019 đề HSG toán 9 hải lăng 2008 2009

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG

KỲ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009

ĐỀ THI VÒNG II

(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1: (2 điểm) Cho a, b, c  Q; a, b, c đôi một khác nhau

Chứng minh rằng

  2  2 2

1 1

1

a c c b b

a     bằng bình phương của một số

hữu tỷ

Bài 2: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 5x + 2.5y + 5z = 4500 với x < y < z

Bài 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = 2

2

1 4

x

x

x  

Bài 4: (2 điểm) Tìm một số có hai chữ số; biết rằng số đó chia hết cho 3 và nếu

thêm số 0 vào giữa các chữ số rối cộng vào số mới tạo thành một số bằng hai lần chữ số hàng trăm của nó thì được một số lớn gấp 9 lần số phải tìm

Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có góc BAC = 200 Trên AC lấy điểm E sao cho góc EBC = 200

cho AB = AC = b, BC = a a) Tính CE

b) Chứng minh rằng a3 + b3 = 3ab2

-

Hướng dẫn và thang điểm chấm Toán vòng 2

Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008-2009

Bài 1: (2 điểm)

  2  2 2

1 1

1

a c c b b

















































b b c c a a b b c b c c a c a a b

a

1 1 1

1 1

.

1 2 1

1

(1đ)

) )(

)(

( 2 1

1

a c c b b a

b a c b a c a

c c b

b



































=

2

1 1

1





















b b c c a

Bài 2: (2 điểm) 5x + 2.5y + 5z = 4500 (*)

5x ( 1+ 2.5y-x + 5z-x ) = 4500 = 22 33 53 (0.5đ)

 5x = 53; 1+ 2.5y-x + 5z-x = 36 = 1 + 35 (0.5đ)

 x = 3; 5y - x ( 2 + 5 z-y ) = 5 7 (0.25đ)

 x = 3; y – 3 = 1 ; 2 + 5 z-y = 7 = 2 + 5 (0.25đ)

Bài 3: (2 điểm)

2

1 4

x

x

x  

= 1 4 12 

x









  



 3 4 4 12

x

=

2

1 2









 





Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi

2

1 0

1

2    

Bài 4: (2 điểm)

Gọi số cần tìm là ab Ta có: 3

_



ab và

_

9 2

0b a ab































b a

b a b

a a

b a

b a

2 3

3 ) ( ) 10 ( 9 2 100

3 )

(0.5đ)

Từ 3a 2b 2b 3 mà ( 2 , 3 )  1 b 3 do (ab)  3 a 3 mà 3a 2 a 2 (0.5đ)

Ta có a 3 ,a 2 , ( 2 , 3 )  1 a 6 , 1 a 9 a 6 b 9 Vậy 69



ab (0.5đ)

A

D

C

B

Bài 5: (2 điểm)

a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BCE (hai tam giác cân có góc đỉnh bằng

200 và góc đáy bằng 800) nên

AB

BC BC

Và BE = BC = a, suy ra CE =

b

2

a

(0.5đ)

b) Dựng AD BE, suy ra BD =

2

1

AB =

2

1

b

ta có: AE2 = ED2 + AD2, AB2 = BD2 + AD2 do đó

AB2 = BD2 + EA2 - DE2 (0.5đ)

Thay vào ta được:

2 2

2 2

2

2









 



















b

a b

b b

b

a b

2 2 2

4 2 2

4

2 4

3 2 2 4 4 4

a b



2 3

3

3ab

b

E