003 đề thi HSG toán 9 tỉnh đăk lak 2018 2019

Cho điểm Anằm ngoài đường tròn  O.. Đường thẳng qua D song song với BE cắt BC AB lần lượt tại ,, P Q a Gọi H là giao điểm của BC với OA Chứng minh rằng tứ giác OEDH nội tiếp.. Cho hìn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐĂK LĂK

ĐỂ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019

Câu 1

a) Rút gọn biểu thức   3

3 2 3 33 12 5 37 30 3

b) Giải hệ phương trình: 6 12 8







Câu 2 a) Cho phương trình x2 4x2 x  2 m 5( m là tham số) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,một đường thẳng d có hệ số góc k di qua điểm M 0;3 và cắt Parabol   2

:

P y x tại hai điểm A B Gọi ,, C D lần lượt là hình chiếu vuông góc của

,

A B trên trục Ox.Viết phương trình đường thẳng d biết hình thang ABCD có diện tích , bằng 20

Câu 3

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x2  y2 2xy6x4y20

b) Tìm tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng số đó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó

Câu 4

Cho điểm Anằm ngoài đường tròn  O Vẽ hai tiếp tuyến AB AC B C, ( , là các tiếp điểm) và một cát tuyến ADE của (O) sao cho ADE nằm giữa hai tia AO và AB ( , D E thuộc  O )

Đường thẳng qua D song song với BE cắt BC AB lần lượt tại ,, P Q

a) Gọi H là giao điểm của BC với OA Chứng minh rằng tứ giác OEDH nội tiếp

b) Gọi K là điểm đối xứng của B qua E Chứng minh , , A P K thẳng hàng

Câu 5 Cho hình vuông ABCD Trên các cạnh CB CD lần lượt lấy các điểm , M N (M khác ,

B và C, N khác C và D) sao cho MAN 45 0 Chứng minh rằng đường chéo BD chia tam

giác AMN thành hai phần có diện tích bằng nhau

Câu 6 Cho , ,a b c0thỏa mãn a  b c 3.Chứng minh rằng: 2 1 2 1 2 1 3

ĐÁP ÁN Câu 1 a) Ta có:

3 3

3 2 3 33 12 5 1 2 3 3 2 3 33 12 4 2 3

3 2 3 33 12 3 1 3 2 3 21 12 3 3 2 3 3 2 3

3 2 3 2 3 3 3

b) ĐKXĐ: ,x y0

x x  x x   y y  x  y  y  x

Thế vào phương trình thứ hai được



Vậy hệ có nghiệm    x y;  9;1

Câu 2

a) Ta có phương trình tương đương  2

x  x   m Đặt x  2 t 0

Ta có phương trình 2

2 1 0(*)

t    t m Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình  * phải có 2 nghiệm tdương phân biệt Khi đó:

' 0

0

1

1 0

m

m m

m

 



 



  



b) Gọi phương trình đường thẳng  d :yaxb.Vì  d đi qua M 0;3 nên

 d :yax3

Hoành độ giao điểm của  d và  P là nghiệm của phương trình: x2 ax 3 0, do

 

1  3 0nên phương trình x2 ax 3 0luôn có 2 nghiệm phân biệt hay  d cắt  P tai

hai điểm phân biệt A và B có hoành độ x x A, B Theo Vi-et thì

A B

A B

x x



 Khi đó tọa độ

A x x B x x ;C x A;0 ; D x B;0

Ta có:    2 2  2

20

ABCD

AC BD CD

Đặt 2

12

a  t, ta có: 3    2 

Phương trình đường thẳng  d :y  2x 3;  d :y2x3

Câu 3

a) Ta có phương trình tương đương:   2 2

x  x y 

  2 2 2 2 2 2

          Xét các trường hợp sau:

1 0

2 5

1 5

2 0

1 3

3 : ; 2; 8 ; 2;0 ; 4;6 ; 4; 2

2 4

1 4

4 : ; 3; 8 ; 3; 2 ; 5; 6 ; 5;0

2 3

x

x y

x

x y

x

x y

x

x y

 



   



  



  



  



  



  



  



b) Gọi số tự nhiên cần tìm là  3

abcd  a  b c d , theo bài ra 1000abcd 9999

1000 9999 10 21

a    b c d n n    n

abcd  a b c n n  n n  n n n

Do đó trong 3 số n1; ;n n1phải có một số chia hết cho 9,kết hợp với 10 n 21

10;17;18;19

n

 

Với n10    a b c d 10abcd 1000(ktm)

Với n17    a b c d 17abcd 4913(tm)

Với n18    a b c d 18abcd 5832(tm)

Với n19    a b c d 19abcd 6859(ktm)

Vậy n4913;5832

Câu 4

a) Áp dụng phương tích đường tròn ta có AB2  AD AE Áp dụng hệ thức lượng trong

tam giác ABO vuông có: AB2 AH AO AH AO AD AE

AE AO

AHD AEO

  nên tứ giác OEDH nội tiếp

b) Gọi I là giao điểm của AE với BC Ta có:

AHDDEOODEOHEBHDBHE

Suy ra HI là phân giác ngoài của DHE mà HI AHnên HAlà phân giác ngoài DHE

Do đó HD AD ID

HE  AE  IE mà PQ/ /BK nên DQ AD ID DP DQ DP

EB  AE  IE  EB  

Ta có: DQDP EB, EKvà PQ/ /BK nên , , A P K thẳng hàng

I

K

H

Q

P D

C

B

O A

E

Câu 5

Đường chéo BD cắt AN AM lần lượt tại P và Q Ta có , PAM PBAPAM 450nên tứ giác ABMP nội tiếp Suy ra PMAPBAPAM 450 APM vuông cân

45

NDQNAQ nên tứ giác ADNQ nội tiếp QNA QDA QAN  450

AQN

  vuông cân Kẻ PH AMtại HHAHM PHhay AM 2PN

APQ

AMN APQ AMN

S  NQ AM  NQ PH   

Câu 6

Áp dụng Cô si ta có 2 1    21 2    1 2  

Tương tự ta cũng có 2 1   2 1  

Cộng vế theo vế ta được:

Q H

P

D

M

2 2 2

a b c

Mặt khác ta có BDT  2  

a b c  ab bc ca ab bc ca

Do đó : 2 1 2 1 2 1 3

   Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1