Boi duong dai 9.

Với A là một biểu thức đại số, ngời ta gọi là căn thức bậc hai của A, còn A đ-ợc gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn.. Dạng 2: Tìm x để mỗi căn thức bậc hai có nghĩa Tìm x

- HS nắm vững định nghĩa căn bậc hai số học, cách so sánh các căn bậc hai

số học, hằng đẳng thức A 2 = A , điều kiện để căn thức bậc hai có nghĩa.

- Rèn luyện cho HS các kĩ năng suy nghĩ, trình bày, diễn đạt các dạng toán

- Giáo dục tính cẩn thận, tính linh hoạt, sáng tạo cho HS

B Chuẩn bị:

- GV: + Giáo án

+ Bảng phụ

- HS: Ôn tập về định nghĩa căn bậc hai số học, cách so sánh các căn bậc hai

số học, hằng đẳng thức A 2 = A , điều kiện để căn thức bậc hai có nghĩa.

Với A là một biểu thức đại số, ngời ta gọi là căn thức bậc hai của A, còn A

đ-ợc gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn

8 Điều kiện để có nghĩa (hay xác định)

có nghĩa (hay xác định) khi A lấy gía trị không âm

H ớng dẫn

Cách 1: Biến đổi vế trái

Cách 2: Biến đổi vế phải

Cách 3: Bình phơng hai vế

Chứng minh 10 + 60 + 24 + 40 = 5 + 3 + 2

H ớng dẫn

Cách 1: Biến đổi vế trái

Cách 2: Bình phơng hai vế

Tính A =

5 2 6 4 13 4 29

5 4 9 4 17 2 2

− +

h) 7 + 4 3 = 2 3

3 4 7 10

48 − + = 48 − 10(2 + 3) = 5 - 3

3 4 7 10 48 5 3

Khoanh tròn vào chữ cái đứng trớc câu trả lời đúng

Giá trị của biểu thức 5 3 + 5 48 − 10 7 + 4 3 bằng:

H ớng dẫn

Híng dÉn

C¸ch 1:A = 2{( 2 + 5) + }2

2 2

C¸ch 2: 2A = (2 2 + 3 + 2 5)2

§¸p sè: A = 2 + 5 +

2 3

Thùc hiÖn phÐp tÝnh : 13 − 100 − 53 + 4 90

Híng dÉn

90 4 53 100

2 + + 14 − 5 3 =

2

3 5 14 3 2 (

=

2

3 10 28 3

2001 2002

( 2002

2001 2002

2001 2001

2 2002

2 2

1 1 1

3

1 2

1 1 2

1 1

1 1 1

) 1 (

1

+ + + + + + + + + +

=

>

− +

+

− + +

n n

B n

n n

n n

Híng dÉn

( + + + ) (− + + + )= →

=

−

− +

− + + + +

( 2

2 2 2 2

2

y x y x y

x y x

y x y x xy y x y x y

x

* Cho x, y, z > 0; xy + xz + yz = 1 Tính

2

2 2 2

2 2 2

2 2

1

) 1 )(

1 ( 1

) 1 )(

1 ( 1

) 1 ( ) 1

(

z

y x z

y

z x y x

z y x

+

+ + +

+

+ + +

+

+ +

1 )

(

1 )

1 1 1 1 1 1 0 1 1 1

2

Q z y x

z y x z y x yz

xz xy xyz

z y

x

∈ + +

=

Α

→

+ +

→

= +

+

→

* Tìm [m; n] (m < n) để :

3 2 4 7 2 3 2 8 19 2 )

Hớng dẫn

2 3 2 4 3 2 ) 2 3 2 ( ) 4 3 2

(

)

− + +

− +

=

− + +

− +

=

2

13

;2

1

;2

12

33

22

6

2

13

;2

12

2

136

32

2

n m x

x x

x x

vậynếu

nếu

nếu

* Cho xy ≥ 0 TÝnh Β =  xy+x+ y − x+  xy −x− y − y

2 2 2

Híng dÉn

(x y)

y x xy y

x xy B

− +

+

−

− +

− + +

1 2

1

0

; 2

1 2

1

2 2

1 2

2

1

2 2

2 2

y x y

x y x y

x

y x y

x y x y

x

y x y xy x

xy y

x

nÕu nÕu

= 0

2 2 2

2

0 2 2 2

2  − −  ≥ ⇒ Β = + + + − − − + =



xy y x xy y

x xy y x

2

2 b a

a− −

Híng dÉn

Dạng 2: Tìm x để mỗi căn thức bậc hai có nghĩa

Tìm x để mỗi biểu thức sau có nghĩa

Điều kiện để một biểu thức có nghĩa là mẫu thức khác không và biểu thức lấy căn bậchai không âm.

Đáp số:

A có nghĩa khi và chỉ khi x ≥ 0, 5

B có nghĩa khi và chỉ khi x ≥ - 1, 5

C có nghĩa khi và chỉ khi 0, 6 ≥ x

D có nghĩa khi và chỉ khi 1, 75 ≥ x

E có nghĩa khi và chỉ khi x ∈ R

G có nghĩa khi và chỉ khi x ∈ R

H có nghĩa khi và chỉ khi x ∈ R

I có nghĩa khi và chỉ khi x ∈ R

K có nghĩa khi và chỉ khi 3 ≥ x ≥ - 3

L có nghĩa khi và chỉ khi x ≥ 3 hoặc 2 ≥ x

M có nghĩa khi và chỉ khi 3 ≥ x hoặc x ≥ 4

N có nghĩa khi và chỉ khi x ∈ ∅

P có nghĩa khi và chỉ khi x > 2

Q có nghĩa khi và chỉ khi x ∈ ∅

R có nghĩa khi và chỉ khi x > 2

S có nghĩa khi và chỉ khi x > -

T có nghĩa khi và chỉ khi x ≥ 2 hoặc – 1 ≥ x

U có nghĩa khi và chỉ khi 1 ≥ x ≥ - 1 / 7 và x khác 0

V có nghĩa khi và chỉ khi x ≥ 2; x khác 2 hoặc - 3 ≥ x và x khác - 2

x

H ớng dẫn

a) Đa về phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối

b) Đa về phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối

c) Đa về phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối

d) Đa về phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối

e) Đa về phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối

f) Đa về phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối S = {1 ; 2 }x∈[ ]2 ; 7

g) Đánh giá gía trị 2 vế ta có → S = Φ

h) §a vÒ ph¬ng tr×nh cã vÕ tr¸i lµ tæng c¸c b×nh ph¬ng, vÕ ph¶i b»ng 0

a) 9 − 12x+ 4x2 = 4 ⇔ ( 3 − 2x) 2 = 4

⇔ 3 − 2x = 4 ( 0, 5®)

⇔3 –2x = 4 hoÆc 3 – 2x = - 4

⇔ x = - 1/2 hoÆc x = 7/2b/ 3x2 − 18 + 28+ 4x2 − 24x+ 45 = - 5 –x2+6x

NghiÖm cña pt lµ: x = 3

c/

3

3 2

2

+

− +

x

x

x

= x - 1 ⇔

3

) 3 )(

= x - 1 ⇔ x− 1 = x - 1 ( V× x+ 3 ≠ 0 do x ≥ 1

b) x+ 2 x− 1 + x− 2 x− 1 = 1

H íng dÉn

1

S

Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: x2 − 4x+ 4= 7 + 4 3 25 −x2 - 10 −x2 = 3

H íng dÉn

* Giải phơng trình : x2 − 16x+ 64 + x2 = 10

H ớng dẫn

1 1

1 )

2 1 2

1 1 2

1 )

=

−

+

− +

−

=

−

− +

− +

x

x x

x b

x x x

x a

H ớng dẫn

a) Tìm ĐKXĐ : x≥1

- Biến đổi đa về phơng trình dạng: ( x− 1 + 1 )2 + ( x− 1 − 1 )2 = 2

- Biến đổi tơng đơng đa phơng trình về : x− 1 + 1 + x− 1 − 1 = 2

- áp dụng BĐT giá trị tuyệt đối: a +b ≥a+b

Ta có x− 1 + 1 + x− 1 − 1 = x− 1 + 1 +1 − x− 1 ≥ 2

- Chỉ ra dấu = xảy ra  ( x− 1 + 1)( 1 − x− 1 ) ≥ 0

* Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: x+ 2 + 2 x+ 1 + x+ 2 − 2 x+ 1 = 2

H íng dÉn

1

1 + +

12

4x2 − x+ =x−

§a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 2x− 3 =x− 1

Gi¶i ph¬ng tr×nh trong 2 trêng hîp

KÕt luËn nghiÖm cña ph¬ng tr×nh

=> x= 2 2

* Tìm các số a;b;c biết: a+b+c− 2 ( a+ 2 b− 1 + 3 c− 2 ) + 11 = 0

H ớng dẫn

0 2 1

0 1

c b

30 >

Bất đẳng thức nào đúng

H ớng dẫn

Điều giả sử luôn luôn đúng

Vậy a+ 9 + a > a+ 7 + a+ 1 với a>7

B =

x x x

x x x x x

x

x x

x

2

2 2

2

2 2 2

2

− +

1 2

1 1

−

=

− +

−

a

c a

c a

c b c b

c a

c a

c a c ab

c b c c

Chøng minh 20052006 + 20062005> 2005 + 2006

2005

2006 2006

(*) 2006 2005

2006

1 2005

1 2005 2006

2006 2005

2005

1 2005

2005 2006

1 2006

2006

+

>

− +

8

) ( 2

2

−

<

− + víi a > b > 0.

Ta cã a+b− ab

2

) (

2

b

a+ − = − CÇn chøng minh

b

b a b

a

8

) ( 2

) ( − 2 < − 2 (1)

2 ) (

4

) ( ) (

2

b a b b

a b a

, ) (

0

2 0

2

2

2

b a

ab b

a b

a b

O

CA

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = x + 2 −x

17 − <

3

23 2

17 − <

3

16 2

y x;

x x

>

− + +

2

2

2 2

2

a a a a a

a a

−

=

0 1 3

0

3 a a

p

pq p q

p q

p − = − ∈z → p3q

mà (p; q) = 1 → p = 1 từ đó x = p ∈ Z

* Tìm x∈ Q để x2 −x∈ Q

p q

p

( )

2

2 2 2 2

2

t q p

2

t t

2

−

a a

Vậy để x2 −x∈ Q thì x =

1 2

2

−

a a

- Rèn luyện cho HS các kĩ năng suy nghĩ, trình bày, diễn đạt các dạng toán

- Giáo dục tính cẩn thận, tính linh hoạt, sáng tạo cho HS

B Chuẩn bị:

- GV: + Giáo án

+ Bảng phụ

- HS: Ôn tập về liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phơng, quitắc khai phơng một tích, qui tắc nhân các căn bậc hai, qui tắc khai phơng một thơng,qui tắc chia hai căn thức bậc hai.

* Chú ý: + Định lí trên có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm

+ Với hai biểu thức A và B không âm ta có =

Đặc biệt, với biểu thức A không âm ta có ()2 = 2

c Qui tắc chia hai căn thức bậc hai

Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dơng, ta có thểchia số a cho số b rồi khai phơng kết quả đó

d Chú ý: Với biểu thức A không âm và biểu thức B dơng, ta có A

C¸ch 3: Sö dông CT c¨n thøc phøc t¹p (2 chiÒu)C¸ch 4: Sö dông A = {A}

3 2

+ +

+

+

3 2 4 2

3 2

−

−

−

B= 12 + 23 - 12 − 23 - 2

Híng dÉn

) 1 3

3 2

3 2

+

+

) 3 ( 3

) 3 3 ( 3 2 ( ) 3 3

− +

3 2 3 2

−

− +

− +

3 2 3 2

3 2 3 2

− + +

−

−

H íng dÉn

A =

3 2 3 2

3 2 3 2

−

− +

− +

3 2 3 2

3 2 3 2

− + +

−

− +

A 1 - 3 2; B 2 3; C 3 2; D 2 3 + 1.

C 3 2;

§¬n gi¶n: A = 2+ 3 2+ 2+ 3 2+ 2+ 2+ 3 2− 2+ 2+ 3 .

H íng dÉn

Nh©n tõ ph¶i qua tr¸i

§¸p sè: A = 1

Chøng minh sè a = 2( 3 1) 2+ − 3 lµ mét sè h÷u tØ.

sè b = ( 6+ 2 ( 3 2)) − 3 2+ lµ mét sè h÷u tØ.

H íng dÉn

C¸ch 1: §a thõa sè vµo trong dÊu c¨n lµm xuÊt hiÖn b×nh ph¬ng

C¸ch 2: TÝnh A2 råi suy ra A = - 2

C¸ch 3: Sö dông c«ng thøc c¨n thøc phøc t¹p

TÝnh : A = 3 − 5 ( 10 − 2 ( 3 + 5 )

H íng dÉn

C¸ch 1: §a thõa sè vµo trong dÊu c¨n lµm xuÊt hiÖn b×nh ph¬ng

H íng dÉn

c b a c b a k VT k c b a

c b a c

c b

b a

+ +

+ +

= + +

>

−

= + +

+ +

} {

C2: ¸p dông B, C, S ®/v ( a; b; c) vµ ( a' ; b'; c'

(§©y lµ TH x¶y ra dÊu b»ng)

* Cho: S = x 1 +y2 +y 1 +x2 TÝnh gi¸ trÞ cña S biÕt xy + ( 1 +x) 2 ( 1 +y2 ) =a

Híng dÉn

=

+ + +

+ +

=

−

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 ) 1(

1(

2

) 1 )(

1(

2 2

1

y x y x y y x S

y x xy y x y x a

3

§S: 2 2001> 1998 + 2004

So s¸nh: 2 2007vµ 2005 + 2009

Hớng dẫn

áp dụng bất đẳng thức Cô si

Cho A=

1 2

1 2

+

− +

2 3

2 3

+

− + –.+

24 25

24 25

+

− Chứng minh rằng A < 0,4

1 2

1 1

1

+

−

≤ + +

− +

n n n

n

n n

1

-

3 2

1

+ ….+

24 2

1

-

25 2

Biến đổi đồng nhất đợc:

b.Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị x tơng ứng

c.Với giá trị nào của x thì y ≥4

A Mục tiêu:

- HS nắm vững các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai: Đathừa số ra ngoài dấu căn, đa thừa số vào trong dấu căn, khử mẫu của biểu thức lấycăn, trục căn thức ở mẫu

- Rèn luyện cho HS các kĩ năng suy nghĩ, trình bày, diễn đạt các dạng toán

- Giáo dục tính cẩn thận, tính linh hoạt, sáng tạo cho HS

C tiến trình dạy học:

I Lí thuyết :

(GV nêu từng câu hỏi, HS lần lợt trả lời, HS nhận xét, bổ sung, GV uốn nắn, củng cố

và hệ thống lại kiến thức)

a Đ a thừa số ra ngoài dấu căn Với a ≥ 0; b ≥ 0 ta có : = a

* Tổng quát: Với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0, ta có = A

c Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Với các biểu thức A, B mà A.B ≥ 0 và B ≠ 0 thì A

Đối với mỗi bài tập, dạng mới thì GV chữa mẫu, nếu không, HS làm tại chỗ, (nếu bàinào không có HS nào làm đợc thì GV gợi ý dần cho HS suy nghĩ), HS khác nhận xét,

bổ sung, sau đó GV chữa bài, chốt cách làm

b) Cách 1: Trục các căn thức ở các mẫu của các biểu thức dới dấu căn

Cách 2: Nhân cả tử và mẫu của mỗi biểu thức dới căn với 2 rồi sử dụng qui tắc khai phơng một thơng ĐS: B = 4

* Cho a > b > 0 Chứng minh biểu thức sau có gía trị không đổi.

Trục căn thức ở mẫu ta đợc A = − 1993 − 2là số vô tỉ.

1 5

2 5 2 5

−

− +

− + +

H ớng dẫn

Tính TS trớc

* Rút gọn: B =

13

6 2 6

3 2

1 2

1 1

3 2

1 2

1 1

3 2 2 3

1 2

1 1 2

1

+ +

+ +

+ +

1 2

1 1

2006

1

2007 2006 2006

2007 −

Tìm các số nguyên a để B là số nguyên.

Viết B về dạng:

B = 1 + a4−2+ Lý luận để B là số nguyên thì a4−2 phải là số nguyên khi a là số nguyên thì a

không thể là số vô tỉ, do đó a là số nguyên Suy ra a − 2 là ớc nguyên lớn hơn hoặc bằng –2 của 4

Tìm các số nguyên a để M là số nguyên.

Ta có: 1 5 1

+ +

=

a M

Để M là số nguyên thì a5+1 phải là số nguyên

3

1 2

1 1

2 < + + + + <

H ớng dẫn

Ta cã S > 150 + 150 + + 150 = 501 50 = 5 2

MÆt kh¸c cã : 1 =

1 2

2

<

0 1

2

+

1 2

2 2

2

2 2

2 0 1

2

+ + + +

+ +

1 2

+

− +

2 3

2 3

+

− + ….+

24 25

24 25

+

− Chøng minh r»ng A < 0,4

1 2

1 1

1

+

−

≤ +

+

−

+

n n n

1

-

2 2

1

-

3 2

1

+ ….+

24 2

1

-

25 2

Chøng minh r»ng:

2 2006 2007

1

3 4

1 2 3

1 2

1

<

+ + + +

−

=

1 1 1

1 1

1

1 1 1

(

1

k k k

k

k k

k

k k

1 1 2

k k k

k k

k

(0,5đ)Cho k các giá trị từ 1 đến 2007 Ta có :

1 2 3 1

2

1 1

1 2 2 1

1 2 2006 2007 1

2 2007

1 1 2 2004 2005

1

2 4

1 2 3

1 2

phép khai phơng, các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

- Rèn luyện cho HS các kĩ năng suy nghĩ, trình bày, diễn đạt các dạng toán

- Giáo dục tính cẩn thận, tính linh hoạt, sáng tạo cho HS

a Đ a thừa số ra ngoài dấu căn Với a ≥ 0; b ≥ 0 ta có : = a

* Tổng quát: Với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0, ta có = A

c Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Với các biểu thức A, B mà A.B ≥ 0 và B ≠ 0 thì A

bổ sung, sau đó GV chữa bài, chốt cách làm

Khoanh tròn vào chữ cái đứng trớc câu trả lời đúng

Đa thừa số vào trong dấu căn của a b với b ≥ 0 ta đợc

a : a

ab 2 a

+

Híng dÉn

A:1

Rót gän : A =

2 2 4 4

2 2

+

x x

1 (

1

+

+ + +

+

x x x x

x x

E §Æt )

4

7 ( 4

9 4

9 ) 2

1 ( 0

2 −x =y≥ ⇒E= y− 2 + ⇒E MAX = x=

F ¸p dông a+b ≤a +b

b a b

; 2

2

10 + − hoÆc:  − 2+ 

2 10

; 2

2 10

Rót gän: a A = 4b−−16b (b ≥ 0 ;b≠ 16)

b B =

4

4 4

− +

−

a

a a a

6 2 2

Hớng dẫn

Chọn đáp án C

Rút gọn các biểu thức sau: A =

1 2

1

1 2

2 2 3

+ +

) 1 2

+

Rút gọn A = ( 2 + 1) - ( 2 + 1) = 0

x x x x x x

x x x

2

2 2

2

2 2 2

2

− +

2

9 2

3

22 2

− +

−

− +

+

x x

x x

9 ) 2 ( 3

9 6 5

x x

x x

x x x x

− + +

−

− + + +

3 2 3

2 2

3 2

−

−

− + + + +

Hớng dẫn

Qui đồng mẫu rồi cộng

* So sánh: A =

5 3 2 2

5 3 5

3 2 2

5 3

−

−

− +

+ + +

B =

7 4 2 3

7 4 7

4 2 3

7 4

−

−

− +

+ + +

Hớng dẫn

A = B ( = 2)

* Chứng minh A = 2(6 4( 63))(2 3 ) 2 103 12−3 −1 −2

− +

−

−

− +

−

− +

−

x x x

x x

x x

x x

1 1

2

1

x x x

x x x

Suy ra: 1 < x < 9

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có : n+ 1 - n > 2 n1+1

- Biến đổi

n n

n n

n n

n n

+ +

+ +

− +

=

− +

1

) 1 )(

1 ( 1

1 1

+

>

− +

n n n

3 4

1 2 3

1 2

1

2005 2006

1 <

- Trớc hết chứng minh bổ đề: với k ≥ 1 ta luôn có :

) 1

1 1

.(

2 ).

1 1 (

2 2005 2006

1

3 4

1 2 3

1 2

1 + + + + < − <

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta có:

2 2 1 2

1 1 1 ) 1 (

1 1

= + + +

n n n

2006

1 2005

1 1

3

1 2

1 1 2

1 1

1

2 2

1

1 1 1 ) 1 (

2 1

2 2 1

1 1 1 1

1

1

1

+ + +

= +

− +

− + + + +

n n n n

n n

n

4

1 3

1 1 3

1 2

1 1 2

1 1

1

+ + +

2005 2004

1

+

= ( 3+( 32−( 32)− 2) +

) 3 4 )(

3 4 (

) 3 4 (

− +

−

+ +

2004 2005

(

− +

x x

−

−

3

1 2 2

3 6

5

9 2

1

4 2 : 3 1

2 3

a Rót gän biÓu thøc M.

b TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M khi x = 5977, x = 3 + 2 2.

c Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× M cã gi¸ trÞ nguyªn.

1 1 2

2 1

x x

§K: x≥ 0 ; x≠ 1

P=

2 2

1 1 2

2 1

x x

x

1 1

2 1

1

2

x x

x x

1

1 2

1

x x

x x

− +

−

2

1 1 1

2

x x

x x

x

x x x

1 1

2

≤ +

x x

x

x x

−

+ + +

) 3 ( 2 3 2 3

−

x

x x

x x

3 (

) 1 )(

3 ( ) 3 ( 2

+

−

+ +

x x

x x

+

1

1 1

1 : 1 1

1

1

xy

x xy

x xy xy

x xy xy

x

A y

x

⇒ Max A = 9 ⇔ 1 = 1 = 3 ⇔x=y= 91

y x

* Rót gän: B =

) ( 2

2 2 2

2

y x

y x x y x x

2

1 2 1

2

−

−

− +

− +

−

− +

− +

x x x

x

x x x

2 2

2

x Neu

neux x

* Rót gän A =

x

x x x

1 (

2

2 2

+

+ +

a

c b

Híng dÉn

b2 + 1 = (b + a) (b + c)

+

x

x x

x x

x x

x

1

1 1

1 : 1

1 1 1

C =

2 1

1 1

a

a a

+ +

x y x ỹy xy

y

) (

2 2

1 1

2

5 3

+ +

+

+

5 3 2 2

5 3

7 4

+ +

+

7 4 2 3

7 4

) 5 3 (

2

+ +

+

+

5 2 6 4

) 5 3 ( 2

5 3 5 5

5 3



 + + Tơng tự B = 2 vậy A = B

* Cho a; b > 0 Chứng minh BT sau có giá trị không đổi:

S =

2 2

2 2

2

){(

ba ba

a ba

S = 0

2

(2 2

* TÝnh A = +

+

−

x a

x a

x a

x a

x x

4 4

4 4

+ +

−

x x

x x

4 4

4 4

− +

16

− +

=

2

} {

A =

) 2 ( 2

) 4 ( 2 2

=

) 2 ( 2

) 4 ( 2 4

=

) 2 ( 2

4 ) 4 ( 2

−

− +

−

−

x

x x

x x

=

) 2 ( 2

) 4

−

−

− +

−

− +

x x x

x c

x x

x x

1 (

1 )

3 )(

2 ( 2

3 )

3 )(

2 )(

1 ( 2

6 3 2 3

−

a a a

a a

a a

a ba

a

2 NÕu x - 4>0 ↔ a > 2

- 2 nÕu x - 4 <0 ↔

1<a<2

a a a

+ +

+ +

Với mọi n∈N* , ta có

( 1) 1 1 (( 11))2 2( 11) ( 1) ( +1) 1= 1 − 1+1

+

− +

= +

− +

+

− +

= + +

n n n n n

n n n

n n n n n

n n

1

4

1 3

1 3

1 2

1 2

1 1

1 − + − + − + + − = − =

* Tính A =

2 1 1 2

1 )

10 9

* Tìm x biết cos x =

) 4

1 1 ( 2

) 2

1 1 ( ) 2

1 1 ( 4

1 1

− +

Hớng dẫn

gt - > socx =

20

3 1 2

4

1 1 2

1 1 2

1 1 )(

2

1 1 2

1 1 ( 4

1 1 1

− +

− +

− + +

−

− +

− +

= 2

2 - > x = 45

* Hai căn thức sau có đồng dạng không?

A = 3 2 1 2 3

b a b

a − B = a3 +a2b−ab2 −b3

Hớng dẫn

A = ab(a1−b) a−b; B = (a + b) a−b

Vậy A và B đồng dạng

* Rút gọn: A = 2 2 2 4 4 ( 2 2 ) 2

1 1 1 ) (

1 1

b a b a b a b

+

+ +

Hớng dẫn

1 1 1 ) (

1 1

b a b a b a b

a + + + + + − +

= a b a b =a+b−a+b

+ +

) (

1 1

1

2 2

2

* Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta có:

2 2 1 2

1 1 1 ) 1 (

1 1

= + + +

n n n

2006

1 2005

1 1

3

1 2

1 1 2

1 1

1

1 1 1 ) 1 (

2 1

2 2 1

1 1 1 1

1

1

1

+ + +

= +

− +

− + + + +

n n n n

n n

n

4

1 3

1 1 3

1 2

1 1 2

1 1

1 1

3

1 2

1 1

n

n +

− + + + + +

Hớng dẫn

Sử dụng công thức a b a b =a+b−a+b

+ +

) (

1 1

1

2 2

2

B =

n

n n n

2 3 2 1 1

1 1

4

1 3

1 1 3

1 2

− + + +

− + +

−

Tính P =

2000

1999 2000

1999 1999

2

+