Tiểu luận: Hệ tọa độ cực

Tiểu luận với nội dung trình bày hệ tọa độ cực có ưu điểm lớn nhất khi khảo sát những đường cong xuất hiện mối quan hệ đặc biệt với gốc tọa độ. Ngoài ra, hệ tọa độ cực cũng là một hệ tọa độ đủ thú vị, đặc biệt là trong vấn đề khảo sát hàm số để nhiều người phải say mê với nó. Mặc khác, những tri thức mà hệ tọa độ cực đem lại cho chúng ta khá thú vị ,bổ ích và cần thiết. Những tri thức đó có thể được vận dụng để nghiên cứu, giải đáp một số bài tập một cách dể dàng hơn so với nhiều phương pháp khác hay có thể ứng dụng được trong một số lĩnh vực thiết thực như hàng hải, thiên văn

TRƯỜNG Đ I H C S  PH M THÀNH PH  H  CHÍẠ Ọ Ư Ạ Ố Ồ  

MINH KHOA V T LÝ Ậ

Đ  tài ề

H  T A Đ  C C Ệ Ọ Ộ Ự

Gi ng viên: ả  Nguy n Vũ Th  Nhân ễ ụ

Nhóm th c hi n:  ự ệ Nguy n Bình An ễ

Tr n Th  Vĩnh Đào ầ ị

Tr n Gia Linh ầ

L I NG Ờ Ỏ

T a đ  c a m t c a đi m là m t b  s  đ c tr ng cho v  trí c a đi m đó trongọ ộ ủ ộ ủ ể ộ ộ ố ặ ư ị ủ ể  

m t ph ng, không gian. T a đ  này luôn g n li n v i m t h  t a đ  xác đ nhặ ẳ ọ ộ ắ ề ớ ộ ệ ọ ộ ị   bao g m g c t a đ  và các tr c t a đ ồ ố ọ ộ ụ ọ ộ

T  trừ ước đ n nay, ta thế ường quen v i h  t a đ  Decartes t c là h  t a đớ ệ ọ ộ ứ ệ ọ ộ  xác đ nh v  trí c a m t đi m trên m t ph ng cho trị ị ủ ộ ể ặ ẳ ước d a vào c p s  t a đự ặ ố ọ ộ  (x;y) hay (x;y;z).Tuy nhiên, trên th c t , trong m t s  trự ế ộ ố ường h p, ta c n sợ ầ ử 

d ng đ n m t s  h  t a đ  khác, trong đó bao g m h  t a đ  c c. H  t aụ ế ộ ố ệ ọ ộ ồ ệ ọ ộ ự ệ ọ  

đ  này có  u đi m l n nh t khi kh o sát nh ng độ ư ể ớ ấ ả ữ ường cong xu t hi n m iấ ệ ố  quan h  đ c bi t v i g c t a đ ệ ặ ệ ớ ố ọ ộ

Ngoài ra, h  t a đ  c c cũng là m t h  t a đ  đ  thú v , đ c bi t là trong v nệ ọ ộ ự ộ ệ ọ ộ ủ ị ặ ệ ấ  

đ  kh o sát hàm s  đ  nhi u ngề ả ố ể ề ười ph i say mê v i nó.ả ớ

M c khác, nh ng tri th c mà h  t a đ  c c đem l i cho chúng ta khá thú vặ ữ ứ ệ ọ ộ ự ạ ị  ,b  ích và c n thi t. Nh ng tri th c đó có th  đổ ầ ế ữ ứ ể ược v n d ng đ  nghiên c u,ậ ụ ể ứ  

gi i đáp m t s  bài t p m t cách d  dàng h n so v i nhi u phả ộ ố ậ ộ ể ơ ớ ề ương pháp  khác hay có th   ng d ng để ứ ụ ược trong m t s  lĩnh v c thi t th c nh  hàngộ ố ự ế ự ư  

h i, thiên văn, ả

Chính vì nh ng lý do trên mà nhóm đã quy t đ nh ch n “ Kh o sát hàm sữ ế ị ọ ả ố  trong h  t a đ  c c” làm đ  tài ti u lu n.ệ ọ ộ ự ề ể ậ

Trong quá trình th c hi n, nhóm v n còn nhi u thi u sót. Mong nh n đự ệ ẫ ề ế ậ ược sự  góp ý t  th y.ừ ầ

H  T A Đ  C C Ệ Ọ Ộ Ự

Ngoài t a đ  Descartes th ọ ộ ườ ng g p trong ch ặ ươ ng trình h c ph  thông thì h ọ ổ ệ  

t a đ  c c cũng là m t trong nh ng công c  giúp ta gi i quy t m t s  bài ọ ộ ự ộ ữ ụ ả ế ộ ố   toán mà h  Descartes khó có th  gi i quy t đ ệ ể ả ế ượ c. H  t a đ  c c h u ích ệ ọ ộ ự ữ   trong nh ng tr ữ ườ ng h p trong đó quan h  gi a hai đi m đ ợ ệ ữ ể ượ c vi t d ế ướ ạ i d ng   góc và kho ng cách ả

I.Đ NH NGHĨA Ị

H  t a đ  c c là m t h  t a đ  2 chi u, trong đó m i đi m b t kì đệ ọ ộ ự ộ ệ ọ ộ ề ỗ ể ấ ược bi u di nể ễ  

b ng 2 thành ph n:ẳ ầ

Kho ng cách t  đi m đó đ n g c Oả ừ ể ế ố   (g c c c) g i là bán kính.ố ự ọ Góc t o b i đạ ở ường th ng t  O đ n đi mẳ ừ ế ể   đó v i h ng g c cho ớ ướ ố

trước (tr c c c).ụ ự

C  th : Khi xét t a đ  c a đi m M trên h  t a đ  c c nh  hình ta d a vào bán kínhụ ể ọ ộ ủ ể ệ ọ ộ ự ư ự   véct  ơ và góc đ nh hị ướng gi a OM và tr c Ox t c là góc .ữ ụ ứ

1. Bán kính và hướng: 

­Bán kính được tính b ng các t  l  dài, t p h p các đi m có cùng bán kính đằ ỉ ệ ậ ợ ể ược 

bi u di n trên m t ph ng c c b ng các để ễ ặ ẳ ự ằ ường tròn đ ng tâm t i g c t a đ  .ồ ạ ố ọ ộ

Ví dụ: 

­Hướng được đo b ng đ  ho c radian, chi u tăng c a hằ ộ ặ ề ủ ướng là chi u ngề ược chi uề   kim đ ng h , t p h p các đi m có cùng h ng là đồ ồ ậ ợ ể ướ ường th ng đi qua g c t a đ  vàẳ ố ọ ộ  

t o v i tr c  m t góc b ng .   đây ta xét s  đo h ng là radian.ạ ớ ụ ộ ằ Ở ố ướ

Ví dụ: 

+L u ý:ư

­Khác v i h  t a đ  Descartes m i đi m ch  đớ ệ ọ ộ ỗ ể ỉ ược xác đ nh b i duy nh t m t c pị ở ấ ộ ặ   giá tr  , trong h  t a đ  c c m i đi m  có nhi u cách xác đ nh  ng v i các giá trị ệ ọ ộ ự ỗ ể ề ị ứ ớ ị  tăng ho c gi m  so v i giá tr  ban đ u: ặ ả ớ ị ầ

­Trong t a đ  c c t n t i bán kính âm, ta có th  chuy n v  bán kính dọ ộ ự ồ ạ ể ể ề ương b ngằ   cách tăng ho c gi m  đi t  hặ ả ừ ướng cũ và đ i d u : ổ ấ

+Ví dụ: Tìm t t c  các t a đ  c c cho đi m  ấ ả ọ ộ ự ể

­V i l u ý 2, m t cách bi u di n khác t a đ  c c c a  là ớ ư ộ ể ễ ọ ộ ự ủ

­S  d ng l u ý 1 ta tìm đử ụ ư ược 2 h  giá tr  t a đ  c c c a  là:ọ ị ọ ộ ự ủ

 hay 

2. M i liên h  v i h  t a đ  Descartes:ố ệ ớ ệ ọ ộ

Ta có th  rút ra m i liên h  gi a các giá tr   và :ể ố ệ ữ ị

+Ví dụ: 

1.Chuy n  t  t a đ  c c thành t a đ  Descartesể ừ ọ ộ ự ọ ộ

Ta có: 

2.Chuy n  t  t a đ  Descartes sang t a đ  c c.ể ừ ọ ộ ọ ộ ự

Ta có: 

 là m t giá tr  t a đ  c c c a ộ ị ọ ộ ự ủ

3.Chuy n phể ương trình  sang t a đ  c c.ọ ộ ự

Ta có:

4.Chuy n phể ương trình  sang t a đ  c c.ọ ộ ự

Ta có:

II.M T VÀI VÍ D  V  Đ  TH  HÀM S  TRONG T A Đ  C C Ộ Ụ Ề Ồ Ị Ố Ọ Ộ Ự

1.Đường th ng ẳ

+Đ c bi t đặ ệ ường th ng qua g c t a đ : ẳ ố ọ ộ

2.Đường tròn 

+Đ c bi t đặ ệ ường tròn có tâm là g c t a đ : ố ọ ộ

Ngoài ra còn có nh ng đ ng cong l  m t có phữ ườ ạ ắ ương trình c a chúng trong hủ ệ  Descartes r t ph c t p nh ng   h  t a đ  c c l i khá đ n gi n nh :ấ ứ ạ ư ở ệ ọ ộ ự ạ ơ ả ư

3.Đường xoáy  c – Đố ường Archimede 

4.Đường LEMNISCAT : ho c ặ

5.Đường hình tim – Đ ng Cardioide: ườ

6.Các đường hình hoa:

 ho c , ặ

7.Đường hình bướm: 

III. KH O SÁT HÀM S  TRONG T A Đ  C C Ả Ố Ọ Ộ Ự

1.Các tính ch t đ i x ng :ấ ố ứ

a.Đ i x ng qua Ox: N u hàm s  ch n:   thu c đ  th  thì  cũng thu c đ  th ố ứ ế ố ẵ ộ ồ ị ộ ồ ị

 Đ  th  đ i x ng qua Oxồ ị ố ứ

b.Đ i x ng qua Oy: N u hàm s  l    thu c đ  th  thì ố ứ ế ố ẻ ộ ồ ị  cũng thu c đ  thộ ồ ị

  Đ  th  đ i x ng qua Oy.ồ ị ố ứ

Ví d : ụ

c.Đ i x ng tâm: N u  thu c đ  th  thì  cũng v y.ố ứ ế ộ ồ ị ậ

Ví d :ụ

2.Các bước kh o sátả

+ Tìm mi n xác đ nh.ề ị

­Trong h  t a đ  c c hay x y ra trệ ọ ộ ự ả ường h p các hàm s  đợ ố ược kh o sát tu n hoàn.ả ầ  

Do đó ta có m t s  nh n xét v  tính tu n hoàn nh  sau:ộ ố ậ ề ầ ư

Hàm s   tu n hoàn v i chu kì  kh o sát trong  ho c  , qua đ  th  m i l n m t gócố ầ ớ ả ặ ồ ị ỗ ầ ộ   cho đ n khi không sinh ra nhánh m i  đ  th  đ ng cong .ế ớ ồ ị ườ

N u hàm s  l  : đ  th  đ i x ng qua Oy. ế ố ẻ ồ ị ố ứ

N u hàm s  ch n : đ  th  đ i x ng qua Ox.ế ố ẵ ồ ị ố ứ

+ Tính đ o hàm r’, v  b ng bi n thiên.ạ ẽ ả ế

Đ  ph c v  vi c v  đ  th , tính , v i  là góc gi a tia bán kính và ti p tuy n t i đi mể ụ ụ ệ ẽ ồ ị ớ ữ ế ế ạ ể  

kh o sát.ả

: ti p tuy n trùng bán kính.ế ế

: ti p tuy n vuông góc bán kính.ế ế

BBT

Ví d :ụ

a.Kh o sát hàm s  ả ố

MXĐ:

Ta có  là hàm s  l   đ  th  đ i x ng qua Oy.Và có chu kì ố ẻ ồ ị ố ứ   kh o sát trên ả

Có: , . 

BBT

Do    là  hàm   l ,ẻ 

l y   đ iấ ố 

x ngứ   qua   Oy 

ta được:

b.Kh o sát hàm s  ả ố

Ta có  là hàm s  ch n  đ  th  đ i x ng qua Ox.Và có chu kì ố ẵ ồ ị ố ứ   kh o sát trên ả Có: 

BBT

L y đ i x ng qua Ox ta đấ ố ứ ược:

1.Trong toán h cọ

­Trong m t s  trộ ố ường h p, khi chuy n sang t a đ  c c thì phép tính tích phân sợ ể ọ ộ ự ẽ 

đ n gi n h n c  v  c n l n công th c tính tích phân. M t  ng d ng đi n hình làơ ả ơ ả ề ậ ẫ ứ ộ ứ ụ ể   dùng tích phân đ  tính di n tích hình ph ng.ể ệ ẳ

Công th c tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đứ ệ ẳ ớ ạ ở ường cong  và các tia  là:

+Ví d :ụ tính di n tích gi i h n b i đ ng Cardioide: ệ ớ ạ ở ườ

Đ o hàm  đ i d u t i  nên di n tích ạ ổ ấ ạ ệ

2.Trong lĩnh v c hàng h i và thiên vănự ả

+Trong hàng h i:Các nhà hàng h i và quân đ i s  d ng m t ph ng t a đ  nh  sả ả ộ ử ụ ặ ẳ ọ ộ ư ự  yêu thích c a các nhà toán h c. Bán kính đủ ọ ược g i là ph m vi, và các đ n v  th c tọ ạ ơ ị ự ế 

thường được ghi rõ, nh  mét (m) hay ki­lô­mét (km). Góc hay hư ướng được g i là gócọ  

phương v , v  trí, hay phị ị ương hướng, và được đo b ng đ  t  h ng B c theo chi uằ ộ ừ ướ ắ ề   kim đ ng h  Góc phồ ồ ương v  đị ược ký hi u ệ ? (ch  cái Hy L p c ), và ph m vi đữ ạ ổ ạ ược 

ký hi u ệ ?. V  trí c a đi m đị ủ ể ược xác đ nh b ng c p s  (ị ằ ặ ố ?, ?)

+Trong thiên văn: Nhà thiên văn h c Hipparchus (190­120 TCN) đã l p m t b ngọ ậ ộ ả   hàm các dây cung cho bi t chi u dài dây cung cho m i góc. Có tài li u cho r ng ôngế ề ỗ ệ ằ  

s  d ng t a đ  c c đ  thi t l p v  trí các thiên hà.ử ụ ọ ộ ự ể ế ậ ị

TÀI LI U THAM KH O Ệ Ả