Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.. Gọi r là bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp.. Tìm điều kiện của hình chóp để tỉ số R/r đạt giá trị nhỏ nhất.. Tìm giá trị lớn nhất của bán kính
Trang 1Bài 1: Cho x, y thoả mãn điều kiện x2 +y2 −xy= 1 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
3
) 1 ( )
1
(
2 2
2 2 2
2
− +
+ +
+
=
y x
y y x
x
F
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số, trong đó có đúng 3 chữ số lẻ khác nhau, có đúng 3 chữ số chẵn
khác nhau và mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần?
Bài 3: Cho ts giác lồi ABCD, O là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD Gọi A1, B1, C1, D1 lần lợt là trọng tâm và A2, B2, C2, D2 lần lợt là trực tâm của tam giác OAB, OBC, OCD, ODA Chứng minh rằng:
2 2 1 1 2
2
1
A ⊥ ⊥
Bài 4: Cho dãy ( Xn) xác định bởi: {x1 =2005,x2 =2006., ,x n(x n−1 +x n+1)=2x n−1.x n+1 Tìm n x n
∞
→
lim
Bài 5: Cho hình chóp S ABCD có đờng chéo BD chia tứ giác ABCD thành hai tam giác tơng đơng, AB = 1, BC
= CD, SA+SD= 2 và thể tích khối chóp S ABCD bằng
6
1
Chứng minh rằng hình chóp S ABCD có mặt cầu ngoại tiếp Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó
Bài 6: Tìm tất cả hàm f thoả mãn phơng trình hàm: (x−y).f(x+y) − (x+y).f(x−y) = 4xy.(x2 −y2 )
Bài 7: Giả sử a, b, c là các nghiệm của phơng trình: x3 −x− 1 = 0 Hãy tính:
c
c b
b a
a S
+
− + +
− + +
−
=
1
1 1
1 1
1
Bài 8: Cho tam giác ABC với 3 cạnh là BC = a, CA = b, AB = c và có diện tích S Chứng minh:
2
3
4 S ≤ a b+bc+ca − a +b +c
Bài 9: Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC Gọi α , β , γ là số đo các góc mà các mặt ABD, ABC, ACD tạo với mặt BCD Giả sử hình chiếu của A trên ( BCD) thuộc miền tam giác BCD Cho x, y, z là 3 số tuỳ ý thoả mãn x2 +y2 +z2 = 1 Chứng minh rằng: cos α(x+ cos β)+ cos β(y+ cos γ)+ cos γ(z+ cos α)< 1
Bài10: Giải phơng trình: log 2006 x− 2 x− 1 + x+ 3 − 4 x− 1 = 2006 x−2 x−1+ x+3−4 x−1−1− 1
Bài 11: Cho hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu bán kính R Gọi r là bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp
Tìm điều kiện của hình chóp để tỉ số R/r đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài12: Cho 2 dãy số { }a n và { }b n thoả mãn:
( 1 , 2 , 3 , )
1 ,
1 ,
2006
2007 ,
2006
2005
1 1
1
+
a b b b a a b
a
n n n n n
n n
n→ +∞a +b
304 lim
Bài13: Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD, O là một điểm tuỳ ý trong tứ diện Đờng thẳng OG cắt các mặt phẳng
( BCD), ( ACD), ( ABC) lần lợt tại A’, B’, C’, D’ Chứng minh rằng: 4
'
' '
' '
' '
'
= +
+ +
G D
O D G C
O C G B
O B G A
O A
Bài14: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có AB = a, AD = b và AA’ = c Đờng chéo AC’ tạo với 3 cạnh
AB, AD và AA’ lần lợt thành các góc α , β , γ Chứng minh rằng: 4
18 12 18
12 18
12
049 59 cos
cos
c b
a
≥ +
+
γ β
là thể tích hình hộp chữ nhật đã cho
Bài 15: Tìm hàm số f xác định trên R thoả mãn điều kiện: f(x+y) ≥ f(x).f(y) ≥ 2006x+y, ∀x,y∈R
Bài 16: Cho tứ diện S ABC có SA, SB, SC từng đôi một vuông góc với nhau Gọi A’, B’, C’ lần lợt là trung điểm
BC, CA, AB; α , β , γ lần lợt là số đo các nhị diện cạnh A’B’, B’C’, C’A’ của tứ diện SA’B’C’ Chứng minh rằng: 2 cos1 2 cos1 2 cos1 ≥79
+
+ +
+
Bài 17: Cho a, b > 0 Chứng minh rằng:
8
5 )
4 4
≥ +
+ +
+
b a
ab b
a
b a
Bài 18: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau,OA = x, OB = y, OC = z , x+y+z = 3 Tìm giá trị lớn nhất của bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC
Bài 19: Cho 4 số thực a, b, c, d khác 1 thoả mãn: a2 +b2 +c2 +d2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
) 1 )(
1 )(
1
)(
1
abcd P
−
−
−
−
=
Trang 2Bài 20: Cho a, b, c là các số thực không đồng thời bằng 0 và thoả mãn: a2 +b2 +c2 = 2 (ab+bc+ca) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: ( ) ( ) ( 2 2 2)
3 3 3 ,
,
c b a c b a
c b a c
b a F
+ + + +
+ +
=
Bài 21: Cho dãy số ( an) thoả mãn: a n+2 =a n+1 −a n Giả sử tổng 2003 số hạng đầu tiên bằng 2005 và tổng của
2005 số hạng đầu tiên là 2003 Tính tổng của 2004 số hạng đầu tiên
Bài 22: Cho điểm O ở bên trong tứ diện ABCD, các tia AO, BO, CO, DO lần lợt cắt các mặt đối diện tại A1, B1,
C1, D1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
OD
OD OC
OC OB
OB OA
OA
Bài 23: Giải phơng trình: 3x2+x+ 2 + (x3 − 3x+ 1 ) 3 2x−x3 = 3 4x+ 1
2006
5 2006
3 2006
1
2006 ,C ,C , C C
Bài 25: Trên các cạnh AB, BC, CD, DA, AC và BD của tứ diện ABCD lần lợt lấy các điểm M, N, P, Q, S và R
Gọi V1, V2, V3, V4, và V lần lợt là thể tích của các khối tứ diện ASMQ, BMNR, CNPR, DPQR và ABCD Tìm giá trị nhỏ nhất của tỉ số:
4 3 2 1
4
V V V V V
Bài 26: Tìm các giá trị của tham số a để phơng trình sau có nghiệm thực:
x
x a x
x x
Bài 27: Cho a, b, c là 3 số thực dơng Chứng minh rằng; ( , , ) ( ( )2 ) 2 ( ( )2 ) 2 ( ( )2 ) 2 ≤ 56
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+
=
c b a
b a c b a c
a c b a c b
c b a c b a F
Bài 28: Giải hệ phơng trình sau:
= +
=
+
) sin 3(
log 3 cos log
) cos 3(
log 3 sin log
3 2
3 2
x y
y x
Bài 29: Cho x, y, z dơng thoả mãn: xz−zy−yx= 1 Tìm giá trị lớn nhất của 2
2 2 2 2 2
1
3 1
2 1
2
z
z y
y x
x P
+
+ +
− +
=
Bài 30: Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 đơn vị Các điểm M, N lần lợt thuộc các đoạn
A’B’ và A’D’ sao cho nhị diện [M,AC' ,N] là nhị diện vuông Xác định vị trí các điểm M và N để hình chóp
A A’MC’N có thể tích nhỏ nhất
Bài 31: Cho tứ diện đều ABCD, mặt phẳng (P) đi qua BC cắt cạnh AD tại E Tính tỉ số thể tích giữa các tứ diện
ABCE và BCDE Biết tang của góc giữa hai mặt phẳng (P) và ( BCD) là
7
2 5
Bài 32: Xác định m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
[1 ( 1) ].log (4 4 ) [1 (4 3) ]log (1 3 ) log (4 4 ) log (1 3 2)
5
2 6
2 5
2 2
6
+
Bài 33: Cho a, b, c là 3 số dơng thoả mãn: a.b.c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của:
) (
4
1 4 4 4
2 3
5 2 3
5 2
3
5
c b a b a
c a c
b c
b
a
+
+ +
+
+
Bài 34: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Mặt phẳng (P) thay đổi nhng luôn cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần
lợt tại A’, B’, C’, D’( A’, B’, C’, D’ không trùng với đầu mút cuả các đoạn thẳng SA, SB, SC, SD) Chứng minh rằng một trong hai tỉ số
' '
' '
SD SB
SC SA
+
+
và
' '.
' '.
SC SA
SD SB
luôn có ít nhất một số không lớn hơn 1 khi mặt phẳng (P) thay đổi
Bài 35: Tìm a sao cho phơng trình: 4 .log ( 2 3) 2 log (2 2) 0
3 1 2 2
3
2
= +
− +
+
−
có 3 nghiệm phân biệt
Trang 3Bài 36: Cho tứ diện đều ABCD, lấy M bất kì thuộc mặt bên BCD Qua M dựng các đờng vuông góc đến các mặt
bên ( ABC), ( ABD), ( ACD) là MH, MK, ML Chứng minh rằng thể tích tứ diện MHKL luôn nhỏ hơn
45
1
thể tích tứ diện ABCD
Bài 37: Tìm cặp số nguyên dơng ( n; k) sao cho (n+ 1)k − 1 =n!
Bài 38 Giải phơng trình: (1 + lgx)( 2 + 4 lgx) = 3 4 lgx
Bài 39: Hãy xác định các góc của tam giác ABC, biết rằng:
2
3 3 2
5 cos 2
5 cos 2
5
Bài 40: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
+
+ + +
+
+
+
=
c b
d b d a
c a d c
b a
T Trong đó a, b, c là các số thực thuộc đoạn
3
2
;
2
1
Bài 41: Giải hệ phơng trình:
=
−
=
+
6 )1 (
8 ) 3
1(
3
3
y x
y x
Bài 42: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
+ +
+ +
+
+ +
+
≥ +
2006 2006
2006
) 2 (
1 )
2 (
1 )
2 (
1 4
1 1
1
c b a c
b a c
b a c
b
a
Bài 43: Cho tam giác ABC nhọn thoả mãn điều kiện:
C B A C
B A
A C C
B B
Acos cos cos cos cos (cos cos cos ) 2 cos cos cos
cos
ABC là tam giác đều
Bài 44: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: F x xyz y z
3 3
3 + +
= với x, y, z thuộc đoạn [1003 ; 2006]
Bài 45: Giải phơng trình: 3 6x+ 1 = 8x3 − 4x− 1
Bài 46: Giải hệ phơng trình:
+
=
+
=
+
=
) 9 1(
6
) 9 1(
6
) 9 1(
6
2 2
2 2
2 2
z x z
y z y
x y x
Bài 47: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
) ( ) ( )
ca a
c a
bc c
b
c
ab
T
+
+ +
+
+
=
Bài 48: Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c và các góc thoả mãn B = 2A, C = 4A Tính
= 2 12 12 12
c b a R
với R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 49: Gọi K là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, B1, C1 theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AC, AB
Đờng thẳng C1K cắt đờng thẳng AC tại B2, đờng thẳng B1K cắt đờng thẳng AB tại C2 sao cho diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác AB2C2 Tính góc CAB
Bài 50: Chứng minh rằng trong tam giác ABC bất kì ta có:
R
r A
C C
B B
A
4 8
5 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
Trong đó R, r theo thứ tự là bán kính đờng tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC
Bài 51: Cho n số thực x1,x2,x3, ,x n thoả mãn điều kiện: 2 2 1
3
2 2
2
1 +x +x + +x n =
2
1
1
2
2 1
2 2
2
1
2
2
1
x x
x
x x
x
x
x
x
n
+ + + + + + +
+
+
+
Trang 4Bài 52: Giải hệ phơng trình:
( ) ( )
+ +
= +
+ +
= +
+ +
= +
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
1 5
)1 4
( ) (
)1 3(
) (
y x z z x y z
x z y y x
z y
z y x x z
y x
Bài 53: Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn: a+b+c=3 Tìm giá trị lớn nhất của:
bc ac
ab
Bài 54: Giải phơng trình: (x+ 1) x2 − 2x+ 3 =x2 + 1
Bài 55: Cho tam giác ABC, có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c, và ma, mb, mc, lần lợt là độ dài của các đờng trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C Chứng minh rằng: Tam giác ABC đều khi và chỉ khi:
2 2 2
2 m a m b m c
c
b
) ( 2
) 2
( ) ( 2
) 2
( ) ( 2
) 2
(
2 2
2 2
2
2 2
2
2
≤ + +
+ + + + +
+ + + + +
+ +
b a c
b a c a
c b
a c b c
b a
c b a
Bài 57: Giải phơng trình: x3 − 3x= x+ 2
Bài 58: Cho 3 số thực dơng a, b, c thoả mãn điều kiện: a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
abc ca
bc ab
) (
2
1
+ +
−
=
Bài 59: Cho đa thức bậc 4: P(x) = 2006x4 + 2004x3 + 2007x2 + 2003x+ 2005 Chứng minh rằng:
R x
x
P( ) > 0 ∀ ∈
Bài 60: Cho các số thực a, b, c, d thoả mãn:
< ≤ ≤ ≤ + + ≥ 2+ ≥2
, 3 2
1 , 0
c
d b c
d b a d c b
17 4 4
4
4 +b +c −d ≤
a
Bài 61: Cho các số thực a, b, c dơng thoả mãn: a2 +b2 +c2 + 2abc= 1 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
) (
1
1 1
1 1
2 2
c b
a
−
+
−
+
−
=
Bài 62: Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn: 1+1+1= 3
c b
a Chứng minh rằng: 4 a3 + 4 b3 + 4 c3 ≥ 3 a2 + 3 b2 + 3 c2
Bài 63: Chứng minh rằng:
7
9 7
2 xyz zx
yz
xy+ + ≤ + Trong đó x, y, z là các số thực không âm thoả mãn điều kiện: 1
=
+
+y z
x
Bài 64: Tìm tất cả giá trị a,b,c,d,e∈[ ]0 , 1 sao cho: 4
1 1
1 1
+
+ +
+ +
+ +
+ +
=
abcd
e eabc
d deab
c cdea
b bcde
a A
1
16
2006
2004
− +
+ +
−
x a
x x
trình có đúng hai nghiệm
2 1 1
2
1
x x
−
Bài 67: Cho tam giác ABC thoả mãn:
2
1 2
2tg B =
A
tg Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông là:
10
1 2
sin 2
sin 2
Bài 68: Giải phơng trình: (x+ 1) x2 − 2x+ 3 =x2 + 1
Bài 69: Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c, B = 2A, C = 4A, bán kính đờng tròn ngoại tiếp
= 2 12 12 12
c b a R T