Sau đây ta làm quen với một thủ thuật mới đó là thêm bớt cùng một số hạng.. Loại 2 : Chứng minh sự chia hết của một tổng có điều kiện Bài 1: Chứng minh rằng a... 7 CMR Toồng cuỷa 5 soỏ c
Trang 1Chuyên đề toán 6 : tính chất chia hết của một tổng
Ngời viết : Tạ Phạm Hải Giáo viên Trờng THCS Thị trấn Hng hà - Thái bình I.Lý thuyết :
Mở rộng a – b ⋮ m với a ≥ b
Mở rộng a – b hoặc b – a cũng không chia hết cho m
Mở rộng B = a – b hoặc b – a chia hết cho m và trong a và b có một
số
chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m
II.Bài tập :
Loại 1 : Chứng minh chia hết của một tổng không có điều kiện
Giải :
Ta thấy = a.111 = a.3.37 37 ; = b.111 = b.3.37 và 74 37 Vậy T 37 đpcm
Bài 2 : Chứng minh rằng tổng N = 20072007 + 20082008 + 20092009 2
Giải :
Ta có 2008 2008 là số chẵn nên chia hết cho 2
20072007 lẻ và 20092009 lẻ nên 20072007 + 20092009 2
Mà N = 20072007 + 20082008 + 20092009 = 20082008 + ( 20072007 + 20092009 ) là tổng của hai số chia hết cho 2 nên N chia hết cho 2 đpcm
• Hãy nhận xét về cách giải loại bài tập trên
• Giải các bài tập sau : Chứng minh rằng :
1) 11 ; 3 ) 552 + 5552 + 55552 + 555552 10
Trang 27) Chøng minh r»ng tỉng cđa 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp th× chia hÕt cho 3 , nhng tỉng cđa bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp th× kh«ng chia hÕt cho 4
8) Chøng minh r»ng 60n + 45 chia hÕt cho 15 ϵ N nhng kh«ng chia hÕt cho 30 9) Chøng minh sè 23! + 19! – 15! ⋮ 110
10)CMR với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n + 6 không chia hết cho 5
11) CMR: a/ 94260 – 35137chia hết cho 5
b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia hết cho 2 và 5
Bµi 4 : Cho tỉng A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + + 259 + 260
1) Chøng tá A 3 2) Chøng tá A 7 3) Chøng tá A 15
Gi¶i :
a ) A = ( 2 + 22 ) + ( 23 + 24 ) + ( 25 + 26 ) + + ( 259 + 260 )
= 2( 1 + 2 ) + 23( 1 + 2 ) + 25( 1 + 2 ) + + 259( 1 + 2 )
= 2.3 + 23.3 + 25.3 + 27.3 + + 259.3
Tỉng A gåm 30 nhãm nhãm nµo cịng chia hÕt cho 3 nªn A chia hÕt cho 3 ®pcm
b ) A = ( 2 + 22 + 23 ) + ( 24 + 25 + 26 ) + + ( 258 + 259 + 260 )
= 2 ( 1 + 2 + 22) + 24( 1 + 2 + 22) + + 258 ( 1 + 2 + 22 )
= 2.7 + 24.7 + 27.7 + + 258.7
Tỉng A gåm 20 nhãm nhãm nµo cịng chia hÕt cho 7 nªn A chia hÕt cho 7 ®pcm
c ) A = ( 2 + 22 + 23 + 24 ) + ( 25 + 26 + 27 + 28 ) + + ( 257 + 258 + 259 + 260 )
= 2( 1 + 2 + 22 + 23 ) + 25( 1 + 2 + 22 + 23 ) + + 257( 1 + 2 + 22 + 23 )
= 2.15 + 25.15 + + 257.15
Tỉng A gåm 15 nhãm nhãm nµo cịng chia hÕt cho 15 nªn A chia hÕt cho 15 ®pcm
• H·y nhËn xÐt c¸ch gi¶i trªn
• Bµi tËp t¬ng tù :
1) Cho B = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + + 512
a. Chøng tá B 6
b. Chøng tá B 31
c. Chøng tá B 30
2) Cho C = 3 + 32 + 33 + 34 + 35 + + 312
3) Cho D = 4 + 42 + 43 + 44 + 45 + + 424
4) Cho E = 7 + 72 + 73 + 74 + 75 + 76 + 77 + 78
Trang 3Bài 5: Chứng minh rằng 10n + 18n – 1 chia hết cho 27 ( n ∈ N*)
Giảng : Đây là bài tập khó Việc biến đổi 10n + 18n – 1 thành tổng các số hạng cùng chia hết cho 27 không thể dùng cấu tạo số hoặc tách ra thành các bộ phận từ bản thân nó Sau
đây ta làm quen với một thủ thuật mới đó là thêm bớt cùng một số hạng
Giải:
Ta có 10n + 18n – 1 = 10n – 1 – 9n + 27n = ( 10n – 1 ) – 9n + 27n
= 999 9
n
1 2 3 - 9n + 27 = 9.( 111 1
n
1 2 3 - n) + 27n Vì Số 111 1
n
1 2 3 và tổng các chữ số của nó (bằng n) có cùng số d trong phép chia cho 3 nên hiệu của chúng chia hết cho 3, nghĩa là :
11 1 – n chia hết cho 3, do đó 9(11 1 – n) chia hết cho 27
n số 1 n số 1
Vậy 9(111 1
n
1 2 3 – n) + 27n chia hết cho 27 Hay 10n + 18n – 1 chia hết cho 27
Loại 2 : Chứng minh sự chia hết của một tổng có điều kiện
Bài 1: Chứng minh rằng
a. Nếu + 37 thì 37
b. Chứng minh rằng nếu thì + 134 ⋮ 67
Giải:
a. Ta có : = 1000 + = 999 + ( + ) , mà 999 = 37.27 nên = 37.27 + ( + ) Vậy nếu + 37 thì
37
b. Ta có + 134 = 100 + +134 = 100.2 + 134 = 201 + 134 ⋮ 67
đúng
• Hãy nhận xét cách giải trên
• Bài tập tơng tự : Chứng minh rằng
1) Nếu + 11 , thì 11
2) Nếu 7 , thì 7
3) Nếu thì chia hết cho 23 và 29
4) Nếu a – b 6 thì a + 5b ; a + 17b ; a – 13b đều chia hết cho 6
Trang 45) Cho 10 k – 1 ⋮ 19 vụựi k > 1 CMR: 102k – 1 ⋮ 19
6) CMR toồng cuỷa ba soỏ tửù nhieõn lieõn tieỏp thỡ chia heỏt cho 3, coứn toồng cuỷa boỏn soỏ tửù nhieõn lieõn tieỏp thỡ khoõng chia heỏt cho 4
7) CMR Toồng cuỷa 5 soỏ chaỳn lieõn tieỏp thỡ chia heỏt cho 10, coứn toồng cuỷa 5 soỏ leừ lieõn tieỏp thỡ khoõng chia heỏt cho 10
Bài 2 : Cho các biểu thức A = a2 + b2 + c2 + d2 và B = a + b + c + d , với a,b,c,d ∈ N Chứng minh rằng nếu A ⋮ 2 thì B cũng chia hết cho 2
Giải : Xét A + B = a2 + a + b2 + b + c2 + c + d2 + d = a(a + 1) + b(b + 1) + c(c + 1) + d( d + 1)
Ta thấy a(a + 1) ; b(b + 1) ; c(c + 1) ; d(d + 1) đều là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên
đều là số chẵn , do đó A + B ⋮ 2 Vậy nếu A ⋮ 2 thì B cũng chia hết cho 2
Bài 3: Cho biết abc chia hết cho 7, chứng minh rằng : 2a + 3b + c chia hết cho 7.
Giảng :
Sử dụng kiến thức về cấu tạo số để phân tích thành tổng của hai số hạng: một
số hạng là bội của 7, số hạng kia là 2a + 3b + c
Giải:
Ta có = 100a + 10b + c = 98a + 2a + 7b + 3b + c = (98a + 7b) + (2a + 3b + c) = 7(14a + b) + (2a + 3b + c)
Mà 7(14a + b) chia hết cho 7 Do đó (2a + 3b +c) chia hết cho 7
Bài 4: Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a,b ∊ N).
Chứng minh rằng 10a + b ⋮13
Giảng :
Đề bài cho biết a + 4b ⋮ 13 và phải chứng minh 10a + b⋮13 Do đó cần nghĩ đến việc
sử dụng giả thiết này bằng cách làm xuất hiện tổng hoặc hiệu của hai số, một số chứa a + 4b, một số chứa 10a + b rồi xét tổng hoặc hiệu của chúng
Để cho gọn đặt a + 4b = X, 10a + b = Y Ta thấy khi xét tổng hoặc hiệu của X và Y thì không thấy xuất hiện bội của 13 Vì vậy có thể nhân X hoặc Y lên một số lần để sao cho khi cộng hay trừ hai biểu thức thì xuất hiện bội của 13
Vì hệ số của a ở X là 1, ở Y là 10 nên có thể nhân X với 10 rồi xét hiệu 10X Y nhằm–
khử a hoặc nhân X với 3 rồi xét tổng 3X + Y, nhằm tạo ra hệ số của a bằng 13
Lời giải :
Đặt a + 4b = X và 10a + b = Y , thì theo đề bài ta có X ⋮ 13
Khi đó xét : 10X – Y = 10( a + 4b ) – ( 10a + b) = 10a + 40b – 10a – b = 39b
⋮ 13
Do X ⋮ 13 nên Y ⋮ 13 hay 10a + b ⋮ 13 ( đpcm )
Tuy nhiên ta có các cách khác nh sau :
Cách 2 :
Từ đề bài ta có X⋮13 nên 3X⋮13
Xét 3X + Y = 3(a + 4b) + (10a + b) = 13a + 13b ⋮ 13
Nh vậy 3X + Y ⋮13 mà X⋮13 ⇒ Y⋮13 hay 10a + b ⋮13 ( đpcm)
Trang 5Cách 3 :
Xét X + 9Y = a + 4b + 9(10a + b) = 91a + 13b ( vì 91 ⋮ 13 )
Ta đợc : X + 9Y⋮13 mà X⋮13 ⇒ 9Y⋮13 mà (9 ; 13) = 1 nên Y⋮13 hay 10a + b ⋮13
Cách 4:
Xét 4Y – X = 4(10a + b) – (a + 4b) = 39a ⋮ 13
Nh vậy 4Y – X ⋮13 mà X⋮13 ⇒ 4Y⋮13
Do (4 ; 13) = 1 nên Y⋮13 hay 10a + b⋮13
Bài tập : Cho biết 3a + 2b chia hết cho 17 (a,b N),∊
chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 17
Bài 5: Cho một số chia hết cho 7 gồm 6 chữ số Chứng minh rằng nếu chuyển chữ số tận
cùng lên đầu tiên ta vẫn đợc số chia hết cho 7
Giải:
Gọi số chia hết cho 7 gồm 6 chữ số là: X = abcdeg
Nếu chuyển chữ số tận cùng lên đầu tiên ta đợc số: Y = gabcde
Đặt abcde = n thì X = 10n + g, Y = 100000g + n
Ta có: 10Y – X = 10(100000g +n) – (10n + g)
= 1000000g + 10n – 10n – g = 999999g 7⋮
Mà 10 Y – X chia hết cho 7, X chia hết cho 7 nên 10Y 7 ⋮
Mà 10 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau nên Y 7 hay abcdeg 7 ( đpcm )⋮ ⋮
Bài 6 : Cho a và b là các chữ số , chứng minh rằng nếu 6a + 11b 31 thì 31
Lời giải 1:
Ta có 31 ⇔ 6 31 hay 6.( 100b + a ) = 600b + 6a = 589b + 11b + 6a Vậy 6 = 589b + 11b + 6a = 19.31.b + ( 6a + 11b)
Ta có 19.31b 31 và 6a + 11b 31 nên 6 31 do ( 6 ; 31) = 1 nên 31 đpcm
Lời giải 2 :
Vì 6a + 11b ⋮ 31 nên 5(6a + 11b) ⋮ 31 Xét tổng 5( 6a + 11b) + = 30a + 55b + 100b + a = 31a + 155b = 31a + 31.5b ⋮ 31 vậy ⋮ 31 ( đpcm )
Loại 3 : Tìm số nguyên hoặc tìm chữ số để chia hết
Bài 1: Tìm chữ số a, biết rằng 20a20a20a 7⋮
Giải :
hạng : trong đó có một số hạng là bội của 7 ; số hạng còn lại ở dạng đơn giản nhất có thể
đ-ợc dùng để suy luận tìm ra a
Ta có 20a20a20a = 20a20a.1000 + 20a
= (20a.1000 + 20a).1000 + 20a
Trang 6= 1001.20a.1000 + 20a
= 7.143.20a.1000 + 20a 7⋮
Do 7.143.20a.1000 7⋮ ⇒20a 7⋮
Mà 20a = 200 + a = 196 + 4 + a = 196 + (4 + a) 7⋮
Vì 196 7 ⋮ ⇒ 4 + a 7 Vì a là chữ số ⋮ ⇒ a = 3 Ta đợc số 203203203 7⋮
Đáp số a = 3
Ta cần suy nghĩ rằng số hạng thứ 2 tách ra để suy luận là còn có thể đơn giản hơn nữa đợc không để có cách giải khác
Bài 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số , sao cho nếu viết số đó tiếp vào bên phải số 2003 thì ta
đợc một số chia hết cho 37
Giải : Gọi số phải tìm là Ta có ⋮ 37 200300 + ⋮ 37 hay 5413.37 + 19 + ⋮
37 Từ đó 19 + ⋮ 37 mà 10 99 nên ϵ { 18 ; 55 ; 92 }
Bài tập : Tìm số tự nhiên có hai chữ số , sao cho nếu viết số đó tiếp vào bên phải số 1999
thì ta đợc một số chia hết cho 37
Bài 3: Tìm số tự nhiên n để n + 4 n
Giải :
Điều kiện : n > 0 Ta có n n n ≠ 0 nên n + 4 n ⟺ 4 n ⟺ n ϵ Ư( 4) = { 1 ; 2 ; 4 }
Bài 4: Tìm số tự nhiên n để n2 + 5n + 9 n + 3
Giải : Vì n ϵ N nên n + 3 ≥ 3 Ta có n2 + 5n + 9 = n2 + 3n + 2n + 6 +3 = n( n + 3) + 2( n + 3) + 3
Vậy n2 + 5n + 9 n + 3 ⟺ 3 n + 3 ⟺ n + 3 ϵ Ư( 3 ) mà n + 3 ≥ 3 nên :
n + 3 = 3 Vậy n = 0 Đáp số : n = 0
Bài 5 : Tìm số tự nhiên n để 2n + 3 ⋮ n – 1
Giải :
Điều kiện : n ≠ 1
Vì n ∈ N nên n – 1 ≥ – 1 Ta có 2n + 3 = 2n – 2 + 5 = 2( n – 1) + 5 ⋮ n – 1 Vậy n – 1 là ớc của 5 , mà n – 1 ≥ – 1 nên n – 1 ∈ { 1 ; 5 }
Nếu n – 1 = - 1 thì n = 0
Nếu n – 1 = 1 thì n = 2
Nếu n – 1 = 5 thì n = 6
Đáp số : n ∈ { 0 ; 2 ; 6 }
Bài tập tơng tự : Tìm số tự nhiên n để :
Trang 71) 3n + 7 n + 1 ; n + 6 n + 2
2) n2 + 3n – 5 n – 2 ; n2 + 9n + 20 n + 2 ; n + 5 n – 2