Ứng dụng phép biến đổi giao đối cực để khảo sát chùm đường cong bậc hai

Bên cạnh đó, phép biến đổi giao đối cực cũng giải quyết bài toán tìm giao điểm của hai đường cong bậc hai trong một số trường hợp cụ thể thường gặp... Trên cơ sở đó, luận văn đã vận dụng

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

-

NGUYỄN LAN PHƯƠNG

ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI GIAO ĐỐI CỰC ĐỂ KHẢO SÁT CHÙM ĐƯỜNG CONG BẬC HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ KHÍ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGUYỄN LAN PHƯƠNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN VĂN TIẾN

HÀ NỘI 2008

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn trân trọng nhất đến PGS.TS Nguyễn Văn Tiến, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ cũng như đã cung cấp tài liệu cần thiết cho tôi trong quá trình làm luận văn

Qua đây, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo và đồng nghiệp trong bộ môn Hình hoạ - Vẽ kỹ thuật, cũng như trong khoa Cơ khí đã có những ý kiến đóng góp chân tình, hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập

Vì thời gian có hạn, luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy và các đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

M ỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa 1

Lời cảm ơn 2

MỤC LỤC 6

MỞ ĐẦU 9

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN 10

CHƯƠNG 2: NHẮC LẠI MỘT SỐ KHÁI NIỆM 14

2.1 Tỷ số kép của bốn phần tử trong một dạng cấp một 14

2.1.1 Định nghĩa 14

2.1.2 Định lý 14

2.1.3 Tính chất của tỷ số kép 16

2.1.4 Trường hợp đặc biệt 16

2.2 Tính chất điều hoà của tứ giác toàn phần 18

2.2.1 Định nghĩa 18

2.2.2 Định lý 18

2.3 Liên hệ xạ ảnh 19

2.3.1 Định nghĩa 19

2.3.2 Vấn đề xác định một liên hệ xạ ảnh giữa hai hàng điểm 19

2.3.3 Dựng phần tử kép trong một liên hệ xạ ảnh 21

2.4 Liên hệ xạ ảnh đối hợp 23

2.4.1 Định nghĩa 23

2.4.2 Định lý 23

2.4.3 Định lý 24

2.4.4 Liên hệ đối hợp vuông góc 24

2.5 Định lý Phơrêgiê 25

2.5.1 Định lý 25

2.5.2 Dựng các phần tử kép trong một liên hệ đối hợp 26

2.6 Các đường cong bậc hai 28

2.6.1 Vấn đề xác định một đường cong bậc hai 28

2.6.2 Vấn đề xác định một chùm đường cong bậc hai 31

2.6.3 Định lý Đơdacgơ thứ hai 33

2.7 Cực và đối cực 34

2.7.1 Định nghĩa 34

2.7.2 Đường thẳng đối cực của một điểm đối với một đường cong bậc hai 34

2.7.3 Cực của một đường thẳng đối với một đường cong bậc hai 37

2.7.4 Ví dụ về tìm cực và đường thẳng đối cực 39

2.7.5 Cực và đường thẳng đối cực trong một số trường hợp đặc biệt 41

2.8 Liên hệ đối hợp bộ ba đối với các đường cong bậc hai 41

2.8.1 Liên hệ đối hợp bộ ba đối với một đường cong bậc hai 41

2.8.2 Liên hệ đối hợp bộ ba đối với một chùm đường cong bậc hai 42

CHƯƠNG 3: PHÉP BIẾN ĐỔI GIAO ĐỐI CỰC 44

3.1 Cơ sở của phép biến đổi 44

3.2 Tính chất ảnh của một điểm trong phép biến đổi giao đối cực 45

3.2.1 Tính chất 1 45

3.2.2 Tính chất 2 48

3.2.3 Tính chất 3 51

3.2.4 Tính chất 4 52

3.2.5 Tính chất 5 53

3.3 Tính chất ảnh của một đường thẳng trong phép biến đổi giao đối cực 54

3.3.1 Tính chất 1 54

3.3.2 Tính chất 2 56

3.3.3 Tính chất 3 57

3.3.4 Tính chất 4 59

3.3.5 Tính chất 5 60

3.3.6 Tính chất 6 62

3.4 Tính chất đối hợp trong phép biến đổi giao đối cực 70

3.4.1 Ảnh của một điểm 70

2.4.2 Ảnh một đường thẳng 73

CHƯƠNG 4: ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI GIAO ĐỐI CỰC 75

4.1.1 Hai đường cong bậc hai cùng tâm 78

4.1.2 Hai đường cong bậc hai cùng trục 78

4.1.3 Hai đường cong bậc hai đã biết hai điểm chung 79

4.1.4 Hai đường cong bậc hai đã biết một điểm thuộc đường thẳng chứa hai điểm chung 79

4.1.5 Hai đường cong bậc hai thấu xạ 80

4.1.6 Hai đường cong bậc hai vị tự 80

4.1.7 Hai đường cong bậc hai tịnh tiến 80

4.1.8 Hai đường cong bậc hai cùng tiêu điểm 81

4.2 Khảo sát chùm đường cong bậc hai 81

4.2.1 Đặt vấn đề 81

4.2.2 Cơ sở lý luận 82

4.2.3 Ứng dụng phép biến đổi giao đối cực để khảo sát chùm đường cong bậc hai 87

4.2.4 Mở rộng 92

CHƯƠNG 5: ỨNG DỤNG AUTOLISP TRONG CÁC KẾT QUẢ TÍNH TOÁN 97

5.1 Giới thiệu về AutoLISP 97

5.2 Ứng dụng AutoLISP trong các kết quả tính toán 97

5.2.1 Ảnh của một đường thẳng bất kỳ trong phép biến đổi giao đối cực 97

5.2.2 Ảnh của đường thẳng vô tận trong phép biến đổi giao đối cực 98

5.2.3 Khảo sát chùm đường cong bậc hai 100

KẾT LUẬN 103

TÀI LIỆU THAM KHẢO 104

PHỤ LỤC 105

MỞ ĐẦU

Sản xuất cơ khí đóng vai trò then chốt trong nền kinh tế quốc dân Sự phát triển của khoa học công nghệ khiến cho các sản phẩm cơ khí ngày càng đáp ứng tốt các yêu cầu kỹ thuật đặt ra Một trong những công nghệ đang được quan tâm hiện nay là công nghệ tạo hình bề mặt Vì thế, các nghiên cứu về mặt cong có

tầm quan trong trọng công nghệ tạo hình bề mặt Trong khi tìm hiểu về mặt cong, ta không thể bỏ qua các đường cong trên đó Một trong số những đường cong thường gặp trong kỹ thuật là đường cong bậc hai hay còn gọi là đường conic Đường conic bao gồm đường elip, đường parabol và đường hypebol Việc

khảo sát các đường conic này đã có từ lâu Thực tế, các đường conic thường được khảo sát bằng hình học giải tích và hình học xạ ảnh Mỗi phương pháp đều

có ưu, nhược điểm riêng Tuy nhiên, các phương pháp trước đây mới chỉ dừng lại ở việc khảo sát một đường conic riêng lẻ hay gặp phải khó khăn khi khảo sát một chùm đường cong Vì vậy, luận văn đã đưa ra một phép biến đổi “phép biến đổi giao đối cực” nhằm khảo sát một chùm đường cong bậc hai một cách nhanh chóng và dễ dàng Bên cạnh đó, phép biến đổi giao đối cực cũng giải quyết bài toán tìm giao điểm của hai đường cong bậc hai trong một số trường hợp cụ thể thường gặp

CH ƯƠNG 1: TỔNG QUAN

Đường cong bậc hai hay còn gọi là đường conic được nhắc đến và nghiên cứu 200 năm trước Công nguyên, khi Apollonius Perga nghiên cứu một cách có

hệ thống về tính chất của các đường conic

Đường conic có thể được định nghĩa theo hai cách:

1/ Đường conic là quỹ tích các điểm mà tỷ lệ giữa khoảng cách từ nó đến một điểm cố định F và khoảng cách từ nó đến một đường thẳng cố định L bằng một giá trị thực e

- Khi 0 < e < 1 ta có đường elip (tròn)

- Khi e = 1 ta có đường parabol

- Khi e > 1 ta có đường hypebol

Điểm cố định F được gọi là tiêu điểm,

đường thẳng cố định L được gọi là đường

chuẩn của conic

Hình 1.1

2/ Đường conic là đường giao tuyến giữa một mặt nón bậc hai và một mặt phẳng Khi mặt phẳng cắt tất cả các đường sinh của nón, ta có đường elip Khi

mặt phẳng song song với một đường sinh của nón, ta có đường parabol Khi mặt

phẳng song song với hai đường sinh của nón, ta có đường hypebol

Hình 1.2

Ứng dụng của các đường conic trong thực tế vô cùng đa dạng Trong thiên

văn học, quỹ đạo của hai vật thể tương tác với nhau được ghi lại trong “ịnh luật

v ạn vật hấp dẫn của Newton” là những đường conic nếu trọng tâm của chúng ở

trạng thái tự do Nếu chúng di chuyển về cùng một hướng, chúng sẽ để lại dấu vết hình elip; nếu chúng di chuyển tách biệt, chúng sẽ di chuyển theo đường parabol hay đường hypebol Quỹ đạo chuyển động của mặt trăng và các hành tinh trong hệ mặt trời cũng là các đường elip Trong khí động học, người ta quan tâm nhiều đến tính chất “trơn” của các đường conic vì chúng không chứa bất kỳ điểm nào làm thay đổi độ cong, giúp cho bề mặt khí động học ngăn cản được sự chuyển động của không khí và nước Trong tạo hình các chi tiết quang học (thấu kính ), trong thiết kế vòm nhà, sân bóng, các đường conic cũng được ứng dụng rộng rãi

Ứng dụng đa dạng của các đường conic làm cho các nghiên cứu về chúng không ngừng phát triển Việc khảo sát các đường conic được chia làm hai

hướng: khảo sát bằng hình học giải tích và khảo sát bằng hình học xạ ảnh

Trong hình học giải tích, đường conic được thể hiện dưới dạng phương trình đại số:

Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 (A2 + B2 ≠ 0)

Để khảo sát đường conic, người ta thường đưa hệ toạ độ Đề các ban đầu về

hệ toạ độ thuần nhất Trong hệ toạ độ thuần nhất, phương trình của các đường conic lần lượt có dạng:

2 2

2

= +

b

y a x

- Đường parabol: y2 = 2px hoặc x2 = 2py

2 2

Đường conic được xem là một đối tượng nghiên cứu của hình học xạ ảnh vì chúng có những tính chất bất biến qua các phép biến đổi xạ ảnh Chúng thường được thể hiện là quỹ tích giao điểm của các tia tương ứng của hai chùm xạ ảnh Đường conic là elip (tròn), parabol hay hypebol phụ thuộc vào số giao điểm thực

của nó với đường thẳng vô tận là 0, 1 hay 2 Để khảo sát đường conic, người ta

thường dùng các phép biến đổi để đưa đường conic về đường tròn Lý do vì khi biến đổi thành đường tròn, các tính chất xạ ảnh được giữ nguyên và các kết quả được thể hiện một cách rõ ràng, chính xác Ví dụ, phép thấu xạ, phép nghịch đảo

Phương pháp khảo sát đường conic bằng hình học giải tích có ưu điểm là dễ dàng biểu diễn các tính chất về lượng cũng như giải các bài toán về giao điểm một cách nhanh chóng, đặc biệt khi kỹ thuật xử lý bằng máy tính ngày càng phát triển Nhưng nhược điểm của phương pháp này là không thể tiếp tục khảo sát các đường cong bậc cao hơn, ví dụ đường cong bậc 4 rất phổ biến trong kỹ thuật

cũng như các đường cong không thể biểu diễn dưới dạng phương trình đại số tường minh

Khắc phục nhược điểm của hình học giải tích, hình học xạ ảnh cho phép khảo sát các đường cong bậc cao do các tính chất xạ ảnh được bảo toàn qua các phép biến đổi Tuy nhiên, cho đến nay, việc khảo sát mới chỉ dừng lại ở một đường conic riêng lẻ hoặc một chùm đường conic nhưng các kết quả hiển thị chưa được nhận ra một cách nhanh chóng và rõ ràng Nếu tiếp tục nghiên cứu về chùm đường conic thì các phương pháp trước đây không còn phù hợp nữa Vì thế, các tính chất xạ ảnh của chùm chưa được nghiên cứu một cách sâu sắc Trên

cơ sở đó, luận văn đã vận dụng phép biến đổi giao đối cực trong hình học xạ ảnh

để khảo sát một chùm conic (chùm đường cong bậc hai) Qua phép biến đổi này, việc nhận dạng các đường cong của chùm thuộc loại nào trong số các đường elip, parabol hay hypebol được thực hiện một cách nhanh chóng Hơn nữa, phép

biến đổi cũng cho phép giải các bài toán về tìm giao điểm của hai đường conic

và tính toán một vài đặc trưng của chùm đường conic (góc hợp bởi hai tiệm cận của đường hypebol, góc trục của đường parabol, dựng hypebol với góc tiệm cận cho trước ) Một vài tính chất của phép biến đổi giao đối cực và kết quả khảo sát chùm đường conic được luận văn thể hiện bằng ngôn ngữ lập trình AutoLISP trên nền AutoCAD

CHƯƠNG 2: NHẮC LẠI MỘT SỐ KHÁI NIỆM

SA CB CA

CA

= DB :

Chứng minh tương tự như trên ta có:

' '

' ' B' D'

' ' : ' '

' '

B E

B F A D B C

A C

=

Vì

' '

' '

2 1.4 Trường hợp đặc biệt

- Nếu tỷ số kép của bốn điểm A, B, C, D bằng -1 thì ta nói cặp điểm A, B chia điều hoà cặp điểm C, D

- Nếu cặp điểm A, B chia điều hoà cặp điểm C, D và C là điểm chia đôi đoạn thẳng AB thì D là điểm vô tận và ngược lại, nếu D là điểm vô tận thì

C là điểm chia đôi đoạn thẳng AB

Hình 2.3

Chứng minh:

Vì cặp A, B chia điều hoà cặp C, D nên (ABCD) = -1

Mặt khác vì C là điểm chia đôi đoạn thẳng AB nên = − 1

CB CA

Do đó:

1 DB

1 DB : 1 DB :

CB

CA ABCD

Điều này chỉ đúng khi D là điểm vô tận

Ngược lại, nếu D là điểm vô tận thì 1

Suy ra C là điểm chia đôi đoạn thẳng AB

2 2 TÍNH CHẤT ĐIỀU HOÀ CỦA TỨ GIÁC TOÀN PHẦN

2 2.1 Định nghĩa

Hình tạo bởi bốn đường thẳng (trong mặt phẳng) trong đó không có ba đường nào đồng quy gọi là một tứ giác toàn phần Bốn đường thẳng đó gọi là các cạnh của tứ giác; sáu giao điểm của các cạnh gọi là các đỉnh của tứ giác; hai đỉnh không được nối bằng một cạnh gọi là hai đỉnh đối diện; một đường thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là một đường chéo; giao điểm của hai đường chéo gọi là một điểm chéo

Từ tâm A’ chiếu hàng D, E, C’, C thành hàng D, F, B, B’ nên:

'

1 '

DECC C

DEC DECC

Vậy đường chéo CC’ bị hai đường chéo AA’ và BB’ chia điều hoà

Chứng minh tương tự ta có: (DFBB’) = (EFAA’) = -1

Chứng minh:

Hình 2.5

Trên đường thẳng AA’ lấy hai điểm O, O’ rồi dựng đường thẳng s” nối các điểm OBxO’B’ và OCxO’C’ Giữa s và s’ ta thiết lập liên hệ sau đây: ứng với mỗi điểm M của s ta suy ra điểm M’ của s’ như sau:

Kéo dài OM cho cắt s” tại M” rồi nối O’M” cho cắt s’ ở M’ Liên hệ đó là

xạ ảnh (hai phép chiếu xuyên tâm liên tiếp từ s qua s” rồi từ s” qua s’) và trong liên hệ đó A, B, C theo thứ tự ứng với A’, B’, C’ Liên hệ đó là duy nhất Quả vậy, nếu có một liên hệ xạ ảnh thứ hai trong đó A, B, C, M theo thứ tự ứng với A’, B’, C’, N’ thì ta có:

(A’B’C’M’) = (A’B’C’N’) (vì cùng bằng (ABCM))

Do đó N’≡M’

Hệ quả:

“Một liên hệ xạ ảnh hoàn toàn được xác định khi cho biết ba cặp điểm tương ứng.”

Theo nguyên tắc đối ngẫu thì định lý và hệ quả trên đều đúng cho hai chùm đường thẳng

2.3.3 Dựng phần tử kép trong một liên hệ xạ ảnh

Liên hệ xạ ảnh giữa hai hàng điểm cùng giá hay hai chùm cùng tâm có thể xảy ra trường hợp hai phần tử tương ứng trùng nhau Những phần tử đó gọi là những phần tử kép trong liên hệ xạ ảnh

Để dựng phần tử kép trong một liên hệ xạ ảnh, ta có thể áp dụng định lý sau đây

Định lý:

“Cho hai chùm xạ ảnh cùng tâm O (a, b, c, d, e…) và O (a’, b’, c’, d’, e’, …) Nếu qua O ta vẽ một đường cong bậc hai cắt các tia Oa, Ob, Oc, Od, Oe, …, Oa’ , Ob’, Oc’, Od’, Oe’, … theo thứ tự ở A, B, C, D, E, …, A’, B’, C’, D’, E’,

… thì các điểm AB’ x A’B; AC’ x A’C; AD’ x A’D; AE’ x A’E; BC’ x B’C; BD’ x B’D; BE’ x B’E; … thẳng hàng”

Hình 2.6

Định lý trên trước hết cho ta cách dựng tia tương ứng với một tia đã cho trong một liên hệ xạ ảnh giữa hai chùm

cùng tâm O xác định bởi ba cặp tia

tương ứng OA, OA’; OB, OB’; OC,

OC’ Muốn vậy, ta dựng một đường

cong bậc hai (thực tế, ta dựng một đường

tròn) đi qua O Giả sử A, A’, B, B’, C,

C’ lần lượt là giao điểm của các tia kể

trên với đường cong bậc hai Nối hai

điểm AB’ x A’B và AC’ x A’C ta được

đường thẳng p nói trong định lý Hình 2.7

Bây giờ giả sử ta có một tia OM thuộc chùm thứ nhất (M là giao điểm của

tia với đường cong bậc hai) Ta xác định điểm M’ như sau: nối A’M rồi nối A với điểm A’M x p Đường thẳng này sẽ cắt đường cong bậc hai tại M’ Vậy, OM’ là tia tương ứng với OM trong liên

hệ xạ ảnh đã cho

Điều kiện cần và đủ để ta có một tia

kép là M’ trùng với M Muốn vậy, M

phải nằm trên đường thẳng p Vậy, tuỳ

theo số giao điểm của p với đường cong

bậc hai mà ta có hai tia kép thực, hai tia

kép trùng nhau hay hai tia kép ảo Trên

hình 2.8 ta có hai tia kép thực là OI và

OJ

Hình 2.8

2.4 LIÊN HỆ XẠ ẢNH ĐỐI HỢP

2.4 1 Định nghĩa

Một liên hệ xạ ảnh giữa hai hàng điểm cùng giá (hay hai chùm cùng tâm) sẽ gọi là có tính chất đối hợp nếu điểm (hay tia) tương ứng với bất cứ điểm (hay tia) nào đã cho không tuỳ thuộc vào việc ta xem điểm (hay tia) đã cho là thuộc hàng (hay chùm) này hay hàng (hay chùm) kia

Nói cách khác, một liên hệ xạ ảnh giữa hai hàng điểm (hay hai chùm) cùng giá sẽ gọi là có tính chất đối hợp nếu hai hàng đó có vai trò như nhau

Ta sẽ gọi vắn tắt một liên hệ xạ ảnh có tính chất đối hợp là một liên hệ đối hợp và ký hiệu là

(AA’MM”) = (A’AM’M) Nhưng theo tính chất của tỷ số kép:

(A’AM’M) = (AA’MM’) nên (AA’MM”) = (AA’MM’)

hệ xạ ảnh Trong liên hệ xạ ảnh này phần tử A’ thoả mãn định lý ở mục 2.4.2 nên liên hệ có tính chất đối hợp

2.4 4 Liên hệ đối hợp vuông góc.

Một liên hệ xạ ảnh đối hợp giữa hai hàng chùm cùng tâm được gọi là liên

hệ xạ ảnh đối hợp vuông góc nếu các tia tương ứng của hai chùm vuông góc với nhau

2.5 ĐỊNH LÝ PHƠRÊGIÊ

2.5 1 Định lý

“Nếu qua tâm chung của hai chùm đối hợp, ta dựng một đường cong bậc hai (C) thì các đường thẳng nối từng cặp giao điểm của (C) với từng cặp tia tương ứng sẽ đồng quy tại một điểm P, gọi là điểm Phơrêgiê”

Chứng minh:

Hình 2.9

Giả sử (C) cắt hai cặp tia tương ứng Oa, Oa’ và Ob, Ob’ theo thứ tự ở A, A’

và B, B’ Gọi P là giao điểm của AA’ và BB’

Qua P ta lấy một đường thẳng biến thiên cắt (C) ở M và M’ Rõ ràng là:

Chùm (OM)

∧

∨

chùm (OM’)

So sánh liên hệ đối hợp này với liên hệ đối hợp đã cho ta thấy chúng có hai cặp tia tương ứng chung là Oa, Oa’ và Ob, Ob’ Do đó theo định lý ở mục 2.4.3 hai liên hệ đồng nhất với nhau

2.5.2 D ựng các phần tử kép trong một liên hệ đối hợp

a) Liên hệ đối hợp tổng quát

Cho một liên hệ đối hợp xác định bởi hai cặp phần tử tương ứng Xác định các phần tử kép trong liên hệ đối hợp đó

Giải:

* Trường hợp hai chùm:

Dựng một vòng tròn (một đường cong

bậc hai) đi qua tâm chung rồi dựng điểm

Phơrêgiê P Từ P ta dựng hai tiếp tuyến OT và

OT’ với vòng tròn Các tia OT, OT’ là kép

Hình 2.10

Nếu trên vòng tròn, cặp A, A’ không chia

rẽ cặp B, B’ (A, A’ B, B’) thì điểm P ở ngoài

vòng tròn và ta có hai điểm kép thực (hình

2.10)

Nếu trên vòng tròn, cặp A, A’ chia rẽ cặp

B, B’ (A, A’ ÷ B, B’) thì điểm P ở trong vòng

tròn và ta có hai tia kép ảo (hình 2.11) Hình 2.11

Chuyển qua các tia, có thể kết luận, ta có hai tia kép thực hay ảo tuỳ theo

Oa, Oa’ Ob, Ob’ hay Oa, Oa’ ÷ Ob, Ob’

* Trường hợp hai hàng:

Ta chuyển trường hợp hai hàng về trường hợp hai chùm bằng cách chiếu các điểm này qua một tâm (không thuộc giá chung của hai hàng) thuộc một đường cong bậc hai lên chính đường bậc hai đó Làm tương tự như trường hợp hai chùm Sau khi tìm được hai tia kép (thực hoặc ảo), ta chiếu ngược trở lại hai hàng để tìm được điểm kép Trên hình 2.12 ta có hai điểm kép thực T và T', trên hình 2.13 ta có hai điểm kép ảo

Hình 2.12 Hình 2.13

b) Liên hệ đối hợp vuông góc

Dễ dàng nhận thấy điểm Phơrêgiê

P trong trường hợp này là tâm vòng

tròn Hai điểm kép thu được trong liên

hệ đối hợp vuông góc là ảo và liên hợp

với nhau Hai điểm ảo liên hợp còn

được gọi là viên điểm hay điểm cyclic

Hình 2.14

2.6 CÁC ĐƯỜNG CONG BẬC HAI

2.6 1 Vấn đề xác định một đường cong bậc hai

Rõ ràng khi một điểm trên quỹ đạo dần tới O hay O’ thì một trong hai tia dần tới OO’ còn tia kia dần tới tia tương ứng với OO’ Vậy các tia tương ứng với OO’ chính là tiếp tuyến tại O và O’

Trường hợp đặc biệt:

Nếu đường thẳng OO’ tự ứng thì hai chùm phối cảnh tức là cùng chiếu một hàng điểm Giá của hàng điểm này chính là quỹ đạo các giao điểm của các tia tương ứng Nhưng OO’ tự ứng nên mỗi điểm của đường thẳng này cũng có thể xem là một giao điểm của hai tia tương ứng Vậy, xét cho cùng, quỹ đạo gồm một tập hợp hai đường thẳng Ta nói rằng, ta có một đường cong bậc hai suy biến

b) Định lý

“Qua bất cứ năm điểm nào trong mặt phẳng trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bao giờ cũng có một đường cong bậc hai không suy biến đi qua và chỉ một mà thôi”

Hình 2.15

Chứng minh:

Giả sử ta có năm điểm A, B, C, D, E trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Như ta đã biết, có một liên hệ xạ ảnh và chỉ một mà thôi giữa hai chùm tâm A và B, biến các tia AC, AD, AE theo thứ tự thành các tia BC, BD, BE

Theo định lý ở mục a) thì liên hệ xạ ảnh trên xác định một đường cong bậc hai đi qua A, B, C, D, E Ngoài đường cong này ta không còn một đường cong bậc hai nào khác cũng đi qua A, B, C, D, E Vì giả sử có một đường cong bậc hai khác cũng đi qua A, B, C, D, E Gọi M là một điểm chạy trên đường đó Thế thì chùm

A (AM) ∧ chùm B (BM) So sánh liên hệ xạ ảnh này với liên hệ xạ ảnh trên:

Chùm A (AC, AD, AE, ) ∧ chùm B (BC, BD, BE, )

thì ta thấy chúng có ba cặp tia tương ứng chung Vậy chúng đồng nhất với nhau,

do đó đường cong bậc hai thứ hai trùng với đường thứ nhất

c ) Các trường hợp đặc biệt

- Cho B dần tới A và đường thẳng BA dần tới một đường thẳng ∆ Ta thấy rằng, bao giờ cũng có một đường cong bậc hai đi qua bốn điểm (trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng) và tiếp xúc với một đường thẳng cho trước tại một trong bốn điểm đó

Hình 2.16

- Cho B dần tới A, đồng thời cho D dần tới C ta thấy rằng, bao giờ cũng có một đường cong bậc hai đi qua ba điểm không thẳng hàng và tiếp xúc với hai đường thẳng cho trước tại hai trong ba điểm đó

Bốn điểm A, B, C, D gọi là bốn điểm căn cứ của chùm đường cong bậc hai Trong chùm đó có ba đường cong bậc hai suy biến thành ba cặp đường thẳng là (AB,CD), (AC,BD), (AD, BC)

b) Một số dạng chùm đường cong bậc hai

- Chùm đường cong bậc hai được cho bởi bốn điểm thực phân biệt

Hình 2.19

- Chùm đường cong bậc hai được cho bởi bốn điểm phân biệt, trong đó có hai điểm thực và hai điểm ảo liên hợp

Hình 2.20

- Chùm đường cong bậc hai được cho bởi hai cặp điểm ảo liên hợp

Hình 2.21

2.6 3 Định lý Đơdacgơ thứ hai

“Một đường cong bậc hai biến thiên trong một chùm đường cong bậc hai thì vạch lên trên bất cứ đường thẳng nào hai hàng điểm liên hệ xạ ảnh đối hợp với nhau”

Chứng minh:

Cho một chùm đường cong bậc hai xác

định bởi bốn điểm A, B, C, D và cho một

đường thẳng ∆ Trên ∆ ta có ứng với mỗi

điểm M một điểm M’ như sau:

Hình 2.22

- Liên hệ giữa M và M’ là một đối một

- Trong khi dựng điểm M’, biết M (hay dựng M, biết M’) ta dùng toàn đường cong đại số (đường thẳng và đường cong bậc hai)

- Cùng một điểm, dù ta xem nó là thuộc hàng (M) hay hàng (M’) thì điểm tương ứng vẫn thế

Vậy, hàng (M)

∧

∨

hàng (M’)

Phát biểu định lý Đơdacgơ dưới hình thức “tĩnh”:

“Mọi đường thẳng ∆ cắt ba cặp cạnh đối diện (ba đường cong suy biến của chùm) (AB,CD), (AC,BD), (AD,BC) của một tứ điểm ABCD và một đường cong bậc hai ngoại tiếp tứ điểm đó theo bốn cặp điểm tương ứng trong cùng một liên hệ xạ ảnh đối hợp”

Hình 2.23

Qua M ta dựng hai cát tuyến MAB và MCD Nối hai điểm E=ADxBC và F=ACxBD bằng một đường thẳng m Theo tính chất của tứ giác toàn phần thì hai chùm E (EM, EF, EC, ED) và F (FM, FE, FC, FD) là điều hoà Vì vậy, nếu qua

M ta dựng một đường thẳng cắt m ở M’ thì M và M’ chia điều hoà cặp giao điểm của đường thẳng MM’ với cặp đường thẳng AD, BC và cũng chia điều hoà cặp giao điểm của MM’ với cặp đường thẳng AC, BD Vậy M và M’ là hai điểm kép

trong liên hệ đối hợp xác định bởi hai cặp giao điểm của MM’ với AD, BC và

AC, BD Theo định lý Đơdacgơ thứ hai thì hai giao điểm của MM’ với đường cong bậc hai cũng thuộc liên hệ đối hợp đó Vậy, M, M’ cũng chia điều hoà hai giao điểm này Nói cách khác, M và M’ liên hợp đối với đường cong bậc hai (C)

Vậy, mọi điểm M’ trên m đều liên hợp với M đối với (C) Ngược lại, giả sử

có một điểm M’ liên hợp với M đối với (C) Gọi M” là giao điểm của MM’ và

m Vì cả hai điểm M’ và M” đều liên hợp điều hoà với M đối với hai giao điểm của (C) với đường thẳng MM’ nên chúng trùng nhau

Vậy, quỹ đạo của điểm M” là đường thẳng m

Trong trường hợp đường cong bậc hai suy biến thành hai đường thẳng a, b thì rõ ràng quỹ đạo phải tìm là đường thẳng liên hợp điều hoà của đường thẳng

M x (axb) đối với hai đường thẳng a, b Nếu M ≡ axb thì đường thẳng đối cực có thể coi là bất cứ đường thẳng nào không đi qua M

b) Tính chất của đường thẳng đối cực

- Nếu điểm M nằm ngoài đường cong (C) và đường thẳng MM’ tiếp xúc với (C) thì M’ là tiếp điểm Vậy, đường thẳng đối cực m của điểm M đối với (C) đi qua hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến xuất phát từ M đến (C)

Hình 2.24

- Nếu M nằm trên (C) thì đường thẳng đối cực m của điểm M đối với (C) là tiếp tuyến của (C) tại M

Hình 2.25

2.7 3 Cực của một đường thẳng đối với một đường cong bậc hai

a) Định lý

“Mọi đường thẳng m trong mặt phẳng đều có một điểm M duy nhất nhận

m làm đường thẳng đối cực đối với một đường cong bậc hai không suy biến (C) Điểm M duy nhất đó gọi là cực của đường thẳng m đối với đường cong bậc hai (C)”

Chứng minh:

Hình 2.26

Ta lấy hai điểm A, B trên đường thẳng m và gọi M là giao điểm của hai đường thẳng đối cực của A và B đối với đường cong bậc hai (C) Như thế thì điểm M liên hợp với cả hai điểm A, B đối với (C) Do đó đường thẳng đối cực của M đối với (C) chính là đường thẳng m

Giả sử còn có một điểm N khác cũng nhận m làm đường thẳng đối cực Nối

MN và gọi các giao điểm của đường thẳng MN với đường cong (C) và đường thẳng m theo thứ tự tại P, Q, R Vì M và N đều nhận m làm đường thẳng đối cực nên:

(PQMR) = -1 (PQNR) = -1

Do đó N ≡ M Vậy, M là điểm duy nhất nhận m làm đường thẳng đối cực đối với (C)

b) Tính chất của cực

Nếu một đường thẳng m và một điểm N thuộc nhau thì cực M và đường thẳng đối cực n của chúng cũng thuộc nhau

Hình 2.27

Hai đường thẳng m, n đi qua cực của nhau gọi là hai đường thẳng liên hợp với nhau đối với đường cong bậc hai (C)

Qua M kẻ hai cát tuyến bất kỳ đến (C)

Lần lượt tìm hai điểm liên hợp với M

đối với (C) trên hai cát tuyến đó

Hình 2.28

Đường thẳng nối hai điểm liên hợp vừa tìm được chính là đường thẳng đối cực

m của điểm M đối với (C)

* Cách 2:

Qua M kẻ hai cát tuyến bất kỳ đến

(C) Hai cát tuyến này cắt (C) tại bốn điểm

phân biệt Bốn điểm này tạo thành một tứ

giác toàn phần Đường thẳng nối hai điểm

chéo của tứ giác toàn phần đó chính là

đường thẳng đối cực m của điểm M đối với (C) Hình 2.29