Bồi dưỡng HSGT6 ƯC-ƯCLN

Hỏi có thể chia số cam và quýt đó cho bao nhiêu em sao cho mỗi em đều đợc phần cam và quýt nh nhau , biết rằng số học sinh đợc chia đó có nhiều hơn 5 em ?... Việc tìm ƯCLN dừng lại... ƯC

Bài giảng3 : c và ƯCLN

A Kiểm tra bài cũ :

1.Thế nào là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau ? Cho ví dụ

2.Có mấy cách tìm ƯCLN của hai số tự nhiên mà em đã học ? Hãy tìm ( 36 ; 60 )

B Bài giảng mới

Bài toán 1 : Gọi d = ( 36 ; 60 ) Giả sử 36 = ad và 60 = bd Hãy tìm ( a ; b)

Bài toán 2 : ( học sinh tự làm vào vở )

a ) Tìm ( 40 ; 72 ) = ?

b ) gọi ( 40 ; 72 ) = d và giả sử 40 = ad và 72 = bd ,hãy tìm ( a ; b)

Kết luận :

( A ; B ) = d  A = ad và B = bd với ( a ; b ) = 1

Hãy vận dụng kết luận trên để giải bài tập sau :

 Bài 1 :

 Biết ớc chung lớn nhất của hai số bằng 4 , số nhỏ bằng 8 thì số lớn bằng bao nhiêu ? Biết rằng số lớn không vợt quá 50

 Biết ớc chung lớn nhất của hai số bằng 16 , số lớn bằng 96 thì số nhỏ bằng bao nhiêu ?

Xem lời giải của câu 1 :

Gọi số lớn là a , số nhỏ là 8 Vì ( a ; 8) = 4 nên ta phải có :

a = 4k , k  N  ( k ; 2) = 1 vậy k là số lẻ ,mà a > 8 cho

8 = 4.2 nên k  3 và k < 13 ta có bảng sau :

Từ bảng trên do a  50 nên ta có đáp số là :

a   12 , 20 , 28 , 36 , 44 

Câu hỏi 1 : 1) Theo em lời giải trên gồm mấy bớc giải chính ?

2) Theo em lời giải trên đã vận dụng kết luận ở chỗ nào ?

Em hãy áp dụng cách làm trên để giải câu 2

 Bài 2 :

 Tìm 2 số p và q biết rằng p + q = 432 và ( p ; q ) = 36

 Tìm 2 số a và b biết rằng a + b = 162 và ( a ; b ) = 18

 Tìm 2 số a và b biết rằng ab = 720 và ( a ; b ) = 6

 Tìm 2 số a và b biết rằng a – b = 48 và ( a ; b ) = 12

Xem lời giải của câu 3 :

Vì ( p ; q) = 36  p = 36 m , m  N với ( m ; n) = 1

q = 36 n , n N

mà p + q = 432 nên 36m + 36n =36.( m + n) = 432

 m + n = 432 : 36 = 12 Do ( m ; n) = 1 nên ta cần phân tích 12

thành tổng của hai số nguyên tố cùng nhau Ta có bảng sau :

Nếu m = 1 và n = 11 thì p = 36.1 =36 và q = 36.11 = 396

Nếu m = 11 và n = 1 thì p = 36.11 = 396 và q = 36 1 = 36

Nếu m = 5 và n = 7 thì p = 36.5 = 180 và q = 36.7 = 252

Nếu m = 7 và n = 5 thì p = 36.7 =252 và q = 36.5 = 180

Đáp số p = 36 ; q =396

p = 396 ; q = 36

p = 180 ; q = 252

p = 252 ; q = 180

câu hỏi : Lời giải có mấy bớc chính ?

Em hãy vận dụng cách làm trên để giải bài tập còn lại

 Bài 3 :

Có 48 quả cam và 18 quả quýt Hỏi có thể chia số cam và quýt đó cho bao nhiêu em sao cho mỗi em đều đợc phần cam và quýt nh nhau , biết rằng số học sinh đợc chia

đó có nhiều hơn 5 em ? Khi đó mỗi em đợc bao nhiêu quả mỗi loại ?

Xem lời giải bài 3:

Gọi số học sinh phải tìm là x bạn , vậy x  N+ và x > 5

Vì số cam và quýt chia đều đợc cho số học sinh nên x phải là ớc chung của 48 và 18 Ta có ƯCLN ( 48;18 ) = 6 nên x  Ư( 6 ) , lại do x > 5 vậy x = 6

Khi đó số cam của một em là 48 : 6 = 8 ; Số quýt của mỗi em là 18 : 6 = 3

Đáp số : 6 học sinh và mỗi học sinh đợc 8 quả cam và 3 quả quýt

câu hỏi : Lời giải có mấy bớc chính ?

Em hãy vận dụng cách làm trên để giải các bài tập sau :

Bài tập t ơng tự :

1 ) Có 693 quyển sách , 99 quyển vở và 1287 bút chì Số quà trên có thể đem

chia cho nhiều nhất bao nhiêu học sinh nghèo vợt khó để số sách , vở , bút chì của mỗi bạn là nh nhau ?

2 ) Có 3 khối lớp 6 , 7 , 8 theo thứ tự có 300 , 276 , 252 học sinh cùng xếp

hàng dọc để diễu hành sao cho số hàng dọc của mỗi khối là nh nhau Có thể xếp nhiều nhất thành mấy hàng dọc sao cho để mỗi khối không có ai bị lẻ hàng ? Khi đó mỗi khối có bao nhiêu hàng ngang ?

3) Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng , mỗi hàng 20 ngời , hoặc 25 ngời , hoặc

30 ngời đều thừa 15 ngời còn nếu xếp mỗi hàng 41 ngời thì vừa đủ không có hàng nào thiếu hoặc thừa ngời Hỏi đơn vị bộ đội đó có bao nhiêu ngời ? biết rằng đơn vị

đó có cha đến 1000 ngời

 Bài 4 : Tìm số tự nhiên x và y biết ( 2x + 1 )( y – 3 ) = 10

Xem lời giải bài 4:

Từ đề bài ta thấy 2x + 1 và y – 3 đều là các ớc của 10 Vì x là các số tự nhiên nên 2x + 1 là số tự nhiên lẻ Lại vì 10 là số tự nhiên nên y – 3 phải là số tự nhiên , nên y > 3

Vậy cần phân tích số 10 thành tích của hai thừa số trong đó có một thừa số

lẻ là : 10 = 1.10 = 10.1 = 2.5 = 5.2 Từ đó :

 2x + 1 = 1 và y – 3 = 10  x = 0 và y = 13

 2x + 1 = 5 và y – 3 = 2  x = 2 và y = 5

Đáp số : có hai đáp số là ( x = 0 và y = 13 ) ; ( x = 2 và y = 5 )

Câu hỏi :

1) Tại sao khi phân tích số 10 ta đợc 4 trờng hợp mà chỉ xét có hai ?

2) Lời giải của bài tập trên bao gồm mấy bớc chính ?

Em hãy vận dụng cách làm trên để giải bài tập sau

Bài tập t ơng tự : Tìm số tự nhiên x và y biết rằng :

a ) ( 3x – 2 )( 2y – 3 ) = 1

b ) ( x + 1 )( 2y – 1 ) = 12

c ) x – 3 = y ( x + 2 )

d ) x + 6 = y( x – 1 )

e ) ( 3x + 1 )( 2y – 1 ) = 28

 Bài 5 : Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 37 cho a thì d 2 và khi chia 58 cho a

cũng d 2

Xem lời giải bài 5:

Vì chia 37 cho a d 2 nên ta viết đợc : 37 = a.n + 2 và 2 < a < 37

Vì chia 58 cho a d 2 nên ta viết đợc : 58 = a.m + 2 và 2 < a < 58

Suy ra 37 – 2 = a.n hay 35 = a.n vậy a là ớc của 35

58 – 2 = a.m hay 56 = a.m vậy a là ớc của 56

Vậy a  ƯC ( 35 ; 56 )

Ta cã 35 = 5.7 ; 56 = 23 7  ¦CLN ( 35 , 56 ) = 7  a lµ íc cña 7 , nªn a

lµ 7 hoÆc 1 thö l¹i chØ cã sè 7 lµ hîp lý VËy a = 7

§¸p sè : a = 7

Bµi tËp t ¬ng tù :

1 T×m sè tù nhiªn a biÕt r»ng 398 chia cho a th× d 38 cßn 450 chia cho a th× d

18

 Bµi 6: ( Dùng thuật toán Ơclit để tìm ƯCLL )

Tìm ƯCLN (1575, 343)

Giải : Cách 1 : ( Dùng quy tắc )

Ta có : 1575 5 343 7

315 5 49 7

63 3 7 7

21 3 1 Vậy ( 1575 ; 343 ) = 7

7 7 1

1575 = 32.52.7 343 = 73

Cách 2 : Áp dụng tính chất a = bq + r thì ƯCLN ( a ; b ) = ƯCLN ( b ; r )

Ta có: 1575 = 343 4 + 203

343 = 203 1 + 140

203 = 140 1 + 63

140 = 63 2 + 14

63 = 14.4 + 7

14 = 7.2 + 0 chia hết nên WCLN ( 14 ; 7 ) = 7

Vậy: Hãy tìm ƯCLN (1575, 343) = 7

Trong thực hành người ta đặt phép chia đó theo sơ đồ như sau gọi là

thuật toán ƠClit:

Số dư cuối cùng khác 0 của dãy chia này là ƯCLN ( 1575 ; 343 )

Đáp số : ƯCLN (1575, 343) = 7

Giới thiệu thuật toán Ơclit:

Để tìm ƯCLN(a, b) ta thực hiện như sau:

- Chia a cho b có số dư là r

+ Nếu r = 0 thì ƯCLN(a, b) = b Việc tìm ƯCLN dừng lại.

+ Nếu r > 0, ta chia tiếp b cho r, được số dư r 1

1575 343

343 203 4

203 140 1

140 63 1

63 14 2

14 7 4

0 2

- Nếu r 1 > 0 thỡ ta thực hiện phộp chia r cho r 1 và lập lại quỏ trỡnh như trờn ƯCLN(a, b) là số dư khỏc 0 nhỏ nhất trong dóy phộp chia núi trờn.

Em hãy vận dụng cách làm trên để giải bài sau

Bài tậptương tự : Tỡm bằng thuật toỏn Ơclit

a) ƯCLN(7092, 306)

b) ƯCLN(3618, 214)

c) ƯCLN(6756, 2463)

d)Cho a = 123456789 ; b = 987654321 Tìm ƯCLN (a, b)

Bài 7 : Bổ xung kiến thức

Cho a , b ∈ N thì k.ƯCLN( a,b) = ƯCLN( ka, kb) Từ đó nếu a = km và b = kn thì khi đó ƯCLN( a ,b) = k.ƯCLN( m , n)

 Bài 7 : Tìm ƯCLN của các biểu thức chứa chữ

Ví dụ : Tìm ƯCLN của 2n – 1 và 9n + 4 (n∊N)

Giải :

Gọi d là ớc chung của 2n – 1 và 9n + 4  2n – 1 ⋮ d và 9n + 4 ⋮ d

⇒ 2(9n + 4) – 9(2n – 1)⋮d hay 18n + 8 – 18n + 9 = 17⋮d ⇒ d ∊ {1; 17} Nếu d = 17 thì ta có :

2n – 1⋮17 ⇔ 2n – 1 – 17 = 2n – 18⋮17 ⇔ 2(n – 9)⋮17 ⇔ n – 9⋮17 vì ( 2 ; 17) = 1 Vậy n – 9 = 17k , ( k ∈ N ) ⇔ n = 17k + 9 , ( k ∊ N ) Thử lại :

Với n = 17k + 9 thì 2n – 1 ⋮17 và 9n + 4 = 9(17k + 9 ) + 4 = 9.17k + 85 ⋮17

Do đó ƯCLN (2n – 1; 9n + 4) = 17

Nếu n ≠ 17k + 9 thì 2n – 1 không chia hết cho 17

Do đó ƯCLN (2n – 1; 9n + 4) = 1

Đáp số : ƯCLN (2n – 1; 9n +4) = 17 khi n = 17k + 9 ( k ∈ N )

ƯCLN (2n – 1; 9n + 4) = 1 khi n ≠ 17k + 9 ( k ∈ N )

Bổ xung kiến thức mới

1.cách mới tìm UCLN của hai hay nhiều số tự nhiên

Cho hai số tự nhiên a và b nếu a = km , b = kn thì ( a , b) = k( m , n)

áp dụng : Tìm UCLN( 198 , 180 ) Ta thấy 198 : 18 = 11 và 180 : 18 = 10 , mà UCLN ( 11 , 10) = 1 nên UCLN (198 , 180) = 18.1 = 18

Chú ý: tính chất này còn dùng trong chứng minh chia hết là :

Nếu a ⋮ k và ( a,b) ⋮ k thì b ⋮ k

2.Số ớc số của một số tự nhiên

Cho số tự nhiên M nếu M phân tích thành tích các thừa số nguyên tố là :

M = ax.by cz , với a,b, , c là các số nguyên tố khác nhau và x , y , , z ∈ Z+ , thì số ớc số của M bằng ( x + 1)( y + 1) ( z + 1)

Ví dụ : 360 = 23.32.5 nên số ớc số của 360 là (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4.3.2 = 24

Bài tập về nhà

Bài 1 : Tìm UCLN của :

a ) 52 và 72 , b ) 50 ; 125 và 80 , c ) 68 và 116 , d ) 432 ; 504 và 720 e) 144 ; 120 và 135 , f ) 24 ; 80 và 56 , g ) 1980 và 2100

Bài 5 : Khi chia các số 662 và 787 cho cùng một số tự nhiên thì đợc số d thứ tự là

11 và10 Hỏi đã chia 662 và 787 cho cùng số tự nhiên nào ?

Bài 6: Tìm số tự nhiên a biết rằng 398 chia cho a thì d 38 còn 450 chia cho a thì

d 18

Bài 7 : Tìm số tự nhiên a biết rằng 350 chia cho a thì d 14 còn 320 chia cho a thì d

26

Bài 8 : Có 100 quyển vở và 90 bút chì đem thởng đều cho một số HSG Thởng xong

còn thừa 4 quyển vở và 18 but chì không đủ chia đều

Tính số HSG đợc thởng và khi đó mỗi bạn đợc thởng bao nhiêu vở và bút chì ?

Bài 9 : Ước chung lớn nhất của 2 số là 16 , số lớn bằng 96 , Hãy tìm số nhỏ ?

Bài 10 : Tìm 2 số biết hiệu của chúng là 48 và ƯCLN của chúng bằng 12

Bài 11:Tìm 2 số tự niên nhỏ hơn 200 biết hiệu của chúng là 90 và ƯCLN của chúng

bằng 15

Bài 12 : Tìm hai số tự nhiên a và b biết :

1 ) ab = 8748 và ( a , b ) = 27

2 ) ab = 720 và ( a , b ) = 6

3 ) a + b = 162 và ( a , b ) = 18

4 ) ( 2a + 1 )( b – 2 ) = 15

Bài 13 : Tìm số tự nhiên a biết rằng 264 chia cho a thì d 24 còn 363 chia cho a thì

d 43

Bài 14: Khi chia 662 và 787 cho cùng một số tự nhiên x thì đợc số d thứ tự là 11 và

10 Hãy tìm số tự nhiên x đó

Bài 15: Một trờng có 1015 học sinh , cần phải xếp vào mỗi hàng bao nhiêu học sinh

để số H/s mỗi hàng là nh nhau và không quá 40 hàng và cũng không ít hơn 10

hàng ?

Bài 16 : Tuổi của ông Thái là một số có 2 chữ số và là ớc chung của 5766 và 5394

Hỏi ông Thái bao nhiêu tuổi ?

Bài 17: Gọi d là ớc chung của a và b chứng minh d cũng là ớc chung của :

1 ) a + b và b ; a và a + b

2 ) a – b và b a > b ; a – b và a

3 ) a + b và a – b biết a > b

Bài 18 : Biết số tự nhiên aaa chỉ có 3 ớc số khác 1 Tìm số đó