Toán cao cấp cho vật lý và kỹ thuật tập 1

Ví dụ 1: a Trên tập hợp các đường thẳng trong không gian “đường thẳng d song song với đường thẳng d1" là một quan hệ hai ngôi... Xét tập M trong đó có quan hệ tương đương R, gọi X là một

Giáo trình được biên soạn chủ yếu dựa trên những bài giáng của chúng tôi cho sinh

viên các ttqành Vật lỷ thuộc Đại học khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà nội trong

mấy nam íỊần dãy và một sỏ giáo trình Toán cao cấp dã biên soạn trước.

Chím ạ tới cô 'gắng biên soạn một giáo trình trong phạm vi 15 dan vị học trình chứa nlìữtìíỊ nội diuiiị cơ bân ỉihẩí của iỊÌcỉi lích toán học c ổ diểti, phù hợp với dối tượng học

n ạ à n ì ì t o á n t ì v à s á t v ớ i c h ư ơ n ạ t r ì n h c h i t i ế t d ã d ư ợ c thôiií* q u a d ế m o n g c ỏ s ự th ô n ạ nhất trong íỊÌàtĩíỊ dạy.

Đôi với sinh viên học các nqànli Vật lý và Kỹ thiiậỉ “Toán cao cấp ” là môn học khôtìíỊ th ể thiếu, nhưng yêu cầu chính dối với sinh viên là biết vận dụng vù xem lủ công

cụ d ể phục vụ cho việc học các ngành khoa học về Vật lý và Kv thuật Vì lề dó, troỉìíỊ quá trình biên soạn có một s ố mệnh dê, định tỷ mà phần chứng minh phức tạp hay một

s ổ phẩn lý thú nhưng khó, theo chương trình “Toán cao cấp B ” khởniỊ đồi hỏi phái trình bày, dế dơn giản chúng tôi không dưa vào Những phần đó nếu sình viên có nhu cầu cỏ

í hê tham khảo trong cúc giáo trình đã được biên soạn cho sình viên học nhỏm nỉịìmh ì

“Toán cao cáp A 99.

Giáo trình này chủ yếu dùng d ể giảng dạy và học tập cho sinh victỉ học rúc ngùiih Vợi lý, Kỹ thuật, Công nghệ, tuy n h i ê n cung cỏ thểdùỉiịị lùm tài liệu tham khao cho sinh viên cúc nhóm ngành khác.

Giáo trình gồm hai tập.

Tập I bao gồm 7 chương Bổn chương dầu do Lê Văn Trực biên soạn, các chiamg còn lụi do Trần Văn Cúc biên soạn.

Chương l : M à đầu vê lý thuyết tập hợp và sô thực.

Chương 2: Giới hạn của dày và của hùm sổ.

Chương 3: Hừm liên tục một biển số.

Chương 4: Phép tính vi phân cùa hàm một biến.

Chương 5: Tích phản không xác đinh.

Chương ố: Tích phân xác dinh.

Chương 7: Hàm nhiêu biến.

Tập II bao gồm 5 chương dtì Trần Văn Cúc biên soạn.

ChươtiíỊ 8: Phương trình vi phún.

Chiừỉnạ 9: Chuỗi s ố - Dãy hàm- Chuỗi hàm.

Chương 10: Tích phân bội.

Chương 11: Tích phân đường- Tích phân mặt.

Hù N ội ngày 30 tháng 8 năm 2003

Các tác giá

3.3- Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu và của hàm số ngược 80

C h ư ơ n g 5 TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH 13 7

Chương 1

1.1- T Ậ P H Ợ P VÀ LOGIC M ỆN H ĐỂ

1.1.1- Tập hợp

Cho tập hợp M, để chí X là phần tử của tập M ta viết ve M (đọc là X thuộc M ), để chí

X không phải là phần tử của tập M ta viết X Ể M (đọc là X không thuộc M)

Tập hợp M chỉ có một phần tử a, kí hiệu là {a}

Tập hợp M không có phần tử nào gọi là tập rỗng, tập rỗng ký hiệu là ệ

Cho hai tập hợp A và B Nếu mỗi phần tử của A đều là phđn tử của B ta nói rằng A là một tập con của B và ta viết A cz B

Nếu A c B và A * D ta nói rằng A là tập hợp con thực sự của tập hợp B và viết là

A d B ,trong trường hợp này tổn tại ít nhất một phần tử trong B mà không phải là phần

từ của A Ví dụ như tập hợp các số nguyên z là tập con của tập hợp các số hữu tỷ Q Cho A ,B,C là ba tập hợp Khi đó ta có tính chất sau:

Ổ = |x|x = — ,rt ^ 0,m,« 6 z | (1-1.7)

Ta đã biết bốn phép tính cơ sở (cộng trừ nhân chia) của số hữu tỷ và cách sấp xếp

chúng theo độ lớn (nếu a, b là hai số hữu tỷ khác nhau, thì một trong chúng bé hơn số

thứ hai) Tổng a+b, hiêu a-b, tích a.b, thương — (b * 0) của hai số hữu tỷ a, b lai là số

b

hữu tỷ, nhưng với các phép toán khác nếu chỉ xét trên tập các số hữu tỷ, những điều nói trên không còn đúng nữa Ví dụ phép lấy căn là phép toán như vậy Ta hãy tìm căn bậc hai của số 2, tức là tìm một số X mà bình phương của nó bằng hai Ta khẳng định rằng

không có số hữu tỷ nào mà bình phương của nó bằng 2 Giả sử số hữu tỷ X như vậy tồn

tại, ta có thể viết dưới dạng phân số tối giản — , trong đó p, q chỉ có ước số chung là

<72

± 1 Khi đó ^-7- = 2 , p 2 - 2q 1 cho nên p2 là số chẵn và do đó p cũng là số chẵn, p=2m ,

q

-trong đó m là số nguyên, do đó 4 m 2=2q2,2mĩ =q2 cho nên q1 là số chẵn và vì thế q là số

chẵn N hư vậy p, q là các số chẵn, điểu này mâu thuẫn với giả thiết là p, q c h ỉ có ước số

chung là ± 1 Mâu thuẫn nhận được chứng minh khẳng định trên

Từ nguvên nhân này, trong toán học ta đưa thêm vào những số mới, đó là các số vô

Ta nói rằng các tập A v à B là rời nhau nếu A n B = o

d) Bổ sung C aB của B trong A (B CỊ A) là tập hợp định nghĩa bởi

Phép giao hợp và bổ sung có các tính chất sau:

Bây giờ giả sử M là một tập hợp và t là một tính chất nào đó của các phântử của tập

M Nếu phân tử X 6 M có tính chất t ta viết t(x) Gọi c(t) là tập hợp của tất cả các phần

Ký hiệu: V gọi là ký hiệu phổ biến hay với mọi

Nếu c(t) * ệ , thì có ít nhất một phần tử X e M có tính chất /, ta nói rằng “tồn tại

Xét quy luật y=x1 cho tương ứng X € R và y e R , vì mỗi X e R tương ứng với một

và chỉ một y e R , nên quy luật trên là một ánh xạ từ R tới R

V í dụ 3:

Ánh xạ cho bởi quy luật f(x)= sinx, X e R là ánh xạtập R tới tập R và đồng thời ánh

xạ tập R lên tập hợp tất cả các số thực y sao cho - 1 < y < 1

Xct ánh xạ cho bởi quy luật y=x2 vì phương trình x 2=y, y 6 R có hai nghiệm khác

nhau X, và x 2 nếu _ y > 0 , có nghĩa lầ f ( x t)=f(x2) nhưng x ] * x 2, vậy ánh xạ này không

Giả s ử / l à một ánh xạ tập hợp A lên tập hợp B, khi đó ứng với mỗi phần tử y e B có

một và c h ỉ một X e A sao ch o > ' = / ( x ) Á n h x ạ cho tương ứng phần tử V e B với phần

tử X e A sao c h o y = / ( x ) g ọ i là ánh xạ ngược của ánh xạ / k ý hiệu là f '

Như vậy là / " ' : B -> A

f ‘(y)=x o f(x)=y với ( x e A , y e B ) (1.2.5)

V í dụ 8:

Nếu A là tập hợp các vòng tròn đồng tâm nằm trên cùng một phẳng và f (x) là bán

kín h của vòng tròn X, k h i đ ó / l à đơn ánh tập A lên tập các số thực dương Á n h xạ ngược

f ' tương ứng vớ i một số thực dương X với vòng tròn nằm trong tập A có bán kín h là X.

1 2 4 - Hợp (tích) của hai ánh xạ

Cho hai ánh xạ:

g : M -> A và / : A -> B Xét ánh xạ từ tập M tới tập hợp B được xác định như sau:

Ánh xạ ch o bởi quy luật sin x2, X 6 R là hợp của ánh xạ trong cho bởi q uy luật

y = X2 , x e R và ánh xạ ngoài được cho bởi quy luật sin y , y e R

1.3- Q U A N HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ Q UAN HỆ T H Ứ T ự

1.3.1- Q uan hệ hai ngôi

Cho tập hợp M và tính chất R liên quan đến hai phần tử của M Nếu X và y là hai

phần tử củ a M thoả m ãn tính chất R , thì ta nói X có quan hệ R với V và ta viết X R y

Quan hệ này gọi là quan hộ hai ngôi trên M

Ví dụ 1:

a) Trên tập hợp các đường thẳng trong không gian “đường thẳng d song song với đường thẳng d1" là một quan hệ hai ngôi.

b) Trcn tập hợp các số tự nhiên N “a nguyên tố với b” là quan hệ hai ngôi.

Quan hệ hai ngôi

i) Có tính chất phản xạ nếu X R X, v„r € M (1.3.1)

ii) Có tính chất đối xứng nếu X Ry=> y R x (1.3.2)

iii) Có tính chất bắc cầu nếu X R V và V R z => :/'Rz ( 1.3.3)

iv) Có tính chất phản đối xứng nếu V R y và y R X => X = y

Ví dụ 2:

Quan hệ "x < y " không có tính chất phản xạ vì không có X < X , không có tính chất đối xứng vì từ X < y không suy ra được y < x , nhưng có tính chất bắc cầu vì

X < ) ' , ỵ < z = > X < z

1.3.2- Q uan hệ tương đương

Quan hệ hai ngôi R trên tập M gọi là một quan hệ tương đương nếu có ba tính chất

phản xạ, đối xứng, bắc cầu

Khi R là một quan hệ tương đương và X R y, ta viết ,v~y (R) và đọc là “.V tương đương với y theo quan hệ R ”

Ví dụ 3:

Nếu M là tập hợp các đường thẳng trong một mặt phẩng đã cho thì quan hệ “đường

thẳng V s o n g s o n g với dư ờng thẳng y” là m ột quan hệ tương đư ơng trên tập M

Xét tập M trong đó có quan hệ tương đương R, gọi X là một phần tử xác định của M Khi đó tập hợp tất cả các phần tử y e M tương đương với .V lập thành một tập gọi là lớp

tương đương của X theo quan hệ R.

ii) T ín h chất phản đối xứng có nghĩa là X < y và y < X => X = y

iii) T ín h chất bắc cầu có nghĩa là X < y \ ầ y < z = > x < z

Tập hợp M mà trên đó có mối quan hệ thứ tự R được gọi là tập hợp có thứ tự.

T a nói rằng X và y có thể so sánh được với nhau nếu X < y hoặc y < X T a thấy trên

một hợp có thứ tự có những phần tử không so sánh được với nhau

Ví dụ như tập s các tập con của một tập M cho trước là một hợp có thứ tự theo quan

hệ “ c ” C ụ thể X < y nghĩa là X là tập con của tập hợp y T ron g tập hợp s có thể tồn tại

những phần tử không so sánh được với nhau, ví dụ nếu /4 và B rời nhau thì không có

A d B và cũng không có B c A.

Một quan hệ thứ tự R trên tập M được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần nếu

V x , y e M ta đều có X R V hoặc y R X

Ví dụ 4:

Trên tập N, z , Q, R quan hệ “ x < _ y ” là một quan hệ thứ tự toàn phán, bới vì

Vx, y e N (hay z, hay Q, hay R) ta đều có X < y hoặc y < X

Giả sử M là một tập hợp có thứ tự toàn phần Nếu tồn tại trong M một phần tử lớn

nhất và phần tử này là duy nhất, thì ta k ý hiệu phần tử đó là ma.xM. Tương tự ta ký hiệu

phần tử nhỏ nhất của tập M bằng ký hiệu minM.

1.4- SỐ THỰC

1.4.1- Nhát cắt

Ta hãy quay trở lại các khái niệm về số thực

Tập hợp A các số hữu lỷ dược gọi là một nhát cắt nếu:

i) Tập hợp A chứa ít nhất một số hữu tỷ nhưng không chứa toàn bộ các sô' hữu tỷ.

ii) V ớ i p e A và ợ < p thì q e A (như vậy CỊ ià số hữu tỷ)

iii) Trong tập hợp A không có số lổn nhất.

Từ định nghĩa của nhát cắt ta suy rằng nếu p e A và í/ Ể A thi p < q Các phần tử của tập hợp A được gọi là các số dưới của nhát cắt A, còn các số hữu tỷ không thuộc tập

A được gọi là các số trên của nhát cắt /4.

Gọi à ! là tập hợp các số trên của nhát cắt A Nếu trong tập A' có số nhỏ nhất r thì nhát cắt A được gọi là số hữu tỷ và người ta nói rằng nó xác định một số hữu tỷ r Nốu trong tập hợp A' không có số nhỏ nhất thì người ta nói rằng nhát cắt A xác định một số

vô tỷ

T ập hợp tất cả các số hữu tỷ và các số vô tỷ được gọi là tập hợp các số thực, ký hiệu

là R Trong lý thuyết số vô tỷ người ta đã chứng minh dược rằng với hai số thực bấl kỳ

a p trong đó a < p luôn luôn tìm được một số thực và đặc biệt một số vô tỷ /• nằm

giữa hai số đổ (và thành thử có một tập vô số các số vô tỷ như vậy)

1.4.2- Trục sô thực

Bây giờ ta tìm cách biểu diễn hình học tập các số thực

Ta hãy lấy một đường thẳng nằm ngang và trên đó ta lấy một điểm ỡ nào đó làm gốc Ta chọn một độ dài thích hợp làm đơn vị và đặt độ dài đó liên tiếp nhau từ điểm 0 sang trái và sang phải sao cho trải khắp đường thẳng Ví dụ như số 2 được biểu bằng

“điểm 2” , tức là điểm ở về bên phải điểm 0 với khoảng cách 2 dơn vị

Ta gọi đường thẳng nói trên là đường thẳng sô hay trục số Bất kỳ một số thực nào cũng được ứng với một điểm trên đường thảng sô và ngược lại, bất kỳ mộl điểm nào trẽn đường thắng số cũng được ứng với một số thực

Sô thực a ứng với điểm M trên trục số được gọi là toạ độ của điểm M Thông thường người ta không phân biệt “điểm a" nằm trên đường thắng số và số thực a (là toạ độ của

điểm đó)

Tập hợp R khòng có phần tử cực đại và phần tử cực tiểu, bởi vì đối với một số thực X bất kỳ luôn luôn tồn tại hai số y và z sao cho y < X < z (ví dụ y=X-1, z= x+ 1) Vì thế ta hãy bổ sung vào tập R hai phần tử mới mà ta ký hiệu là + 00,-co và ta gọi chung là các

điểm vô tận của trục thực Ta ký hiệu tập hợp mới xuất hiện như vật là R \ Như vậy là

Số k bất kỳ có tính chất như vậy được gọi là cận trên của tập M Do đó tập hợp M là

bị chặn trên nếu nó có ít nhất một cận trên Nếu tập M có một cận trên thì nó có vô hạn cận trên, bởi vì nếu số k là cận trên thì bất kỳ số / nào lớn hơn k là cận trên Ta có haiđịnh lý sau nói về các tính chất của cận trên

ii) V e > 0 , 3 ^ e M sao cho x c > k - e (1.4.6)

Ta gọi số k đó là cận trên đúng của tập M và ký hiệu là S upM

Ta gọi số g đó là cận dưới đúng của tập M và ký hiệu là infM

Ví dụ : in f(0 ,1) = 0.

Nếu tập M đồng thời là bị chặn dưới và bị chặn trên, ta gọi là bị chặn

Cuối cùng ta quy ước rằng nếu tập M không bị chặn trên thì ta nói rằng cận trênđúng của tập đó là + co , Sup M = +CO

Tương tự, nếu lập M không bị chặn dưới ta nói rằng cận dưới đúng của tập đó là

- 00, inf M = -00

Ví dụ như Sup (0, +oo) = +00, inf(-co, 0) = -co

BÀI TÂP CHƯƠNG 11.1 Cho a là số vô tỉ, r là số hữu tỉ

1) Hãy chứng minh rằng ơ+r và a-r là các số vô tỉ

2) Giả sử r * 0 hãy chứng monh rằng các số

inf ( X + Y) = in f X + inf Y

17

3) Giả sử X , Y bị chặn trên, X c R \ Y c R + Chứng minh

su p (A T ) = (sup x ) ( s u p y )

4) Giả sử X , Y bị chặn dưới, X c R * , Y d R + Chứng minh

in f ( A T ) = (in f A ') ( i n f y )

1.6 Giả sử ệ * N c M c R ' Chứng minh rằng :

inf M < in f iV < sup N < supM

1.7 Cho A c R và F = { / | / : A -> a ) Chứng minh rằng nếu

Chương 2

GIỚI HẠN CỦA DÃY s ố VÀ HÀM s ố

2.1- G IỚ I HẠN CỦA DÃY s ố

2.1.1 - Định nghĩa dãy sô

Gọi N = {l,2,3 }là tập hợp các số tự nhiên.Một ánh xạ f : N ' ->/? được gọi là một dãy số thực Nếu đặt x„ ~f(tĩ) thì ta có thể biểu diễn dãy số dưới dạng:

Phần tử X „ được gọi là số hạng thứ n của dãy số

Để cho gọn ta sẽ ký hiệu dãy số bàng {xn} Chỉ sô' n trong số hạng xn chỉ vị trí của

số hạng này trong dãy (2.1.1)

Trước hết ta hãy nêu ra một vài ví dụ về dãy:

Ta thấy rằng các số hạng của dãy (2.1.3) và dãy (2.1.5) gần 0 tuỳ ý khi n tăng, các

số hạng của dãy (2.1.4) gần 1 tuỳ ý khi n tăng Ta nói rằng dãy (2.1.3) và dãy (2.1.5) có

giới hạn 0, còn dãy (2.1.4) có giới hạn 1

Bây giờ ta đưa ra định nghĩa chính xác về giới hạn của dãy

Định nghĩa 1:

Ta nói rằng số a là giới hạn của dãy Ị x nỊ nếu đối với mọi số dương £ bé tuỳ ý đều tìm được một số p e N * sao cho Vrt >p, n e N ta đều có:

I x„ - a I < e , tức là a - s <x„ < ‘á+£ (2.1.6)Nếu a là giới hạn của dãy Ị xn| thì ta viết:

lim x„ =a hay x„ - > a khi /ỉ -» cc (2.1.7)

Ta chú ý rằng số p nói trên nói chung phụ thụôc vào việc chọn £ Để nhấn mạnh điều đó đôi khi thay cho p ta sẽ viết P E.

Khoảng mở (a-£ ,a + £ ) có tâm tại điểm a được gọi là làn cận của điểm a.Như vậy,

để a là giới hạn của dãy Ị x n} với lân cận bé bất kỳ của điểm a tất cả các phần tử X „ của dãy bắt đầu từ một chỉ số nào đó cần phải rơi vào trong lân cận đó (tức là ngoài lân cận

Giả sử rằng dãy có giới hạn là a Khi đó với s = ỉ, tồn tại số p sao cho :

V ớ i n > p t a c ó | x „ - a Ị < £ = ỉ.

( 2 1.8 )

Ta hãy chọn n lớn hơn p, khi đó n + 1 > p, cho nên I x„+l - a I < 1

có hai giới hạn khác nhau a và b với a <b

Ta lấy số £= — (b-a) >0 Bởi vì, a là giới hạn của dãy (2.1.1), ta tìm được số p, sao

x n = ( - 1 ) " là d ãy bị chặn nhung k h ô n g hội tụ vì:

x n —> 1 khi n = 2k —> co;xn —> -1 khi n = 2k 4-1 —»■ oo;

Thật vậy k, > 1, cho nên k , >1 và do đó k 2 > 2, bởi vì k 2 là số tự nhiên

Một cách tổng quát giả sử ta đã chứng minh được k„ > n ta nhận được k,: + ] >n và

Mặt khác với n > p thì k n > p (vì theo trên k n> n) và do đó Iy n - a \ =\xk - a I < £

Cho nên lim y n = a, điều phải chứng minh.

n-tco

c) Các ph ép toán vê giới hạn

Định lý 2 1.4: Cho hai dãy hội tụ, lim x„ =a, lim y n = b,

/;—> co n—>coKhi đó:

(ii) n—lim ( c x „ ) = c a ; lim (c + X „) = c +a với c là hằng số>co «->

Từ đây suy ra điều phải chứng minh

(ii) Chứng minh tương tự như trên

(iii) Ta có đẳng thức : X „ y „ - ab = (x „ -a) (y „ -b) +a(y „ -b) + b(x „ -a)

vì x„ —> a, y„ —»b, nên với e > 0 cho trước, tìm được P i , p , sao cho :

(iv) Kết luận này là hệ quả của (iii) và (iv)

d) S ự bảo toàn th ứ tự qua giới hạn trong bắt đẳng thức

Trường hợp đặc biệt khi y „ = b V n G N *, ta có khẳng định sau :

Nếu như lim X „ = a < b, thì 3 p sao cho V n > p ta có X n < b.

n —> co

Một cách tương tự nếu lim y n = b >a thì 3 p sao cho V n > p ta có: y n > a.

/ ỉ —>00

Đ ịnh lý 2.1.6: Cho hai dãy số {x„} và {y„} Khi đó :

i) nếu X „ > y ,, và lim x n = a ; lim y n = b thì a > b

Mặt khác vì X „ —» a và a<r nếu tồn tại p , sao cho khi n > p ị thì X „ < r

Tương tự ta tìm được p 2 sao cho khi n > p 2 thì yn> r

Nếu gọi p= max (p I , p 2 ) thì khi : n > p ta có X „ < r và y n > r,nghĩa là X „ < y „ , và

điều này mâu thuẫn với giả thiết

ii) Vì Xn —> a nếu với e >0 cho trước tìm được p, sao cho khi n > p, t h ì :

Nếu với mọi M>0 lớn tuỳ ý, bao giờ cũng tồn tại một số p sao cho

V n > p ta có X „ < -M, thì ta nói rằng dãy {xn } có giới hạn trừ vô cùng và ký hiệu là:

lirnx,, = -0 0

«— ► 00Cuối cùng ta hãy chú ý rằng một dãy hội tụ khi và chỉ khi nó có giới hạn hữu hạn, dãy có giới hạn là ± co không được xem là dãy hội tụ

2.2- T IÊ U C H U Ẩ N H Ộ I TỤ

2.2.1 - Tiêu chuẩn hội tụ của dãy đơn điệu

Định nghĩa Ị :

Dãy : X , ,, x 2 , x 3 (2.2.1)

Gọi là tăng nếu x„ < x n+ị V n e N* (2.2.2),

Nếu như x„ < x„+l V n e N* (2.2.3) ta nói rằng dãy (2.2.1) là dãy thực sự tăng.Tương tự, nếu như x„ > x n+| V n (2.2.4) thì ta nói rằng dãy (2.2.1) là giảm nếu như

x n > Xn+I ^ n ( 2 2 5 ) ta n ó i r ằ n g d ã y ( 2 2 1 ) th ự c s ự g i ả m C á c d ã y n ó i trên gọi c h u n g là

các dãy đơn điệu Tất cả các dãy đơn điệu tạo nên một lóp dãy rất quan trọng Bây giờ đối với những dãy này ta có hai định lý quan trọng sau

Dãy số đơn điệu là hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn

Ta thấy rằng dãy hội tụ bất kỳ là bị chặn Tất nhiên, ta cũng biết rằng dãy bị chặn không nhất thiết phải hội tụ Ví dụ như dãy {(-1)"+IỊ là bị chặn nhưng không hội tụ Nhưng dãy bị chặn đơn điệu luôn luôn hội tụ Ví dụ sau đây có một vai trò cực kỳ quan trọng trong giải tích cũng như trong ứng dụng

Sô' e là một số vô tỷ, 15 số đầu trong khai triển thập phân của nó là

Ta thấy rằng bn < ồ, Vn e iV* và a„ < b n v « n ê n a ()< b 1 \ / n e N '

Dãy {atl} tăng, bị chặn trên nên có giới hạn

/'-HB »=1,2, Theo định nghĩa supremum a n < a \/n 6 N '

Hcm nữa ta thấy rằng a < b n \ / n e N ' , vì trong trường hợp ngược lại 3nữ sao cho bn < a '0

Mặt khác do dãy các đoạn thẳng lồng nhau, nên:

a n < b v « e N ' ,suy ra a < b„a , điều này dẫn đến mâu thuẫn :

n=\

Tương tự dãy {è„} là dãy giảm, ta có bn > an > a ] v « G 7V* nên dãy {ồn}

n—>co

n=l

Nhưng theo định lý vẽ hiệu hai giới hạn :

ữ -oc = lim bn - lim ũ n = lim (b„ - a n )=0,do đó a = a và định lý được chứng minh.

2.2.4- Sự hội tụ của dãy bị chận

Từ ví dụ đơn giản này dẫn đến định lý Bolzano- Weierstrass vẽ sự hội tụ của dãy bị chặn

Định lý 2.2.5:

Mọi dãy vô hạn bị chặn chứa một dãy con hội tụ ở đây ta k h ông chứng minh định

lý này, (độc giả có thể đọc trong cuốn [l]) và chi lưu ý rằng đáy là một định lý rất quan trọng về mặt lý thuyết Sau này ta sẽ thấy rằng khi dùng định lv Bolzano- Weierstrass có thể chứng minh một số tính chất rất đặc trưng của hàm liên tục

2.2.5 - Nguyên lý Cauchy vẽ sự hội tụ của một dãy sô

ii) Điều kiện đủ:

Giả sử {x/7} là dãy cơ bán Trước hết ta hăy chứng minh dãy {x„}bị chặn Thật vậy

với £ = ỉ , 3 p sao cho V m, n > p ta có

Khi đó V f > 0 cho trước, 3 nk> p, ta có I x„t - a \ < —

Mặt khác do dãy {x„} là dãy cauchy nên 3 p2 sao cho V m, n >p2 ta có :

Do đó lx2n - xnl > — V/7 > 1, vậy dãy (x„} phân kỳ

Ví dụ 2 : Dùng tiêu chuẩn cauchy để xét sự hội tụ của dãy :

A n - 1 + TT + TT + + —

Giả sử m > n

phần nguyên của e ), khi đó :

V rt, m > p thì lxm — xnl <£•

Vậy dãy hội tụ

2.2.6 - Giới hạn trên và giới hạn dưới

a) Giới hạn r iê n g : Cho dãy {x„} Nếu có một dãy con \xìh ịcủa dãy trên hội tụ đến a:

lim x n = a

"kthì ta nói rằng a là một giới hạn riêng của dãy {x„}

Ví dụ: dãy {(—1)"} có hai giới hạn riêng là 1 và -1

b) G iới hạn trên và giới hạn dưới:

Cho {x„} là một dãy bị chặn Với mỗi n ta đ ặ t :

giới hạn này gọi là giới hạn dưới của dãy (x„} và kí hiệu là: lịm x n

hạn dưới Ịim x n là giới hạn riêng nhỏ nhất của dãy đó.

Chứng minh : Ta chứng minh cho lim * ,,, đối với Hm x n được chứng minh tương tự.

Sau đây ta chứng minh a là giới hạn riêng của lớn nhất

Bây giờ giả sử ngươc lai có môt dãy con ư , Ị của dãy {x n} mà lim xn = b và b>a

Định lý 2.2.8 : Điều kiện cần và đủ để dãy hội tụ là giới hạn trên và aiới hạn dưới

Khi đó tồn tại các dãy con xn - » a và xn _» p .

Vì dãy |x„} hội tụ nên các dãy con cũng hội tụ và có cùng giới hạn, suy ra

a = a = p

ii) Điều kiện đủ: Giả sử lim x n =ịim x n = a

khi đó với mọi k cố định

Người ta còn kí hiệu tập xác định của hàm số f là D ! Tập Y thường được gọi là tập giá

trị của hàm số.

Phần tử X e X được gọi là biến độc lập, hay đối số, còn f ( x ) e Y được gọi là biến

phụ thuộc hay hàm số Để chứng tỏ hàm số / c h o tương ứng mỗi phần tử -V e X với một phần tử xác định f ( x ) 6 Y , thường v i ế t :

x h 4 / ( x ) hay y=f ( x)

Ví dụ:

XI—> X là hàm số đồng nhất thường kí hiệu là id(x)

X - 3 x + 5 là hàm số bậc nhất

các khác, hàm / ( * ) = —7 được xác định với mọi X * 0 (H 2.3.2).

Ví dụ 3 : XI—» E (x ) = [x], trong đó [*] là số nguyên lớn nhất không lớn hơn X, là hàm số phần nguyên của X

Vì trong k h o ả n g [ - 2 ,- l) ,[ - l,0).[0,l),[l,2),[2,3) hàm nhận giá trị hằng 1,0,1,2, cho nên đồ thị là một dãy các đoạn thẳng n ằm n gan g, không k ể cá c đầu mút bên phải (H 2.3.3).

Cho nên X H T( x ) là hàm mà tập x á c định củ a nó là tập hợp c á c sô' tự nhiêm Đồ thị

của hàm này gồm những điểm rời rạc H.2.2.5

Theo định nghĩa cho hàm số f : X h-» Y nghĩa là:

i) Cho tập xác định Xcủa hàm này.

ii) Cho quy luật tương ứng mỗi X € X với một số xác định f (x) € Y

Hai h à m / , ẹ xem là như nhau nếu như có cùng tập xác định X và nếu i\x) = Ịỉ(\)

V.Y 6 X nói một cách khác hai hàm xem là như nhau nếu như có đồ thị như nhau

2.3.3 - Hàm sô hợp

Cho X c R , Y c R,z cz R ngoài ra cho các hàm số f \ X —> Y và hàm số

g :Y - » z Xét hàm số h : X —> z được định nghĩa bới

Như vậy hàm f ánh xạ tập X lên tập Y ngoài ra ta giả thiết rằng f cũng là đơn ánh,

nghĩa là với X, * x 2 ,x „ x 2e X t h ì f ( x , ) * f ( x 2) Khi đó mỗi phần tử của y € F đều là ảnh

của đúng một phần tử X e X nên ta có thể đặt tương ứng mỗi phần tử y e Y với một phần

tử X e X Phép tương ứng đó đã xác định một hàm số từ tập Y sang tập X Hàm số này

được gọi là hàm số ngược của h à m / v à được kí hiệu là :

Tuy nhiên ta cũng có thể kí hiệu đối số của hàm ngược bằng chữ chữ y để chỉ biến

số phụ thuộc, với qui ước đó hàm số ngược của hàm s ố / l à :

Đồ thị của hàm số ngược y = / ’(jc) dối xứng với đồ thị hàm số y = f ( x ) qua

đường phân giác thứ nhất

Ví dụ 6:

Hàm s ố luỹ thừa X —» với a > 0 x á c định trong kh oảng Ịo,+oo) và ánh xạ k h o ả n g

này lên khoảng [0,+oo) Bởi vì với x > 0 ta có x a > 0 , và đối với mỗi y > 0 tồn tại

I

hàm số x ° trong miền Ịo,+oo) tức là phương trình x a = y nghiệm đúng với X > 0 và

ngược / ' được xác định như sau :

/ ■ ' (^) =log 0 y hay x=log 0 y Cí> a ' = y Bây giờ hãy vẽ đồ thị của hàm số y =l oga x Hàm số này nhận được từ hàm số

x = lo g a y bằng cách đổi X thành y nên đồ thị của hàm số y =Ioga X đối xứng với đổ thị

hàm số y=ax qua đường phân giác thứ nhất Chú ý ta có hệ thức sau:

f [ / ”' ( x ) j = X Vx e Y (2.3.8)ngược lại

Ví dụ như với a > 0 ,ơ * 1 , ta có logu a x = X Vx và ứlog"r,Vx > 0

2.3.5 - Các hàm lượng giác ngược

a) H àm s ố y = arcsin X

Hàm số y = sin X được xác định trong khoảng X = ( - oo,+co) và giá trị củanó lấp đầy đoạn Y = [ - l , l ]

Đường song song với trục X cất đường sin, tức đồ thị của hàm số y=sin X tại một tập

vô hạn các điểm, nói một cách khác mỗi giá trị y e [-1,1] sẽ ứng với một tập vô hạn các

giá trị của X Vì vậy, hàm ngược mà ta kí hiệu là x=arcsin y, sẽ là hàm đa trị Thôngthường ta chí xét một “nhánh” của hàm số đó ứng với X biến thiên giữa và f Mỗi

giá trị y e [— l,l]sẽ ứng với một giá trị x e [ - f , f ] , nó được ký hiệu bằng: x= arcsin y vàgọi là nhánh chính của hàm : Arcsin y

Bằng cách lấy đối xứng đường sin qua đường phân giác thứ nhất ta được đồ thị của

Ta có công thức cho tất cả các giá trị của hàm ngược :

Hàm số y= arccotg X là một đơn ánh tập x = ( 0 , ^r) lên tập ỵ = ( - o c , + oo) nên có

hàm ngược là X=arccotg y, y e (- co, + co), X 6 x= (0, 7r).