Bài tập toán cao cấp tập 3 part 7 docx

sˆo´ Taylor cu’a h`am fx... Ta nˆeu ra dˆay hai phu.o.ng ph´ap khai triˆe’n h`am th`anh chuˆo˜i l˜uy th`u.a... vˆa.y chuˆo˜i hˆo.i tu... Khai triˆe’n arctgx v`a su... D- i.nh l´y Dirichl

cˆ` n lˆa´y dˆe’ tˆo’ng cu’a ch´a ung v`a tˆo’ng cu’a chuˆo˜i tu.o.ng ´u.ng sai kh´ac nhau

mˆo.t da.i lu.o ng khˆong vu.o t qu´a sˆo´ δ cho tru.´o.c

33. X

(−1)n−1 1

2n2, δ = 0, 01 (DS N o = 7)

13.3 Chuˆ o ˜i l˜ uy th` u.a

13.3.1 C´ ac di.nh ngh˜ıa co ba’n

Chuˆo˜i l˜uy th`u.a dˆo´i v´o.i biˆe´n thu c x l`a chuˆo˜i da.ng

trong d´o c´ac hˆe sˆo´ a0, a1, , a n , l`a nh˜u.ng h˘a`ng sˆo´ B˘a`ng ph´ep dˆo’i

biˆe´n x bo ’ i x − a t`u (13.6) thu du.o c (13.7) Do d´o dˆe’ tiˆe.n tr`ınh b`ay

ta chı’ cˆ` n x´et (13.6) l`a du’ (t´a u.c l`a xem a = 0).

Chuˆo˜i (13.6) luˆon hˆo.i tu ta.i diˆe’m x = 0, c`on (13.7) hˆo.i tu ta.i x = a.

Do d´o tˆa.p ho p diˆe’m m`a chuˆo˜i l˜uy th`u.a hˆo.i tu luˆon luˆon 6= ∅

Dˆo´i v´o.i chuˆo˜i l˜uy th`u.a bˆa´t k`y (13.6) luˆon luˆon tˆ` n ta.i sˆo´ thu co

R : 0 6 R 6 +∞ sao cho chuˆo˜i d´o hˆo.i tu tuyˆe.t dˆo´i khi |x| < R v`a

phˆan k`y khi |x| > R Sˆ o´ R d´ o du.o c go.i l`a b´an k´ınh hˆo.i tu cu’a chuˆo˜i

(13.6) v`a khoa’ng I(R) = (−R, R) du.o c go.i l`a khoa’ng hˆo.i tu cu’a chuˆo˜i

l˜uy th`u.a (13.6)

B´an k´ınh hˆo.i tu R cu’a chuˆo˜i l˜uy th`u.a c´o thˆe’ t´ınh thˆong qua c´ac

hˆe sˆo´ cu’a n´o bo.’i mˆo.t trong c´ac cˆong th´u.c

R = lim n→∞

|an|

ho˘a.c

R = lim n→∞

1

n

p

nˆe´u gi´o.i ha.n o’ vˆe´ pha’i cu’a (13.8) v`. a (13.9) tˆ` n ta.i.o

D- i.nh ngh˜ıa 13.3.1 Ngu.`o.i ta n´oi r˘a`ng h`am f(x) khai triˆe’n du.o c

th`anh chuˆo˜i l˜uy th`u.a P

f (n) (x0)

n! (x − x0)

n +

f (n) (x0)

du.o c go.i l`a c´ac hˆe sˆo´ Taylor cu’a h`am f(x).

3+ Khi x0 = 0, chuˆo˜i Taylor

f (0) + f

0(0)1! x + · · · +

du.o c go.i l`a chuˆo˜i Maclaurin

13.3.2 D - iˆ `u kiˆ e e.n khai triˆe’n v`a phu o.ng ph´ap khai

triˆ e’n

D- i.nh l´y 13.3.1 (Tiˆeu chuˆa’n khai triˆe’n) H`am f(x) khai triˆe’n du.o c

th` anh chuˆ o ˜i l˜ uy th` u.a

X

n>0

a n x n

trˆ en khoa’ng (−R, R) khi v` a chı’ khi trˆ en khoa’ng d´ o h` am f (x) c´ o da o

h` am mo i cˆ a´p v` a trong cˆ ong th´ u.c Taylor

f (x) = f (0) + f

0(0)1! x + · · · +

f (n)(0)

n! x

n + Rn(x) phˆ ` n du R a n(x) → 0 khi n → ∞ ∀x ∈ (−R, R).

Trong thu c h`anh ngu.`o.i ta thu.`o.ng su.’ du.ng dˆa´u hiˆe.u du’ nhu sau

D- i.nh l´y 13.3.2 Dˆe’ h`am f(x) khai triˆe’n du.o c th`anh chuˆo˜i l˜uy th`u.a

X

n>0

a n x n , x ∈ (−R, R)

diˆ `u kiˆe.n du’ l`a trˆen khoa’ng d´o h`am f(x) c´o da.o h`am mo.i cˆa´p v`a c´ac e

da o h` am d´ o bi ch˘a.n, t´u.c l`a ∃ M > 0 : ∀ n = 0, 1, 2, v`a ∀ x ∈

(−R, R) th`ı

|f (n) (x)| 6 M.

Ta nˆeu ra dˆay hai phu.o.ng ph´ap khai triˆe’n h`am th`anh chuˆo˜i l˜uy

th`u.a

1 Phu.o.ng ph´ ap I (phu.o.ng ph´ap tru c tiˆe´p) gˆo`m c´ac bu.´o.c sau:a) T´ınh c´ac hˆe sˆo´ theo cˆong th´u.c (13.11)

b) Ch´u.ng to’ r˘a`ng lim

P

n>0

x n n! , x ∈ R.

= 1 +X

n>1

α n

!

= C n α nˆe´u α ∈ N.

Nhu vˆa.y chuˆo˜i hˆo.i tu b´o.i −1 < x < 1.

2+ Ta c`on cˆ` n kha’o s´at su hˆo.i tu cu’a chuˆo˜i ta.i c´ac dˆaa ` u m´ut cu’a

khoa’ng hˆo.i tu

Do d´o chuˆo˜i d˜a cho phˆan k`y ta.i diˆe’m x = −1 (khˆong tho’a m˜an diˆe`u

kiˆe.n cˆa` n !)

n n

Gia’i ´Ap du.ng cˆong th´u.c (13.8) ta c´o

R = lim n→∞

V´ ı du 4 Khai triˆe’n h`am 1

4 − x th`anh chuˆo˜i l˜uy th`u.a ta.i lˆan cˆa.n diˆe’m

x0 = 2 (c˜ung t´u.c l`a: theo c´ac l˜uy th`u.a cu’a hiˆe.u x − 2 hay chuˆo˜i l˜uy

th`u.a v´o.i tˆam ta.i diˆe’m x0 = 2)

Gia’i Ta biˆe´n dˆo’i h`am d˜a cho dˆe’ c´o thˆe’ ´ap du.ng khai triˆe’n ba’ng:

h

1 +x − 2

2

+x − 2

Nhˆ a n x´ et Ba.n do.c c˜ung dˆe˜ d`ang thu du.o c khai triˆe’n trˆen dˆay

b˘a`ng phu.o.ng ph´ap tru c tiˆe´p

V´ ı du 5 Khai triˆe’n h`am f (x) = sin πx

4 th`anh chuˆo˜i Taylor v´o.i tˆam

V´ ı du 6 Khai triˆe’n h`am f (x) = ln 1 + x

1 − x th`anh chuˆo˜i Maclaurin

B˘a`ng c´ach biˆe´n dˆo’i (trong tru.`o.ng ho p cˆa` n thiˆe´t) sao cho c´o thˆe’ ´ap

du.ng c´ac khai triˆe’n ba’ng dˆe’ khai triˆe’n h`am f(x) th`anh chuˆo˜i l˜uy th`u.a

v´o.i tˆam ta.i diˆe’m x0 H˜ay chı’ ra b´an k´ınh hˆo.i tu cu’a chuˆo˜i

7 f (x) = e−x

2, x0 = 10 (DS e−5 P

n>0

(−1)n n!

n

n , R = +∞)

12

X

n>0

(−1)n (2x) 2n+1 (2n + 1)! , R = +∞)

20 f (x) = x

2+ x + 1 (x − 1)(x + 2) , x0 = 0.

Su.’ du.ng phu.o.ng ph´ap da.o h`am ho˘a.c t´ıch phˆan cu’a chuˆo˜i l˜uy th`u.a

dˆe’ khai triˆe’n h`am f (x) th`anh chuˆo˜i l˜uy th`u.a v´o.i tˆam x0 = 0 v`a chı’

Chı’ dˆ a ˜n Khai triˆe’n arctgx v`a su ’ du.ng hˆe th´u.c arcctgx = π

24 f (x) = arc sin x. (DS x + P

n>1

(2n − 1)!!x 2n+1 (2n)!!(2n + 1) , R = 1)

Ap du.ng c´ac phu.o.ng ph´ap th´ıch ho p dˆe’ khai triˆe’n h`am f(x) th`anh

chuˆo˜i l˜uy th`u.a v´o.i tˆam ta.i x0 v`a chı’ ra b´an k´ınh hˆo.i tu cu’a chuˆo˜i

30 f (x) = e x−1 , x0 = 4 (DS e3 P (x − 4) n

n! , R = +∞)

n , R = +∞)

33 f (x) = 2 x e x−1 , x0 = 1 (DS 2P

n>0

(ln 2 + 1)n n! (x − 1)

n , R = +∞)

34 f (x) = sin 3x, x0 = π

4.(DS

√22

13.4.1 C´ ac di.nh ngh˜ıa co ba’n

(t´u.c l`a t´ıch phˆan theo doa.n d´o cu’a t´ıch hai h`am kh´ac nhau bˆa´t k`y cu’a

hˆe b˘a`ng 0)

D - i.nh ngh˜ıa 13.4.1 1) Chuˆo˜i h`am da.ng

2) Chuˆo˜i lu.o ng gi´ac (13.14) du.o c go.i l`a chuˆo˜i Fourier cu’a h`am

f (x) theo hˆe lu.o ng gi´ac co so.’ (13.13) (go.i t˘a´t l`a chuˆo˜i Fourier) nˆe´uc´ac hˆe sˆo´ cu’a n´o du.o c t´ınh theo cˆong th´u.c

13.4.2 Dˆ a ´u hiˆ e.u du’ vˆe ` su hˆo.i tu cu’a chuˆo˜i Fourier

Dˆa´u tu.o.ng ´u.ng “∼” trong hˆe th´u.c (13.16) c´o thˆe’ thay b˘a`ng dˆa´u d˘a’ngth´u.c nˆe´u h`am f (x) tho’a m˜an dˆa´u hiˆe.u du’ sau dˆay vˆe` khai triˆe’n h`amth`anh chuˆo˜i Fourier

D- i.nh l´y Dirichlet Gia’ su.’ f(x) l`a h`am tuˆa`n ho`an chu k`y T (go.i l`a

h` am T -tuˆ ` n ho` a an), f (x) v` a f0

(x) ho˘ a c liˆ en tu c kh˘ a ´p no.i ho˘ a c liˆ en tu c t` u.ng kh´ uc (t´ u.c l` a chı’ c´ o mˆ o t sˆ o´ h˜ u.u ha n diˆ e’m gi´ an doa n loa i I trong

mˆ o ˜i chu k`y).

Khi d´ o chuˆ o ˜i Fourier cu’a h`am f(x) hˆo.i tu v´o.i mo.i x dˆe´n tˆo’ng S(x)

v` a

1) Ta i mo i diˆ e’m liˆ en tu c cu’a h` am f (x), chuˆ o ˜i hˆo.i tu dˆe´n ch´ınh

h` am f (x) t´ u.c l` a S(x) = f (x).

2) Ta i mo i diˆ e’m gi´ an doa n, chuˆ o ˜i hˆo.i tu dˆe´n nu.’a tˆo’ng c´ac gi´o.i

ha n mˆ o t ph´ıa bˆ en tr´ ai v` a bˆ en pha’i cu’a h` am, t´ u.c l` a

S(x0) = f (x0+ 0) + f (x0− 0)

2 , x0 l` a diˆ e’m gi´ an doa n.

3) Nˆ e´u f (x) liˆ en tu c kh˘ a ´p no.i th`ı chuˆ o ˜i Fourier cu’a n´o hˆo.i tu tuyˆe.t

dˆ o´i v` a dˆ `u e

C´o hai tru.`o.ng ho p d˘a.c biˆe.t sau dˆay:

1) Nˆe´u f (x) l`a h`am ch˘a˜n, t´u.c l`a f(x) = f(−x) ∀ x th`ı bn = 0

∀ n > 1 v`a chuˆo˜i Fourier cu’a n´o chı’ ch´u.a c´ac h`am cosin:

2) Nˆe´u f (x) l`a h`am le’, t´u.c l`a f (x) = −f (−x) ∀ x th`ı an = 0

∀ n = 0, 1, v`a chuˆo˜i Fourier cu’a n´o chı’ ch´u.a c´ac h`am sin:

Nˆe´u h`am f (x) chı’ x´ ac di.nh trˆen doa.n [a, b] ⊂ [−`, `] v`a khˆong x´ac

di.nh trˆen [−`, `] \ [a, b] th`ı c´o thˆe’ du ng h`am phu F (x) sao cho

trong d´o g(x) l`a h`am kha’ t´ıch t`uy ´y.

Sau d´o gia’ thiˆe´t F (x + 2`) = F (x) ∀ x ∈ R v`a thu du.o c h`am tuˆa` nho`an F (x) c´o chu k`y 2` Ph´ ep du ng h`am F (x) nhu vˆa.y du.o c go.i l`a

ph´ep th´ac trıˆe’n tuˆ` n ho`an f (x).a

H`am f (x) du.o c cho trˆen [0, `] c´o thˆe’ th´ac triˆe’n t`uy ´y sang khoa’ng

kˆ` [−`, 0] v`a do vˆa.y n´o du.o c biˆe’u diˆe˜n bo.’i c´ac chuˆo˜i Fourier kh´acenhau (m`a thu.`o.ng g˘a.p l`a chuˆo˜i Fourier chı’ ch´u.a ho˘a.c c´ac h`am cosinho˘a.c c´ac h`am sin)

Ta x´et hai tru.`o.ng ho p d˘a.c biˆe.t sau dˆay:

1) Chuˆo˜i Fourier theo c´ac h`am cosin thu du.o c khi th´ac triˆe’n ch˘a˜nh`am d˜a cho trˆen doa.n [0, `] sang khoa’ng kˆe ` [−`, 0] Trong tru.`o.ng ho p

n`ay dˆ` thi cu’a h`am F (x) dˆo´i x´u.ng qua tru.c tung.o

2) Chuˆo˜i Fourier theo c´ac h`am sin thu du.o c khi th´ac triˆe’n le’ h`amd˜a cho sang khoa’ng kˆ` [−`, 0) Trong tru.`o.ng ho p n`ay dˆoe ` thi cu’a h`am

F (x) l`a dˆo´i x´u.ng qua gˆo´c to.a dˆo

Gia’ su.’ h`am f (x) liˆ en tu.c trˆen doa.n [−`, `] v`a f(−`) = f(`) v`a a0,

a n, bn, n ∈ N l`a c´ac hˆe sˆo´ Fourier cu’a h`am f(x) Khi d´o ta c´o d˘a’ng

2 +

X

n>1 (a2n + b2n ). (13.17)

D˘a’ng th´u.c (13.17) du.o c go.i l`a d˘a’ng th´u.c Parseval

C ´ AC V´ I DU . V´ ı du 1 Khai triˆe’n h`an f (x) = signx, −π < x < π th`anh chuˆo˜iFourier v`a su.’ du.ng khai triˆe’n ˆa´y dˆe’ t`ım tˆo’ng cu’a chuˆo˜i Leibnitz

X (−1)n 2n + 1 ·

Gia’i. Nhu vˆa.y ta pha’i khai triˆe’n h`am d˜a cho theo hˆe co so.’

{1, cos πx, sin πx, cos 2πx, sin 2πx, }.

Gia’i 1) Dˆe’ khai triˆe’n h`am f (x) th`anh chuˆo˜i Fourier theo c´ac h`am

cosin, ta thu c hiˆe.n ph´ep th´ac triˆe’n ch˘a˜n h`am f(x) = x, x ∈ [0, 1] sang

doa.n kˆe` [−`, 0] v`a thu du.o c h`am f∗

(x) = |x|, x ∈ [−`, `] T`u d´o th´actriˆe’n 2`-tuˆ ` n ho`an h`am fa ∗

(x) ra to` an tru.c sˆo´ Hiˆe’n nhiˆen h`am f∗(x)

liˆen tu.c ∀ x ∈ R Ta c´o:

2) Dˆe’ khai triˆe’n h`am f (x) theo c´ac h`am sin, ta thu c hiˆe.n ph´ep

th´ac triˆe’n le’ h`am f (x) = x, x ∈ [0, `] sang doa.n kˆe ` [−`, 0] v`a thu du.o c

h`am f∗(x) = x, x ∈ [−`, `] T`u d´o th´ac triˆe’n 2`-tuˆ ` n ho`an h`am fa ∗(x)

ra to`an tru.c sˆo´ H`am d˜a du.o c th´ac triˆe’n tho’a m˜an di.nh l´y Dirichlet

Gia’i H` am f (x) l`a h`am ch˘a˜n nˆen n´o khai triˆe’n du.o c th`anh chuˆo˜i

Fourier theo c´ac h`am cosin Ta c´o

n2

i

, n ∈ N.

n2 cos nx = 0 v´o.i n = 2m − 1

cosnπ2

n2 cos nx = (−1)

m 4m2 cos 2mx, n = 2m N

B ` AI T ˆ A P

Khai triˆe’n h`am th`anh chuˆo˜i Fourier trˆen doa.n (khoa’ng) d˜a cho v`a

trong mˆo.t sˆo´ tru.`o.ng ho p h˜ay su.’ du.ng khai triˆe’n thu du.o c dˆe’ t´ınh

tˆo’ng cu’a chuˆo˜i sˆo´:

9 f (x) = x cos x, x ∈ (0, π) T´ınh tˆo’ng chuˆo˜i P

n2 )

4 v´o.i x0 =

π

2)

16 f (x) = x − [x] = {x} - phˆ ` n thˆa.p phˆan cu’a sˆo´ x.a

tr`ung v´o.i h`am f (x) trˆ en khoa’ng (3, 5).

n cu’a chuˆo˜i Fourier cu’a h`am 2π-tuˆa ` n ho`an f (x) Ch´u.ng minh r˘a`ng

·

Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an

14.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an cˆ a ´p 1 225

14.1.1 Phu.o.ng tr`ınh t´ach biˆe´n 226

14.1.2 Phu.o.ng tr`ınh d ˘a’ng cˆa´p 231

14.1.3 Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 237

14.1.4 Phu.o.ng tr`ınh Bernoulli 244

14.1.5 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan to`an phˆ` n 247a 14.1.6 Phu.o.ng tr`ınh Lagrange v`a phu.o.ng tr`ınh Clairaut 255

14.2 Phu.o.ng tr` ınh vi phˆ an cˆ a ´p cao 259

14.2.1 C´ac phu.o.ng tr`ınh cho ph´ep ha thˆa´p cˆa´p 260

14.2.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p 2 v´o.i hˆe sˆo´ h˘a`ng 264

14.2.3 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh thuˆ` na nhˆa´t cˆa´p nnn (ptvptn cˆa´p nnn) v´o.i hˆe sˆo´ h˘a`ng 273 14.3 Hˆ e phu o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p 1 v´ o.i hˆ e sˆo´ h˘a `ng 290

14.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an cˆ a ´p 1

Trong mu.c n`ay ta x´et c´ac phu.o.ng tr`ınh vi phˆan thu.`o.ng cˆa´p 1, t´u.c l`a

phu.o.ng tr`ınh da.ng F (x, y, y0) = 0 ho˘a.c du.´o.i da.ng gia’i du.o c v´o.i y0 l`a

y0= f (x, y).

H`am kha’ vi y = ϕ(x) du.o..c go.i l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh vi

phˆan nˆe´u khi thay n´o cho ˆa’n h`am cu’a phu.o.ng tr`ınh ta s˜e thu du.o c

dˆ` ng nhˆa´t th´o u.c

Nghiˆ e.m tˆo’ng qu´at cu’a phu o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p 1: y0

= f (x, y)

trong miˆ`n D ⊂ Re 2 l`a h`am y = ϕ(x, C) tho’a m˜an c´ac t´ınh chˆa´t sau:

1+ N´o l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh d˜a cho ∀ C thuˆo.c tˆa.p ho p n`ao

d´o;

2+ V´o.i mo.i diˆe`u kiˆe.n ban dˆa` u y(x0) = y0 sao cho (x0, y0) ∈ D chı’

c´o mˆo.t gi´a tri duy nhˆa´t C = C0 l`am cho nghiˆe.m y = ϕ(x, C0) tho’a

m˜an diˆ`u kiˆe.n ban dˆae ` u d˜a cho

Mo.i nghiˆe.m y = ϕ(x, C0) nhˆa.n du.o c t`u nghiˆe.m tˆo’ng qu´at y =

ϕ(x, C) ´u.ng v´o.i gi´a tri cu thˆe’ C = C0 du.o c go.i l`a nghiˆe.m riˆeng.

B`ai to´an t`ım nghiˆe.m riˆeng cu’a phu.o.ng tr`ınh y0

= f (x, y) tho’a m˜andiˆ`u kiˆe.n ban dˆae ` u y(x0) = y0 du.o c go.i l`a b`ai to´an Cauchy

Tuy nhiˆen, ta c`on g˘a.p nh˜u.ng phu.o.ng tr`ınh vi phˆan c´o c´ac nghiˆe.m

khˆong thˆe’ thu du.o c t`u nghiˆe.m tˆo’ng qu´at v´o.i bˆa´t c´u gi´a tri C n`ao.

Nghiˆe.m nhu vˆa.y go.i l`a nghiˆe.m k`y di (bˆa´t thu.`o.ng!) Ch˘a’ng ha.n phu.o.ng

tr`ınh y0=p

1 − y2 c´o nghiˆe.m tˆo’ng qu´at y = sin(x + C) v`a h`am y = 1

c˜ung l`a nghiˆe.m nhu.ng khˆong thˆe’ thu du.o c t`u nghiˆe.m tˆo’ng qu´at v´o.i

bˆa´t c´u gi´a tri C n`ao D´o l`a nghiˆe.m k`y di

14.1.1 Phu.o.ng tr`ınh t´ ach biˆ e´n

Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p 1 da.ng

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

du.o..c go.i l`a phu.o.ng tr`ınh t´ach biˆe´n nˆe´u c´ac h`am P(x, y) v`a Q(x, y)

phˆan t´ıch du.o c th`anh t´ıch c´ac th`u.a sˆo´ m`a mˆo˜i th`u.a sˆo´ chı’ phu thuˆo.cv`ao mˆo.t biˆe´n:

f1(x)f2(y)dx + ϕ1(x)ϕ2(y)dy = 0. (14.1)

Dˆe’ t´ıch phˆan phu.o.ng tr`ınh n`ay ta cˆ` n chia 2 vˆe´ cu’a phu.o.ng tr`ınha

(14.1) cho f2(y)ϕ1(x) 6= 0 v`a thu du.o c

Trong ph´ep chia dˆe’ c´o (14.2), c´o thˆe’ l`am mˆa´t nghiˆe.m cu’a c´ac

phu.o.ng tr`ınh f1(y) = 0 v` a ϕ1(x) = 0 Do vˆa.y dˆe’ thu du.o c to`an bˆo.nghiˆe.m cu’a (14.1) ta cˆa` n ho p nhˆa´t v`ao (14.3) c´ac khˆong diˆe’m cu’a h`am

C ´ AC V´ I DU . V´ ı du 1 Gia’i phu.o.ng tr`ınh py2+ 1dx = xydy.

Gia’i. D´o l`a phu.o.ng tr`ınh da.ng (14.1) Chia hai vˆe´ cho t´ıch

V´ ı du 2 Gia’i phu.o.ng tr`ınh (x2

− 1)y0+ 2xy2 = 0, y(0) = 1.

Gia’i Dˆ` u tiˆen ta t`ım nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a phu.o.ng tr`ınh Ta c´oa

T`u tˆa.p ho p mo.i du.`o.ng cong t´ıch phˆan thu du.o c ta t`ım du.`o.ng

cong qua diˆe’m (0, 1) Thay x = 0 v` a y = 1 v`ao (14.4) ta c´o C = −1.

Nhu vˆa.y h`am

1 + ln |x2− 1|

l`a nghiˆe.m cu’a b`ai to´an Cauchy d˜a cho N

V´ ı du 3 Gia’i phu.o.ng tr`ınh (1 + e x )yy0= e x , y(0) = 1.

Thay x = 0 v` a y = 1 v`ao (14.5) ta thu du.o c nghiˆe.m riˆeng

T`u diˆ`u kiˆe.n ban dˆae ` u suy r˘a`ng y > 0 (y

x=0 = 1 > 0) do vˆa.y tru.´o.c

dˆa´u c˘an ta lˆa´y dˆa´u + Nhu vˆa.y nghiˆe.m riˆeng cˆa` n t`ım l`a

v`a t`u d´o phu.o.ng tr`ınh d˜a cho c´o da.ng

V`ı khi gia’i phu.o.ng tr`ınh ta d˜a chia hai vˆe´ cho 1 + cos z Do vˆa.y,

cˆ` n kiˆe’m tra xem c´o mˆa´t nghiˆe.m hay khˆong V`ı 1 + cos z = 0 ⇔ za n =

(2n + 1)π, n ∈ Z Thˆ e´ zn v`ao phu.o.ng tr`ınh ta thˆa´y zn l`a nghiˆe.m cu’aphu.o.ng tr`ınh d˜a cho Tro.’ vˆe` biˆe´n c˜u ta c´o nghiˆe.m:

y = −x + 2arctg(x + C) + 2nπ,

y = −x + (2n + 1)π. N

B ` AI T ˆ A P

Gia’i c´ac phu.o.ng tr`ınh sau

1 (1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0 (DS arctgx + arctgy = C)

x

ln23

− 18−y

ln 18 = C)

16 (y + xy)dx + (x − xy)dy = 0 (DS x − y + ln |xy| = C)



= 21

y− 1

)

14.1 .3 Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 2 37

14.1.4 Phu.o.ng tr`ınh Bernoulli 244

14.1.5 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan to`an phˆ` n 247a 14.1.6 Phu.o.ng...

ln23

− 18−y

ln 18 = C)

16... t´ınh theo cˆong th´u.c

13. 4.2 Dˆ a ´u hiˆ e.u du’ vˆe ` su hˆo.i tu cu’a chuˆo˜i Fourier

Dˆa´u tu.o.ng ´u.ng “∼” hˆe th´u.c ( 13. 16) c´o thˆe’ thay b˘a`ng dˆa´u