn đại lượng đó là ẩn” Còn điều kiện của ẩn dựa vàonội dung ý nghĩa thực tế của bài, song cũng cần phải biết được nên chọn đốitượng nào là ẩn để khi lập ra phương trình bài toán, ta giải dễ dàng hơn

Muốn lập được phương trình bài toán không bị sai thì một yêu cầu quan trọngnữa là phải nắm chắc đối tượng tham gia vào bài, mối quan hệ của các đốitượng này lúc đầu như thế nào? lúc sau như thế nào?

Chẳng hạn khi giải bài toán: Một phân xưởng may lập kế hoạch may một lô

hàng, theo đó mỗi ngày phân xưởng phải may xong 90 áo Nhưng nhờ cải tiến

kỹ thuật, phân xưởng đã may 120 áo trong mỗi ngày Do đó, phân xưởng khôngchỉ hoàn thành trước kế hoạch 9 ngày mà còn may thêm 60 áo Hỏi theo kếhoạch phân xưởng phải may bao nhiêu áo? (SGK Toán lớp 8 - trang 28)

Phân tích:

Ở đây, ta gặp các đại lượng: Số áo may trong một ngày (đã biết), Tổng

số áo may và số ngày may (chưa biết): Theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện.

Chúng ta có quan hệ:

Số áo may trong một ngày x số ngày may = Tổng số áo may.

Ta chọn ẩn là trong các đại lượng chưa biết Ở đây, ta chọn x là số ngày maytheo kế hoạch Quy luật trên cho phép ta lập bảng biểu thị mối quan hệ giữa cácđại lượng trong bài toán ( Giáo viên kẻ bảng và hướng dẫn học sinh điền vàobảng)

Số áo may trong 1 ngày số ngày may Tổng số áo may

Hoặc khi giải bài toán: Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương Phương tính

rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương thôi Hỏi rằng nămnay Phương bao nhiêu tuổi ( Bài 40/31-Toán 8)

Tóm tắt: * Năm nay:

- Phương 13 tuổi.

- Tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương.

* 13 năm sau:

- Tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi Phương

Hỏi: Phương bao nhiêu tuổi?

Tiếp theo hướng dẫn học sinh trả lời các câu hỏi sau :

+ Bài toán có mấy đối tượng tham gia? (2 đối tượng - là tuổi mẹ, con)

+ Quan hệ hai đối tượng này lúc đầu như thế nào? (Tuổi mẹ = 3 tuổi Phương)+ Hai đối tượng này thay đổi thế nào? (13 năm sau)

+ Quan hệ hai đối tượng này lúc sau ra sao? (tuổi mẹ = 2 tuổi Phương)

+ Đại lượng nào liên quan đến hai đối tượng? (tuổi)

+ Số liệu nào đã biết, số liệu nào chưa biết

Ở đây cần phải nêu rõ cho học sinh thấy được là bài toán yêu cầu tìm tuổi củaPhương năm nay, có nghĩa là 2 đối tượng đầu chưa biết phải đi tìm, nên ta cóthể chọn tuổi của Phương hoặc của mẹ năm nay làm ẩn số

Chọn số tuổi của Phương năm nay là x (tuổi)

Điều kiện của ẩn? (x > 0)

Biểu thị đại lượng khác qua ẩn? Số tuổi của mẹ năm nay là 3x

Chú ý : 13 năm sau có nghĩa là phải + thêm 13 vào tuổi cả Phương và mẹ.

- Số tuổi của Phương 13 năm sau? (x +13)

- Số tuổi của mẹ 13 năm sau? (3x + 13)

- Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng sau 13 năm Nên ta lập phươngtrình:

3x + 13 = 2(x+13) (1)

- Khi đã lập được phương trình rồi, công việc giải phương trình khôngphải là khó, song cũng cần phải hướng dẫn cho các em thực hiện các phép biếnđổi, giải theo các bước đã được học

Sau khi giải xong, tìm được giá trị của ẩn, một điều cần thiết là phải đốichiếu với điều kiện đã đặt cho ẩn ở trên để trả lời bài toán

Từ cách giải trên, giáo viên cho học sinh suy nghĩ xem còn có thể giảitheo cách nào nữa? Học sinh thấy ngay là ta có thể chọn tuổi của mẹ là ẩn

Bằng cách lý luận trình tự theo các bước như trên, các em sẽ lập đượcphương trình bài toán :

Tóm lại : Nếu hai đối tượng quan hệ với nhau lúc đầu bởi đối tượng này

gấp mấy lần đối tượng kia thì ta phải cân nhắc xem nên chọn đối tượng nào là

ẩn để bớt khó khăn khi giải phương trình

Nếu gặp bài toán liên quan đến số người, số con… thì điều kiện của ẩn :

“nguyên dương” đồng thời phải lưu ý xem ẩn đó còn kèm theo điều kiện gì

thêm mà nội dung thực tế bài toán cho

Ở chương trình lớp 8 thường gặp các bài toán về dạng chuyển động ởdạng đơn giản như: Chuyển động cùng chiều, ngược chiều trên cùng quãngđường… hoặc chuyển động trên dòng nước

Do vậy, trước tiên cần cho học sinh nắm chắc các kiến thức, công thứcliên quan, đơn vị các đại lượng

Trong dạng toán chuyển động cần phải hiểu rõ các đại lượng quãngđường, vận tốc, thời gian, mối quan hệ của chúng qua công thức s=v.t từ đósuy ra:

- Năng suất làm việc là phần việc làm được trong 1 đơn vị thời gian

A : Khối lượng công việc

Ta có công thức A = nt ; Trong đó n : Năng suất làm việc

t : Thời gian làm việc

- Biết tìm năng suất làm việc như thế nào? thời gian hoàn thành, khối lượngcông việc để vận dụng vào từng bài toán cụ thể

Khi ta nắm được các vấn đề trên rồi thì các em sẽ dễ dàng giải quyết bàitoán

* Xét bài toán sau : (Bài toán SGK / 79 – ĐS lớp 8)

- Trước hết phân tích bài toán để nắm được những nội dung sau :

+ Khối lượng công việc ở đây là lượng nước của một bể

+ Đối tượng tham gia ? (2 vòi nước)

+ Số liệu đã biết ? (thời gian hai vòi cùng chảy)

+ Đại lượng liên quan: Năng suất chảy của mỗi vòi, thời gian hoàn thànhcủa mỗi vòi.

+ Số liệu chưa biết ? (Thời gian làm riêng để hoàn thành công việc củamỗi vòi)

- Bài toán yêu cầu tìm thời gian mỗi vòi chảy riêng để đầy bể

Ta tùy ý chọn ẩn là thời gian vòi 1 chảy hoặc vòi 2 chảy đầy bể

Giả sử nếu gọi thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là x (h) Điều kiện

- Nhưng làm sao để tính được thời gian chảy một mình của một vòi thì ta

tìm năng suất của vòi 1 là : 3

2.12 = 8

1 (bể)

Từ đó ta tìm được thời gian là 8 giờ

* Ở chương trình đại số lớp 8 các em cũng thường gặp loại bài tìm 1 số tự nhiên

có 2 chữ số, đây cũng là loại toán tương đối khó đối với các em; để giúp họcsinh đỡ lúng túng khi giải loại bài thì trước hết phải cho các em nắm được một

số kiến thức liên quan

- Cách viết số trong hệ thập phân

- Mối quan hệ giữa các chữ số, vị trí giữa các chữ số trong số cần tìm…; điềukiện của các chữ số.

Ví dụ : “Một số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số

hàng chục Nếu thêm chữ số 1 vào giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớnhơn số ban đầu 370 Tìm số ban đầu (Bài 41/31-Toán 8 tập II)

Học sinh phải nắm được :

- Số cần tìm có mấy chữ số ?(2 chữ số)

- Quan hệ giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị như thế nào?

(chữ số hàng đơn vị gấp 2 lần chữ số hàng chục)

- Thêm chữ số 1 vào giữa thì số này có mấy chữ số? ( có 3 chữ số)

- Số mới so với ban đầu thay đổi ra sao?

- Muốn biết số cần tìm, ta phải biết điều gì? (Chữ số hàng chục, chữ số hàngđơn vị)

Đến đây ta dễ dàng giải bài toán, thay vì tìm số tự nhiên có hai chữ số ta

đi tìm chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị; ở đây tùy ý lựa chọn ẩn là chữ sốhàng chục (hoặc chữ số hàng đơn vị)

Nếu gọi chữ số hàng đơn vị là x

Điều kiện của x ? (x∈N, 0 < x < 10)

Chữ số hàng chục là : 2x

Số đã cho được viết là 2x.10 + x = 21x

Nếu thêm chữ số 1 vào giữa hai chữ số thì số mới được viết

Ví dụ 1: Một xe ô tô đi từ A đến B Lúc đầu đi với vận tốc 40km/h Sau khi đi

được quãng đường, ô tô tăng vận tốc lên 50km/h Tính quãng đường AB, biết thời gian đi hết quãng đường là 7 giờ

GiảiGọi x là quãng đường AB (x > 0)

Thời gian đi hết 2/3 quãng đường với vận tốc 40km/h là:

40 3

1

x

= 150

4x

= 600 4200

⇒ 10x + 4x = 4200

⇔ 14 x = 4200

⇔ x = 300 ( TMĐK)Vậy quãng dường AB là 300km

Ví dụ 2 : Một tàu thủy chạy trên khúc sông dài 80 km, cả đi lẫn về mất 8 giờ 20

phút Tính vận tốc thực của tàu thủy, biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h

Giải :

Gọi x là vận tốc thực của tàu thủy (km/h, x>4)Vận tốc của tàu khi xuơi dòng: x+4 Thời gian xuôi dòng:

Thời gian cả đi lẫn về mất 8 giờ 20 phút =

Giải phương trình ta được x = 20 và x =

5

4

−

Vì chỉ có x = 20 thõa mãn điều kiện của ẩn

Trả lời: Vận tộc thực của tàu thủy là 20 km/h

*khó khăn khi giả loại oán này:

Đây là dạng toán chiếm tỉ lệ về số bài tập khá nhiều trong chương trình môn Toán THCS

-Học sinh chưa nắm được ý nghĩa của ba đại lượng trong công thức: s=v.t(v: Vận tốc, t: Thời gian, s: quãng đường) chưa biết từ bài toán thực tế diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường làm thế nào để biểu diễn về mối liên hệ giữa đại lượng trong công thức : s = v.t

-Nhiều em còn chưa phân biệt được khái niệm về mốc thời gian và

khoảng thời gian

-Đối với các chuyển động trên đường thủy còn xảy ra tình huống “Xuôi dòng’’, “ngược dòng” liên quang đến vận tốc “thực”, vận tốc “ngược” của canô

-Chưa biết thống nhất các thứ nguyên của các đại lượng s,v,t

*Giải pháp khắc phục:

- Nêu công thức s = v.t giải thích ý nghĩa của các đại lượng: Quãng

đường, vận tốc, thời gian và mối quan hệ giữa ba đại lượng đó, lưu ý s = v.t, => v= s/t, t = s/v

-Giải thich để học sinh phân biệt khái niệm mốc thời gian và khoảng thời gian

2 Dạng toán năng suất lao động , tỉ lệ %

Ví dụ: Một xí nghiệp kí hợp đồng dệt tấm thảm len trong 20 ngày Do cải tiến

kỹ thuật, năng suất dệt của xí nghiệp đã tăng 20% Bởi vậy, chỉ trong 18 ngày,không những xí nghiệp đã hoàn thành số thảm cần dệt mà còn dệt thêm được 24