Bài tập toán cao cấp tập 3, phép tính giải tích nhiều biến số

LỜI NÓI ĐẦUQuyên bài tập này trinh bày lời giải của các bài tập đả ra trong quyên Toán học cao cấp tập ba, phép tính giải tích nhiều biến số.. Như chúng ta đả biết, trong học toán, giữa

NGUYỄN ĐiNH TRÍ (Chu biên.ì

LỜI NÓI ĐẦU

Quyên bài tập này trinh bày lời giải của các bài tập đả ra trong quyên Toán học cao cấp tập ba, phép tính giải tích nhiều biến số Một

s ố bài tập khác đả được bỗ sung vào.

Như chúng ta đả biết, trong học toán, giữa việc hiêu sâu sác lý thuyết và làm thành thạo các bài tập có m ột môi quan hệ mật thiết Chính trong quá trình học lý thuyết rồi làm các bài tập, từ những bài tập vận dụng đơn giản lý thuyết đến những bài tập ngày càng khó hơn, chúng ta dần dần hiểu được các khái niệm toán học mới, nắm được các phương pháp cơ bản, nhớ được các kết quả cơ bản.

Đối với các bạn sinh viên dùng quyên sách này, chúng tôi khuyên các bạn hãy tự m ình giải các bài tập đả ra trong giáo trinh và cỉu xem lời giải trong quyển sách này đê kiêm tra lại, tự m inh đánh giá kết quả học tập của minh Mong rằng quyên sách này giúp các bạn học tốt hơn và tìm được những lời giải hay hơn.

Quyên sách này viết lần đầu nên không tránh khỏi các sai sót Chúng tôi mong nhận được ỷ kiến đóng góp của độc giả Xin chân thành cảm ơn.

CÁC TÁC GIẢ

V

u = X + y , V = x y

8 Tim vi phân toàn phần của các hàm số

a) z = sin (x2 + y2) ; b) z = ex (cosy + xsiny)

c) z = lntg ^ ; d) z = arctg “— ^

X X2z ’x + xyz’y = yz

X

X X

7

f) (V39 - 3/ĩ 2 4 ) 3

10 Tính đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phưrcmg trình sau:

a) x^y — y^x = a4, tính y ’ ;

b) xe^ + yex - exy = 0, tính y ’ ;

Ị’ V

à*’

u = X + z

y + z trong đó z là hàm số ẩn xác định bởi hệ thức

zez = xex + ye-v Tính u’x, u’y

F(cx - az, cy - bz) = 0 (c / 0) Chứng minh rằng

az’x + bz’y = c e) z = z(x, y) là hàm số ẩn xác định bởi hệ thức

X2 + y 2 + z 2 = y f ( y ) ,

Trong đó f là một hàm số khả vi Chúng minh rằng

(x2 - y2 - z2) z’x + 2xyz’y = 2xz f) Tính đạo hàm của các hàm số ẩn y(x), z(x) xác định bởi hệ phương trình

X + y + z = 0

2 , 2 , 2 _ 1

X + y + z = 1 g) y = y(x) là hàm số ẩn xác định bởi hệ thức

9

*c

X3 + y 3 - 3xy - 1 = 0 Tìm khai triển hữu hạn đến cấp 3 của y(x) ở lân cận của điểm

14 a) Tìm hàm số u(x, y) thỏa m ãn phương trình u",^ = 0

b) Tìm hàm số u (x , y) thỏa m ãn phưòng trình u" 2 = 0

c) Tìm hàm sô" u(x, y, z) thỏa m ãn phương trình = 0

d) Tìm hàm sô' u(x, y), b iết rằng

= 1 2 x 2y + 2 , u'y = X4 - 3 0 x y 5 , u(0, 0) = 1, u (l, 1) = - 2 e) Tìm hàm sô' u(x, y), b iết rằng

phương trinh

Au : = 2 + 2 + 2 (phương trình Laplace trong R/5).

c) Cùng câu hỏi như câu b) với hàm sô

c) Tính đạo hàm của hàm sô z = ln(x2 + y2) tại điểm M(3, 4)

theo hướng của vectơ g'raốz.

d) Tính đạo hàm của hàm số z = arcsin— z tại điểm

của bán kính vectơ r cúa điếm M(x, y, z) Vdi điều kiện nào đôì

vối các số dương a, b, c đạo hàm ấy bằng I gradu I ?

f) T ính đạo hàm của hàm sô"

u = —= ĩ 1

r y j x 2 +y 2 + z 2

theo hướng của vectơ 1 có các cosin chỉ hướng là (cosoc, cosß,

cosy) Khi nào đạo hàm ấy triệt tiêu?

20 a) Cho hàm sô' u = x2y2z2 Tính gradu và — tại M0(l, -1 , 3)

a ĩ biết rằng 1 được xác định bởi vectơ M0Mj với M^o, 1, 1).

- > ỡu b) Cho hàm sô u = xsinyz Xác định gradu và —=- tại M0( l, 3, 0)

dì

biết rằng 1 được xác định bởi vectơ v = i + 2 j - k

c) Xét hàm sô' z = xey tại điểm M0(2, 0) Tính vận tốc biến thiên

của hàm số đó theo hướng từ Mu đến M^õ, 4) Theo hướng nào thì

vận tốc biến thiên của z có giá trị tuyệt đối lớn nhất Tính giá trị ấy.

d) Tìm độ 1ỚĨ1 và hướng của gradu, u = X3 + y* + za - 3xyz tại điểm M0( l, 2, 1) Tại những điểm nào thì gradu vuông góc với trục Oz, tại những điểm nào thì gradu triệt tiêu.

21 Chứng m inh rằng a) N ếu u lf u 2 là hai hàm số' khả vi, Clỹ C2 là hai hằng sô" thì

b) K hai triển hàm sô' f(x, y) = xy (x > 0) theo công thức Taylor

ở lân cận điểm M0( l, 1) đến các sô' hạng bậc 3.

13

23 Tìm cực trị của các hàm số

a) z = 4(x - y) - - y2 ; b) z = + xy + y2 4- X — 'y ' + 1 c) z = X + y - xe7 ; d) z = 2x4 + y 4 — X2 - 2y2!

e) z = xyln (x2 4- ỳ 2) ; f) z = x y \ / 1 - - ^“7, a > co b > 0

a2 b2 g) z = (x - y)2 + (x + y )a ; h) z = x2(x + 1) + y :*

= X4 + y4 - 2 (x - y)2 ; j) z = x2y3 (3x + 2y + 1)

24 Tính giá trị lớn nhất và bé nhát của hàm số

a) z = X2 - y2 trong miền D xác định bởi + y 2, < 4 •

b) z = X2 + y2 trong miền D xác định bởi

Do đó f(x, y) -*• 0 khi (x, y) (0, 0) theo mọi đường thẳng y = kx Điều đó không có nghĩa là giới hạn phải tìm bằng 0 Thật vậy, cho

V - ỳ 0 Ị Ả A 7 £

e) f(x, y) = -— Jt— (1 — cosy) xác định Vy 0 Theo công

r

17

1 - cosy = ^- + 0 (y2) khi y -* o

Do đó

f(x, y) = (1 + X2 + y2) ( 2 + 0 (!) ) khi y “*■ 0 Vậy

lim f(x, y) =

-(X, y) - (0, ü)

f) f(x, y) = x ^ — xác định V(x, y) * (0, 0).

xz - xy + yz Khi đó X2 — xy 4- y2 > 0 Một mặt, ta có f(x, x) = Xa + ß ~ 2 nên nếu a + ß - 2 < 0 thì giói hạn đả cho không tồn tại; mặt khác,

nếu a < 0, hoặc ß < 0, thì không tồn tại lim f(x, y )

(X, y) - (0, 0)

Bây giờ ta xét trường hợp a + ß — 2 > o, a > 0, ß > 0 Đặt

k =max ( IXI, |y I ) Ta CÓ \xa yß\ < + ß

9 9 / y \ 2 3y2 / x \ 2 3x2

VỈ x 2 - x y + y 2 = ( x - J ) + ^ - = ( y - | ) + ^

9 9.1 3k2 nên I yr - xy + I >

Do đó I f(x, y) I < ^ ktt + fi - 2

(X, y) - (0, 0) Nếu a + jS - 2 = 0 thì

ý

o : X - y X + y zsin —T“1 cos —■—

_1 _ 4xy2 y2 2x2 I / x2 - 7 (x2 + y2)2 X V X4 - y*

r x = y v :i - 1 , f y = xy3 3y2 lux

Các đạo hàm riêng f x(x, y), fy(x, y) tồn tại tại mọi (x, y) (0, 0) Bây giờ xét tại (0, 0) Ta có Vx ^ 0, f(x, 0) = x^sin ■—

Tương tự ta được fy (0, 0) = 0 Vậy các đạo hàm riêng f x(x, y), fy(x,y) tồn tại trên RẴ Với (x, y) * (0, 0) ta có

Với (x, y) ^ (0, 0), các đạo hàm riêng f X(x, y), f y ( x , y) đều tồn tại

c) Hàm số f(x, y) = xarctg liên tục tại mọi X 7* 0 Ta có

Vx * 0

|f ( x ,y ) | < | x | |

Do đó f(x, y) -> 0 = f(0, y) khi X -+ 0 Vậv f(x, v) củng liên tục tại

X = 0, suy ra f(x, y) liên tục trên R 2.

Với X ^ 0, các đạo hàm riêng fX>(x, y), fy(x, y) đều tổn tại và liên tục

Bây giờ xét tại X = 0 Nếu V 5É 0, ta có

f x(0, y) = lim f^h; y) ” f ( ° ’ ^ = lim arctg ( f ) 2 = f

d) Hàm số f(x5 y) = xs-ny — y^inx liên tục tại mọi (x, y) * (0, 0).

Do đó khi (x, y) -> (0, 0) thì f(x, y) -> 0 = f(0, 0), hàm số f(x, y) củng liên tục tại (0, 0), vậy nó liên tục trên R 2.

Với (x, y) ^ (0, 0), các đạo hàm riêng f X(x, y), fy(x, y) đều tồn tại

và liên tục.

Bạn đọc hãy chứng minh rằng không tồn tại các giói hạn

lim f x(x, y) , lim f y(x, y).

(X, y) - ( 0 0 ) ( x , y ) -> ( 0 0 )

Như vậy hàm số f(x, y) liên tục trên R/% các đạo hàm riêng

f x(x,y), f y(x,y) tồn tại trên R2 nhung chỉ liên tục trên R 2\(0 , 0).

5 a) Ta có

r*(x, y) = ^ z f — ^

(x + (y2 - x2)sinx + x(x2 + y )cosy - 2xysiny ( y 2 — X2 ) siny - y (x^ + y2) cosx + 2xysinx

d) z’u = ev — v e _u, z’v = uev + e _u,

u’x = ex, u’y = 0, v ’x = 2xy, Vy = X2

Do đó

z’x = (e^ 2 - yx2e “e ) ex + (exe>oc + e “e ) 2xy

Zy = (exeyx2 + e" eX) X2 •

7 a) Theo công thúc tính đạo hàm của hâm số họp, nếu thực hiện phép đổi biến số u = X + y, V = X + 2y, ta có

z = f(x + 2y) b) Đổi biến số u = X + y, V = xy Ta có

z X 2 u ^ y z V ) z u “f x z V

Thế vào phương trình đả cho, ta được

(x - y )z’u = (x - y) (x + y) hay

z’u = u Lấy nguyên hàm theo u hai vế của phương trình ấy, ta được

1 + ( X

X2 + y 2

* _ X e) z = ey + e x

= — Vx y^dx + (2y Vĩc^ — 3 V z î ) dy —

i) u = xe? + yez + zex

Do đó

u’x = & 4- zex, Uy = ez + xey, u’z = ex + yez

du = (e57 + zex) dx + (ez + xe?) dy + (ex + yez) dz •

ta được f ( l + Ax, 1 + Ay) ~ f(l, 1) + f x(l, 1) Ax + fy(x, y) Ay

c) Xét hàm số f(x, y) = V 9x2 + y2 Ta cần tính

V 9 (1,95)^ + (8,1)^ = f(2 + Ax, 8 + Ay), trong đó Ax = - 0 , 0 5 , Ày = 0,1 v ì

ta được f(2 4- Àx, 8 4- Ày) « f(2, 8) + f x(2, 8) Ax + fy(2, 8) Ay

3 BTTCCT3-A

X2 + y2 ’ ■ y'"’ ■" X2 + y2

f(l + Ax, 1 + Ay) * f(l, 1) + f , ( l , 1) Ax + f y( l, 1) Ay =

= arctg 1 - 2 ( - °>05) + 2 (0’02)

= - + 0,035 « 0,785 + 0,035 = 0,82 4

f) Xét hàm số f(x, y) = (Vx — Vỹ)3 Ta cần tính

(v W - V IM )3 = f(100 + Ax , 125 + Ay), trong đó Àx = - 1, Ay = - 1 Ta CÓ

( x - y)y’ = X + y Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức này, ta được

(x - y ) y ” + (1 - y ’)y’ = 1 + y ’

35

9 / X + y \ 2 2 ( x 2 + y ^ )

( x - y ) y ” = l + y >2= l + ( “ ) = ^

' X — y ' X — y Vậy

F’y(x, y, z) = 3y2 - 3zx F’z(x, y, z) = 3z2 - 3xy

F ’y(x y, z) = 2xyza + 2x3yz — 1 F’z(x, y, z) = 3xy2z2 + x3y2 - 1

„ , 1 - y2z3 - 3 x V z , 1 - 2xyz3 - 2x3yz

F ’x(x> y, z) = e? -f zex

Fy(x, y, z) = + z F*z(x, y, z) = y + ex

F(x, y, z) = y2zex+y - sin (xyz) = 0 F’x(x, y, z) = y2zex+y - yzcos (xyz) F’y(x, y, z) = 2yzex+y + y2zex+y — zxcos (xyz) F’z(x, y, z) = y2ex+y - xycos (xyz)

Do đó

z (yex+y — cos (xyz))

yex + y _ xcos (xyz)

z [y (y + 2) e ,x+y _ xcos (xyz)]

y [yex+y — xcos (xyz)]

38

11 a) Ta có f(0,02; 0,99) = f(0 + Ax, 1 + Ay), trong đó

Ax = 0,02, Ay = - 0,01 Theo công thức tính gần đúng bằng vi phân toàn phần, ta có

f(0 + Ax, 1 + Ay) ~ f(0, 1) + f x(0, 1) Ax + f y(0, 1) Ay thế X = 0, y = 1 vào phương trình

ta được f(0, 1) = 0 Lấy đạo hàm theo X hai vế của phưưong trình (*),

ta được

z Z z’x z’x - ey - xey — = 0

y

39

, _ (y+z)(l+z'x )-(x+z)z'x

(y+z) ( y - x ) z ' x +(y+z)_ y - x 1

u 'v =

(y+z) (y+z)z'y -(x+z)(l+z'y )

(y+z)2

-, z x +

M ặt khác, lấy đạo hàm theo X hai v ế của hệ thức

zez = xex + yey , ta được (zez + e z)z'x = x ex + ex »

F y(x, y, z) =

-F ’z(x, y, z) = 2z +

9 ’ X

d) Lần lượt lấy đạo hàm theo X rồi lấy đạo hàm theo y hai v ế của hệ thức

F(u, V) = 0 , trong đó

c-a z'x - b z ' x

- a z 'y c -b z 'y hay

c2 - cbz'y - acz'x + abz'xz'y - abz'xz'y = 0 •

2y + 2zz'y = f z

vYý

f _ ^

z + y f

y +

(2x + 2zz'x)(z - yz'y) + (2y + 2zz',)yz'x = yf Nhưng theo giả thiết

Xác định hai hàm số ẩn y = y(x), z = z(x) Lấy đạo hàm theo X

hai vê các phương trình trên, ta được

y' (x)+z’(x) = - l

yy' ( \ ) +zz' ( x) = - X Giải hệ phương trình ấy đôl với y'(x), z'(x), ta được

F(x, y): = X3 + y3 - 3xy - 1 = 0 ,

ta được y = 1 VÌ

F’y(x, y) = ßy2 - 3x, F’y(0, 1) = 3 ^ 0, nên hệ thức F(x, y) = 0 xác định một hàm số

ẩn y = y(x) trong một lân cận u của điểm X = 0 Nó có đạo hàm mọi cáp trong lân cận ấy Khai triển hữu hạn đến cấp 3 của nó trong lân

3y2(0) y ’(0) = 3y(0) hay y ’(0) = 1.

Lấy đạo hàm hai vế hệ thức (*), ta được

6x + 6yy’ + 3y2y ’’ - 6y’ - 3xy,# = 0 (**) Thế X = 0 vào hệ thức (**), ta được y ”(0) = 0 Lại lấy đạo hàm hai vế hệ thức (**), ta được

6 + 6y’2 + 6yy” + 6yy’y ” + 3 y V ” - 9 y ” - 3xy” ’ = 0 (***)

Thế X = 0 vào hệ thức (***)y ta được y ”’(0) = - 4.

Vậy khai triển hừu hạn đến cấp 3 của y(x) trong lân cận u của điểm X = 0 là

2

y(x) = 1 + X - - X3 + 0(x3)

o

Chú thích: Câu này còn có thể giải bằng cách khác Ta viết khai

triển hữu hạn của y(x) trong lân cận u dưới dạng

Nhưng (1 + SLịX + a2X2 + a*3X3 + 0(x3));^ = 1 4 - a:ịx3 + 3apc +

+ 3a2x2 + 3afx2 + 3a3x3 + 0(x3)

- 3 x ( l + apc + a2x^ + a3x 3 + 0(x3)) = — 3x — 3aÌX? - 3a2x3 + 0(x3)

ai - 1 = 0

a2 + a l “ a l = 0

1 + a*J — 3a2 + 3a*} = 0

2

Nghiệm của hệ phương trình ấy là ai = 1, a2 = 0, a3 = —

Vậy khai triển hữu hạn phải tìm là

3

E u

45

đạo hàm mọi cấp trong lân cận ấy vì F(x, y) có đạo hàm riên g mọi

cấp Khai triển hữu hạn đến cấp 3 của nó trong u có dạng

y(x) = ajX + a2x2 + a3x3 + 0(x3) (Vì y(0) = 0) Thế biểu thức ấy vào hệ thức F(x, y) = 0, ta được

2

T h ế các biểu thức ấy vào hệ thức (*), t.a được

ajX2 + a2x 3 + 1 1 (1 + aj)x a2x2 a3x3

f y(x, y) = cos(x + y) + sin(x - y)

f 2 (x,y) = -sin (x + y) - cos(x - y)

47

f"xy(x, y) = -sin (x + y) + cos(x - y)

f” „2 (x,y) = - sin(x + y) - cos(x - y).

r < * , ) = - £ * * _

, / Ü W ) d) f(x, y) = x2ln(x + y)

f \ (x,y) = lny(lny - l) x lny' 2 ,

f xy(x,y) = —f In y.xlny_1 In x + x lny.

(In x - 1 )

h) f(x, y) = cos(ax + e y)

f x(x, y) - -sin (a x + ey).a ,

Tử các kết quả ấy, ta được

r> í \ - C” Í \ y4 + 3 x V + 4xy3

r xy(x, y) = r yx(x, y) =

( x + y ) 4 Khi (x, y) -*• (0, 0) dọc theo trục hoành, f ’ Xỵ ( x , y) -> o

Khi (x, y) -> (0, 0) dọc theo đường y = X, f ’Xy(x, y) ^ 0

Do đó f ’Xy ( x , y) và f ’yx(x, y) gián đoạn tại (0, 0) •

= lim - — = -1 k->0 k

Ta cũng có kết luận như ở câu trên.

14 a) Vì u"xy = (u'J'y = 0, nên u'x không phụ thuộc y, hay

u'x = f(x) ,

trong đó f là một hàm số tùy ý Do đó

u(x, y) = F(x) + G(y), trong đó F(x) là một hàm sô khả vi tùy ý (vì là nguyên hàm của

hàm s ố tùy ý f(x)), G(y) là một hàm số tùy ý (G(y) đóng vai trò của

hằng sô' tùy ý khi lấy tích phân đối với x).

b) Từ hệ thức

u * 2 = « ) ' x =0 ,

ta suy ra

u ’x = f ( y ) ,

trong đó f là một hàm sô tuỳ ý Do đó

u(x, y) = xf(y) + g(y) ,

g là một hàm sô" tùy ý.

c) Từ hệ thức

u l y z = « y ) ' z = 0 >