Bồi dưỡng HSGT6 BC-BCNN

Bài giảng 4: BC và BCNNA.. Thởng xong còn thừa lại 4 vở và 18 bút chì không đủ chia đều... Lần đầu cả 3 tàu cùng cập bến vào ngày thứ 6.

Bài giảng 4: BC và BCNN

A Kiểm tra bài cũ : Tìm BCNN ( 24 ; 30 ) , từ đó tìm tập BC( 24; 30 )

Chú ý : Nếu số tự nhiên A chia cho số tự nhiên B ( B ≠ 0 ) đợc thơng là Q và d R

thì ta viết :

A = B.Q + R , ở đó 0 ≤ R < B

* Nếu R = 0 thì A = BQ , ta nói A chia hết cho B hay B chia hết A hoặc cũng nói B là ớc của A hay A là bội của B

* Nếu R ≠ 0 thì A – R = BQ chứng tỏ A – R chia hết cho B

Ví dụ : 2007 chia cho 5 d 2 , vậy 2007 – 2 = 2005 chia hết cho 5

Kết luận 1 : Nếu A là bội của B thì A có dạng A = Bk , k ∈ N

Kết luận 2 : Nếu A chia cho B d R thì A R chia hết cho B–

Bài tập 1 :

 Tìm số tự nhiên A có 3 chữ số biết A chia cho 5 , 7 , 8 đều d 2 và biết rằng A chia hết cho 3

 Số học sinh của một trờng THCS là một số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho 5 , hoặc 6 , hoặc 7 đều d 1 Hỏi trờng đó có bao nhiêu học sinh ?

 Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 400 mà khi chia số đó cho 2 , 3 , 4 , 5 , 6 đều d 1 nhng chia cho 7 thì không d

 Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng , mỗi hàng 20 ngời , hoặc 25 ngời , hoặc

30 ngời thì đều d 15 ngời , nhng nếu xếp mỗi hàng 41 ngời thì vừa đủ ( không

có hàng nào thiếu ngời ,không còn ai ở ngoài hàng ) Hỏi đơn vị đó có bao nhiêu ngời ? Biết rằng đơn vị đó cha đến 1000 ngời

 Tìm số tự nhiên xấp xỉ 1000 , biết số đó chia cho 12 , 18 , 21 đều d 5

 Có 100 quyển vở và 90 bút chì đem thởng đều cho một số học sinh Thởng xong còn thừa lại 4 vở và 18 bút chì không đủ chia đều Tính số học sinh đợc thởng , và mỗi em đợc thởng bao nhiêu vở và bao nhiêu bút chì?

Xem lời giải câu  :

áp dụng kết luận ta có A – 2 chia hết cho 5 , 7, 8 Vậy A – 2 là bội chung của 5 ,

7 , 8 Bội chung nhỏ nhất của 5 , 7 , 8 là 280 Vậy BC ( 5 , 7 , 8 ) = 280.k với k ∈

N Vậy A – 2 = 280.k với k ∈ N Ta có bảng sau

k 1 2 3 4

A – 2 280 560 840 1120

A 282 562 842 1122

Từ bảng trên chỉ có 282 là chia hết cho 3

Vậy đáp số : A = 282

Xem lời giải câu  :

Gọi số phải tìm là A , áp dụng kết luận ta có A – 1 chia hết cho 2 , 3 , 4 , 5 , 6 Vậy A – 1 là bội chung của 2 , 3 , 4 , 5 , 6 Ta có bội chung nhỏ nhất của 2 , 3 , 4 , 5 , 6 bằng 60

Vậy BC( 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) = 60.k với k ∈ N Vậy A – 1 = 60.k với k ∈ N

Ta có bảng sau :

k 1 2 3 4 5 6 7

A –

1 60 120 180 240 300 360 420

A 59 119 179 239 299 359 419

Từ bảng trên chỉ có số 119 là chia hết cho 7 Vậy đáp số là 119

Câu hỏi :

1 Lời giải của câu  và của câu  có gì giống nhau và khác nhau ?

2 Để giải loại bài tập nh trên ta cần ghi nhớ điều gì ?

Hãy áp dụng cách giải trên để làm những câu còn lại

Kết luận 3 :

A = BQ + R thì A + n = BQ + ( R + n ) , nếu R + n ⋮ B thì A + n ⋮ B

B i tập : à Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có chia cho 8 d 6 , chia cho 12 d 10 , chia cho 15

d 13 và chia hết cho 23

Gợi ý :

Gọi A là số cần tìm A = 8n + 6 , A = 12m + 10 , A = 15 x + 13

Suy ra A + 2 chia hết cho 8 , 12 , 15 nên A + 2 là BSC ( 8 , 12 , 15 ) = ?

Kết hợp với A chia hết cho 23 , A nhỏ nhất trong các số có tính chất nh vậy để lập bảng tìm A

Bài tập 2

1 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số , biết rằng khi chia số đó cho 18 ; 30 ; 45

thì có d lần lợt là 8 ; 20 ; 35

2 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có chia cho 8 d 6 , chia cho 12 d 10 , chia cho 15 d 13 và

chia hết cho 23

Giải câu 1

Gọi số phải tìm là A , ta có :

A = 18.n + 8 A + 10 = 18.n + 18 chia hết cho 18

A = 30.m + 20 A + 10 = 30.m + 30 chia hết cho 30

A = 45.k + 35 A + 10 = 45.k + 45 chia hết cho 45

( Với n , m , k là các số tự nhiên )

Vậy A + 10 là bội số chung của 18 , 30 , 45

Mà BCNN ( 18,30,45) = 90 , nên BC ( 18, 30, 45 ) = 90 x , với x ∈ N*

Do đó ta có A + 10 = 90x Vì A là số nhỏ nhất có 3 chữ số nên 1 < x <

3 .Vậy x = 2 ⇒ A + 10 = 180 ⇒ A = 170

Đáp số : Số phải tìm là 170

Gợi ý câu 2 :

Gọi A là số cần tìm A = 8n + 6 , A = 12m + 10 , A = 15 x + 13

Suy ra A + 2 chia hết cho 8 , 12 , 15 nên A + 2 là BSC ( 8 , 12 , 15 ) = ?

Kết hợp với A chia hết cho 23 , A nhỏ nhất trong các số có tính chất nh vậy để lập bảng tìm A

Hãy áp dụng cách giải trên để giải những bài tập sau :

1 Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số biết rằng khi chia số đó cho 4 d 3 , chia cho 5

d 4 , chia cho 6 d 5

2 Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số , sao cho số đó chia cho 30 thì d 7 và chia cho

40 thì d 17

3 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 8 , 10 , 15 , 20 theo thứ tự d 5 , 7 , 12 , 17 và chia

hết cho 41

Bài tập 3 : Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho 131 thì d

112 , chia cho 132 thì d 98

Giải :

Cách 1 : Gọi số phải tìm là B , ta có :

B = 131.n + 112

B = 132.m + 98 ; với n , m ∈ N* ⇒ 132.B = 132.( 131.n + 112 ) = 132.132.n + 14784

131.B = 131.( 132.m + 98 ) = 131.132.m + 12838

⇒ 132.B – 131.B = 131.132.( n – m ) + ( 14784 – 12838 )

B = 131.132.( n – m ) + 1946

Do B chỉ là số có 4 chữ số nên n – m = 0 Vậy B = 1946

Đáp số : Số phải tìm là 1946

Cách 2 : Gọi số cần tìm là B , ta có :

B = 131.n + 112

B = 132.m + 98 ; với n , m ∈ N* ⇒ 131.n + 112 = 132.m + 98 ⇔ 131.n + 14 = 132.m ⇔ 131.n = 132.m – 14

⇔ 131.n = 131.m + ( m – 14 ) ⇒ ( m – 14 ) ⋮ 131 Vậy : m – 14 = 131.k , với k ∈ N* , hay m = 131.k + 14 , với k ∈ N*

Do B = 132.m + 98 nên thay m = 131.k + 14 vào ta đợc :

B = 132.( 131.k + 14 ) + 98 = 132.131.k + 132.14 + 98 Hay : B = 132.131.k + 1946

Do B chỉ là số có 4 chữ số nên k = 0 và B = 1946

Đáp số : Số phải tìm là 1946

Ap dụng cách làm trên để giải các bài tập sau :

1.Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số , biết rằng khi chia số đó cho 11 thì d 5 ; chia

cho 13 thì d 8

2.Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 17 thì d 5 , chia cho 19 thì d 12

3 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 29 thì d 5 , chia cho 31 thì d 28

4 Tìm số tự nhiên có 4 chữ số , biết rằng khi chia số đó cho 8 thì d 7 ; chia cho 125 thì d 4

Bổ xung kiến thức : Cho các số tự nhiên a và b , nếu a = km và b = kn thì khi đó :

BCNN(a,b) = kBCNN(m,n)

Ví dụ : Cho a = 4.15 và b = 4.21 , khi đó BCNN( 60 , 84) = 420 và BCNN( 15 , 21) =

105 rõ ràng 420 = 4.105 , ở đây k = 4

Vậy từ kiến thức trên ta cũng có : nếu a ⋮ k và [ a,b ] ⋮ k thì b ⋮ k

Bài tập về nhà :

1 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho 12 thì d 10 , chia cho 18 thì d 16

và chia cho 27 thì d 25

2 Nếu xếp một số sách vào từng túi 10 cuốn thì vừa hết ,vào từng túi 12 cuốn thì

d 2 cuốn , vào từng túi 18 cuốn thì d 8 cuốn Tìm số sách đó biết rằng số sách đó trong khoảng từ 715 đến 1000 cuốn

3.Ba con tàu cập bến theo lịch nh sau : Tàu 1 cứ 15 ngày cập bến một lần , Tàu 2

cứ 20 ngày cập bến một lần , tàu 3 cứ 12 ngày cập bến một lần Lần đầu cả 3 tàu cùng cập bến vào ngày thứ 6 Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày , cả 3 tàu lại cùng cập bến vào ngày thứ 6 ?

4 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số biết rằng khi chia số đó cho 18 , 30 , 45

thì d lần lợt là 8 , 20 , 35

5 Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số biết rằng khi chia số đó cho 4 thì d 3 , cho

5 thì d 4 , cho 6 thì d 5

6 Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho số đó chia cho 30 thì d 7 và chia

cho 40 thì d 17