Toán cao cấp tập III (a3)

Wron3kian tương úng.

NGUYỄN VAN KHUÊ (Chù biền)

PHẠM NGỌC THAO - LẺ MẬU HÀI - NQUYỄN đ ỉn h s a n g

TOÁN CAO CẤP

TẬP III (Ag)

N H À X U Ấ T B Ả N G I Á O D Ụ C - 1 9 9 7

51-517 (076) 214/591- 97 M ả số: D T T 0 6 B 7

G D - 9 7

C hư ơng XV

PHƯƠ NG TRÌN H \n PH Â N (THƯỜNG)

iO M Ở Đ Ẩ U

0«1 C á c k h ả i n i ê m c ơ b ả n

(i) P h ư ơ n g tr in h vi ph&n (thưòng) l à p h ư ơ n g t r ì n h tro n g

đó có t h a m g i a : m ộ t biến độc lậ p X, ẩ n h à m y(x), v à c á c đạo h à m

(hay vi p h â n ) c ủ a nó tâi một cấp "n” nào đó, dạng:

tro n g đó F là m ộ t h à m đă cho c ủ a các đối sô' X, y y \ ,

tr ê n một miển n à o đó của

Cấp đạo h à m cao n h ấ t "n" tro n g (0.1) dược gọi là cấp của

phương t r ì n h N ế u t h a m gia với n h ữ n g liãy t h ừ a m à bậc cao

n h ấ t là k t h ì ‘*k" dược gọi là bậc của phưcíng tr ì n h

(ii) N g h iệ m H à m cp(x)» X e (a,b), k h ả vi tới cấp n đưỢc gọi

là nghiệm của p h ư ơ n g t r ì n h (0, 1) n ế u t h a y tro n g (0, 1)

y = ọ(x), = (p'"^(x) t h ì nó sẽ được xác đ ịn h và tr ồ t h à n h một

đổng n h ấ t thức t r ê n (a, b);

F (x, <p(ìc), íp’( x ) q^U)) = 0 V x <=

Khi đó đư ò n g cong y = (p(x), X € (a.b) được gọi là đư ờ n g

co n g tích p h á n c ủ a p h ư ơn g t r ì n h (O.l) N h ư sẽ t h ấ y ngay sau

đây, n ghiệm c ú a (0.1) k h ô n g bao giò là d u y n h ấ t m à n ó i c h u u n g

là (vô sô) cả mộl họ h à m p h ụ thuộc vào n h ằ n g số t u ỳ ý

(c) T ro n g ví d ụ (a), h iể n n hiê n là độ cao z(t) đưỢc xác đ ịnh

h o à n t o à n n ế u t a b i ế t vi t r í c ủ a v ậ t rơi t ự do tạ i thòi điểm b a n

Bài to á n tim n ghiệm của phương tr ì n h vi p h â n (cáp n)

(0.1), thoả m à n (n) đ iề u kiện (gọi là đ iề u k iệ n C auchy h a y đ iều

k iệ n ban đẩu):

y ( x j = y , y -(x^) = y y<"-"{xj = y'"-" (C)

tr o n g đỏ .l à n h ũ n g gỉá t r ị đ â cho, được g ọ i n à bài

n h ữ n g giá t r ị t h a y đổi (sao cho c6 t h ể áp d ụ n g đ ư ợ c đ ịnh

lí P icard) t a 8ẽ được m ộ t họ n g h iệ m c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h (phụ thuộc "n" h ằ n g số "tùy ý" ( y ^ , N g h i ệ m y - <p(x, C j,

c ) fiủa phưdng tr ỉn h ( 0 1 ) tr o n g đó C ị, , Cu là n h ữ n g Ihẳng

số» được gọi ỉà n g h iệ m tồ n g q u á t N ếu nó là n g h iệ m c ủ a mỗ>i bài

to á n Cauchy (C) t h ì nó được gọi ỉà n g h iệ m riê n g của (0.1)) khi

cho C ỉ , , Ca n h ữ n g giá t r ị xác định

Dĩ n hiê n ò đ â y ''n ghiệm ” đưỢc h iể u là n g h iệ m tr ê n một

miển n à o đó và bài t o á n Cauchy (C) ỉà nói vổi đ iề u kiện ban đẩu thu ộ c một miền nào đó Ngoài r a v â n có t h ể tổ n t ạ i nh ữ n g

n g h iệ m c ủ a phương t r ì n h vi p h â n khô n g suy được từ nghiệm

tổng q u á t n h ư đă nói, c h ẳ n g h ạ n n h ư n g h iệ m b ấ t th ư ờ n g , m à t a

p h á n được")

1.1 Phương tr in h vài biến ph& n ly

Đó là (1.0') với f(x,y) = f(x) v à g{x y) = g(y), t.l phương

Một b iể u th ứ c n h ư vậy được gọi là một tich p h ả n u ổ n g q u á t

c ủ a phUdng tr ì n h Đưòng cong y = y(x, C), h a y ờ d ạ m g ẩn G{y) + F(x) = c , t r ê n m ặ t p h ả n g (x.y) sẽ được gọi là đU íờng; cong

t ứ h p h á n c ủ a phương t r ì n h ( 1 1 ) (với mỗi c đã chọn).

là p k í o n g t r ì n h vdi biến số p h â n ly.

N ế u V = tp (x c) là n g h iệ m tổng q u á t của phương t r ì n h này

Để giẳi p h ư ơ n g t r ì n h này t a n h â n h a i v ế c ủ a p h ư d n g t r ì n h (ỉ.2b) với một h à m s ố p(x) sẽ dược xác đ ị n h s a u ,

py’ + pPy = p Q <=> (py)' - ( p ' ' p p ) y - pQ

X ^ P ( x ' ) 4 ^ = Q(x)

và b iế n đổi V = — — , ta di đến p h ư ơ n g t r ì n h

V' + (1 - a) P(x) V = ( l - a ) Q(x)

là n g h i ệ m t ẩ n g q u á t c ủ a phường tr ì n h đã cho t r ê n m i e n x ^ o , y^o

C h ủ th íc h : có t h ể xem n g h iệ m y B 0 = 1ÌJĨÌ y(x,C)

Í 1 8 Phương ừ-inh Clairant I>d Laẹrange'"’

(a) PhươTig tr in h C la ừ a n t: Đó là p h ư ơ n g t r ỉ n h d ạ n g ;

R õ ràn g , b ằ n g cách cho y'(x) ■ c , t a được n g h i ệ m tổng

q u á t c ủ a phương t r ì n h (1.3a);

là m ộ t h ọ đưồng th ẳ n g

C ũ n g rõ r à n g r ằ n g b a o h ì n h (L) c ủ a họ (*) l à đ ư ờ n g cong tích p h â n cho bởi m ộ t n ghiệm "đậc biệt" của (1.3a)

Q u à vậy: mỗi đ iể m (x, y) e L đ ể u n ă m t r ê n m ộ t đưòng

t h ả n g c ù a họ (*) l à đư ò n g tiếp t u y ế n c ủ a L t ạ i (x.y), y = y (x.Cị),

y = xg(u) + f(u) ^ dy = g(u)dx + xg *(u)du + f ‘(u )d u

= y 'dx = u d x ^ (g(u) - u] + g’(u)x = - f Xu)

df(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy =0, (x,y) € D

H ệ th ứ c n à y tư ơ n g đương v ớ i :

f(x,y) ■ c , (x,y) e D

v à đổ c h í n h ỉ à tích p h â n (tổng quát) c ủ a (1.7)

được p h ư ơ n g t r ì n h ở ví d ụ (a) là phương t r i n h vi p h â n đúng.

Vì vậy lẽ t ự n h i ê n nẩy sinh v ấ n dề sau:

p h ư ơ n g p h á p p h ổ d ụ n g n à o để tim n h â n t ử tích p h â n ấy T r o n g mỗi t r ư ò n g hợp c ụ t h ể việc n à y còn p h ả i nhờ vào k i n h n g h i ệ m

P h ư ơ n g p h á p aau đ â y sẽ cho p h é p t a đ ư a được nó vể

t r ư ò n g hợp đ ă được giải đối vối đạo h à m (hay vi p h â n ) Khi dó

nếu k h ô n g t í c h p h â n dưỢc th ì các phương p háp c ủ a g i ả i tích sô

c ũ n g sẽ cho p h é p t a xấp xi, hay t ì m n g h iệ m b ả n g 9Ố, m ộ t cách

dễ d à n g hơn

G iả s ử đ ã c h ọ n đuợc các h à m 9 , V|/, X sao cho vối

* = (p (u.v), y = v(u,v), y' = X(u.v), (u, V) e D ( c R^)

h a y (X <p'„ ^ xụ,:) du +(X 9^ - d v =5 0 (2)

T h ế l à t a d ã đi đến m ộ t p h ư d n g t r ì n h vị ph&n dổi vói b iế n

(u, v) đ ã giải r a đối vi phân du, dv N ế u (2) là p h ư ơ n g t r ì n h vỉ

X(u) (p’{u)du - dv = 0 ^ v(u) =

và nghiệm tổng q u ả l của phương t r ì n h đ à cho sỗ là

x = 'P(u), y = Jx<p’(u)du

(a) Phương tr ì n h d ạ n g F(x, y y ") = 0 (không chứ a y)

Đổi biến p =5 y* p h ư ơ n g t r ì n h được đư a vể d ạ n g

d "ydx^

V'ể p h u o n g t r ì n h cấp n - 1 đôl với h à m p = p(y)

(d) P h ư đ n g t r ì n h F(x, y'"’) = 0 (không c h ứ a y, y’, y'"'”)

Giả s ử t a tìm được hai h à m <p(u), t|i(u) sao cho:

F(q>(u), v(u)) a 0 (với u thu ộ c một mién D nầo đố)

T h ế thì, biến đổi X = <p(u), y ‘“' = v ( u ) t a 8ẽ c6:

dy'"-" = y‘“’dx = v(u)<p'(u)du

Từ đ ó :

y*"-"= Jv(u)«p'(u)du= V j( u ,C ị)

T iếp tụ c n h ư vậy t a được:

Vi ( u , Ci)dx = Vj (u, c , Cj)

ỵ i a - ĩ ì —

y(u) = Ị c „ c „ , ) (p ‘(u)du = 'ỉ',, (u c„ c„)

N g h iệm tổng q u á t của p h ư ơ n g t r ì n h , cho theo t h a m biẽín

C ủ n g với X = e" +u, n g h iệ m tổng q u á t của phương t r ì n h đỉỀ

cho đã được tìm theo t h a m biến u

C h ú thích T u y n h í è n đư ờng lối c h u n g của lý t h u y ế t phương t r ì n h vi p h â n , q u a n t r ọ n g đôì vôi cả lý t h u y ế t v à thựtc hồnh, 1& đ ư a m ộ t phương t r ì n h vê m ộ t hệ phương tr i n h cáp 1

(N h ư t a 8ẻ là m về sau này)

Phương ừ 'inh vi p h á n tu yến tín h

P h ư ơ n g t r ì n h với v ế phái tư ơ n g ử n g f = 0:

( L J đưỢc gọi ỉà phương t r ì n h t h u ầ n n h ấ t

c ủ n g là n ghiệm của (LJ, trong đó Cỳ (i=l, k) là các h ằ n g sô" t u ỳ ý

2 Đ ịn h n g h ĩa , (i) Hệ các h à m {<pi(x)» ,<pk(x)>; x e D được gọi

là độc lặp tu y ế n tí n h (đltt) tr ê n D n ế u đ iể u kiện s a u dầy được

z M ệnh đ ề 2 (a) Nếu 3x„e(a, p): W((pi , <P|,)(xJ í 0

th i hệ {(pi (p|,ì độc lập tuyế n tinh t r ê n (a, P)

(b) Nếu (Pj (p„ là n n ghiệm của ( L j t r ê n (a.P) thi

w ( ẹ , < P k ) ( * ) = w ( ọ j q ) , K X o ) e ^ V x 6 ( 0 , P )

ở đ â y Xo 6 (o, P) là đ iể m b ấ t kỳ và vói giả t h i ế t th ê m ià

a , ( x ) - 1.

T ừ đó: N ế u 3 x „ E (a , p): W(<pi (pj (x„) = 0

^ W((pi ẹ„)(x) » 0 (tUdng ứ n g *0) Vx E (a p),

y U o ) = yo = ( x „ e (a p ặ

T ừ đó t a còn th ấ y hệ (n+1) n g h iệ m b ấ t kỳ c ủ a p h ư ơ n g

t r i n h (L^) là p h ụ thuộc tu y ế n tí n h S a u đây ít nhâ"t là khi aj(x) ■

a, a c o n s t (Vi), phương t r ì n h n à y luôn có d ù n g n n g h iệ m đltt

Cuối cùng, cQng do tí n h c h ấ t tu y ế n tí n h ta có

4 M ện h đ ề 4 Nếu ọ là n g h iệ m (nghiệm t ổ n g q u á t ) c ủ a

p h ư ơ n g t n n h (Lo), và y* là một n g h iệ m nào đó của p h ư ơ n g t r ì n h

(L) thi:

y (x) = cp(x) + y*

c ủ n g là n g h iệ m (tương ừng: n g h iệ m tổng q u ả t) của (L)

2.3 P hương trinh vi p h ả n tuyến tín h th u ẩ n n h ấ t vởi hệ sô

là p h ư ơ n g tr in h đ ặ c trư n g c ủ a (2.3) và (2.30);

T a sê ti m được nghiệm tòng q u á t của phương t r ì n h t h u ầ n

n h ấ t hệ số h à n g th e o các trư ò n g hợp có t h ể xảy ra s a u đây:

(cospx - isinpx) T ư o n g ửng với c h ú n g t a sẽ có

h a i n g h i ê m độc lập t u y ế n t í n h Yi = e “*cospx = e'“ sinpx

T a k h ô n g c h ử n g m inh các đ iề u k h ả n g đ ị n h t r o n g bâ

tr ư ò n g hợp tr ễ n đ â y vi t ấ t ca đ ể u được k iể m n g h iệ m b ằ n g t í n h

toán tr ự c tiếp Wron3kian tương úng

2 A Phương trin h vi p h á n tu y ế n tin h kh ô n g th u ầ n n h a t hệ 3Ổ

trong đó P:b(x) là một đa thức bậc m đối với X.

a ) N ếu a khô n g p h ải là n g h iệ m c ù a phướDg t r ì n h dặc trư n g t h ì t a tìm n ghiệm riêng dưới dạng:

sô' sè được xác đ ị n h sau

P) Nếu a l à nghiệm bội s c ủ a p h ư d n g t r ì n h đặc I n t n g th ì

ta tim nghiệm r i ê n g dưới dạng:

y'(x ) = e^*x*Q,„(x)

V í d ụ i Giải phưdng tr i n h y ** + 4y =

a = 0 k h ông p h ả i là n g h iệ m c ủ a phư dng tr i n h đặc t r ư n g

nên ta tì m n gh iệ m r i ê n g d ạ n g y * ( x ) = ax^ + bx +c

P) N ế u a + ip là n ghiệm bội 8 c ủ a phương t r ì n h đặc trư n g

thì t a tìm n g h iệ m riêng dưới dạng:

y*(x) - x*e“ *(AcosPx + B sin P x )

N g h iệ m tổ n g q u á t ià y = Cị 5Ìiì2x + C2 c o s 2 x + — cosx.

Chứ v: n ế u vế p h ải cùa phương t r ì n h (2.4) có d ạ n g

r iê n g c ủ a phương trình th u ầ n n h ấ t ứng với v ê p h ả i ỉà fi(x) v à

ígCx) thì y*(x) = y[(x) + y2(x) ìà n g h iệ m r i ê n g với phướng

trình có v ế p h ả i là f(x).

V i dụ: T h eo các ví dụ 1 và 4 (N guyên lý c h ổ n g c h ấ t

n g h iệ m tr ê n n g h iệ m riêng của phương trin h )

y " + 4y = x’ + C 0 8 1 là

y*(x) = = - ~ ị * ị c o s Ị

2.6 Phương trin h tu y ể n tín h có th ề đ ư a vé h ệ a ố h ẳ n g

Xét phương t r i n h có d ạ n g sau (gọi là p h ư ơ n g t r ì n h E uler)

a x Y " ' + a,x'‘-‘y ' - " + + a„.,xy’ + a„y = f(x) (2.5)

t r o n g đó a^, a , a„ là n hữ ng h ằ n g sấ.

B ằ n g phép biến đổi X = e‘ ta đ ư a p h ư ơ n g t r ì n h (2.5) v ể hệ sô* h ằ n g Vì

y = y"=

(Xem tiếp bài tậ p 10, 11),

V í d ụ Giải phương t r ì n h x^y"’ + xy' - y = xlnx

Đổi biến X = t h a y vào phương t r ì n h t a đưỢc

Áp d ụ n g p h ư ơ n g p h á p giải p h ư ơ n g t r i n h hệ số h ằ n g tađược:

y(t) = (Cj +C2t ^Cgt^) + t V

24Trỏ lại biến củ n g h iệ m c ủ a phương t r i n h là:

y(x) = [C, + C^lnx + Caln^xlx + l}ĩ}h

2.6, P hương p h á p bié'n thiên h ẳ n g sô'

T rưóc h ế t t a t r ì n h b à y p h ư ơ n g p h á p biến thiên h à n g sô" đổi

với phương t r ì n h v i phân t u y ế n tính cấp h ai mà v iệ c mỏ r ộ n g

đ ế n c ấ p cao hơn k h ô n g có gì khố k h ã n

Xét p h ư ơ n g trìn h

là n g h iệ m tổ ng q u á t Cìảa phương t r ì n h y " + 2a y ’ + b y = 0- T a sẽ

d ù n g phương p h á p sau dây gọi )à phương p h á p biến thiên h ằ n g số

Tim m ộ t n g h iệ m của (2.2) dưới dạng:

y(x) = Ci(x) <pj(x) + Cgíx)

T r o n g đó Ci(x), Cgíx) ỉà các h à m p h ải tìm m à t a buộc th o ả

m ã n trước h ế t đ iể u kiện:

T h ế th ì

y' = Ci<pj + C2<p2» y" ” Cj(pỊ + C^cpọ Cj(pỊ' + C2Ọ2

và t h a y vào (2.2) t a phải có:

L(y) =s CịL(cPi) + C2L((p2) CÌ<Pi + C2<p2- f

Vì L(Ạị) = 0; L{ẹ<i) = 0 (do (a) - (l), (2), (3)) từ đó s u y ra:

vectd với giá t r ị c ủ a R“ và F =(Fj F,„) là h à m vectd với giá t r ị

trong R ‘'\ x á c định trên (a, b) x R ” x x R ' ' th i (3.1) cỏ th ể được

y i = a 2 i y j + 8 2 2 y 2 + ^ 2 1 X 1 - ^ + fọ

là một h ệ p h ư ơ n g t r ì n h vi p h â n cấp hai với hai ẩ n h à m V), y-j

Nó có t h ể dược viết dưới dạng:

B ảy giò n ế u tro n g (3 1") các h à m vectó với giá t r i t r o n g

N = n/, được viết dưới dạng

z = (Zj z j , <Ps)

ta s ẽ đi đ ế n hệ p h ư ơ n g tr ì n h

dz

dx

m à đó c hính là đôì tượng nghiên cứu của chúng t a trong ti ế t này

Với hệ (I) t a củng có d in h lý cd b ả n s a u đây về sự tồn t ạ i

d u y n hâ't n g h iệ m của bài to á n Cauchy

T r ê n cơ sở đó các k h á i n iệ m về n g h iệ m • tích p h â n tổ n g

q u ấ t v.v, đâ nói vối phương t r ì n h được mỏ rộng tự n h i ê n c h o hệ (1) T u y lỉlỉiên Siiu đùv ehÚHK In Bẻ chỉ x é t một tr ư ờ n g hdp râítdặc biệt, tối g iả n của hệ ( n h ư n g c ù n g d ủ để mô t ả m ộ t s ố n é t cd

b ả n của q u a n g c ả n h c h u n g của lý thuyết!)

3«2 GiẬi hệ h a i phương trìn h tu yêh tín h với hệ sô h ầ n g

dy, _

dx = aiiV; + a,2y2 + f|(x) (3.2)dy.;

- ^ = a2jy, + a22Y2 +

t r o n g đó a,j (i> i = 1,2) là các h à n g sô*

NgưỢc với quá t r ì n h đả th ự c hiện ỏ 3.1, t a sè qui việr giài (3.2) vể việc giải một phương t r ì n h tú y ế n t í r h cấp hai

Trước h ế t ta hãy giải hệ t h u ầ n nhất:

Loại t r ừ tr ư ò n g hợp t ầ m thư òng, một trong hai hệ sô'

Hi2i a^2 k h á c k h ông và, để đ ịn h ý, giả t h i ế t a^;, * 0 Khi đỏ th a y vào y 2 à p h ư ơ n g t r ì n h t h ử hai biểu thức của nó r ú t ra từ

C2) th e o công th ử c t r ê n t a sẽ t ì m dược y^.