Bài tập toán cao cấp tập 3 part 10 ppt

vˆa.y, nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a hˆe... phu.o.ng tr`ınh th´u.. phu.o.ng tr`ınh th´u... Mˆo.t phu.o.ng tr`ınh vi phˆan da.o h`am riˆeng bao gi`o... thuˆo.c mˆo.t dˆo´i sˆo´.. c´ac nghiˆe

Nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a (14.70)c´o da.ng

y = C1 e 2t + C2e −3t

V`ı x = y − dy

dt ⇒ x = −C1e

2t + 4C2e −3t.Nhu vˆa.y, nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a hˆe (14.69) l`a

298 Chu.o.ng 14 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan

trong d´o C1 v`a C2 l`a nh˜u.ng h˘a`ng sˆo´ t`uy ´y Thˆe´ (14.72) v`ao (14.71)

ta thu du.o c nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a phu.o.ng tr`ınh d˜a cho

dt =

y

t − xy

2 Gia’i 1) Cˆo.ng vˆe´ v´o.i vˆe´ hai phu.o.ng tr`ınh cu’a hˆe., ta du.o c

2) Nhˆan hai vˆe´ cu’a phu.o.ng tr`ınh th´u nhˆa´t v´o.i y, cu’a phu.o.ng tr`ınh

th´u hai v´o.i x, rˆ` i cˆo.ng c´ac phu.o.ng tr`ınh thu du.o c, ta c´oo

y = C1t

x =

C1 C2 te

−C1t2

2.

Ngo`ai ra nˆe´u x = 0 th`ı t`u phu.o.ng tr`ınh th´u hai ta du.o c y = Ct

v`a nˆe´u y = 0 th`ı t`u phu.o.ng tr`ınh th´u nhˆa´t ta c´o x = C N

y = C1 sin t − C2 cos t + C3e t ,

z = C1 cos t + C2 sin t + C3e t

dt = 4y − 2x, x(0) = 0, y(0) = −1.

dt = 3x + 4y, x(0) = −1, y(0) = 2.

dt = −y − 2x + cos t + sin t, x(0) = 1, y(0) = 2.

dt = −3x + 2y + 6e

2x ,

(DS

(

x = 2e 2t + C1e t + C2 e −t ,

y = 9e 2t + 3C1e t + C2e −t )

Chu.o.ng 15

15.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an cˆ a ´p 1 tuyˆ e´n t´ ınh

dˆ o ´i v´ o.i c´ ac da.o h` am riˆ eng 306 15.2 Gia ’ i phu.o.ng tr`ınh d a.o h`am riˆeng cˆa´p 2

d o.n gia ’ n nhˆ a ´t 310 15.3 C´ ac phu.o.ng tr` ınh vˆ a.t l´ y to´ an co ba ’ n 313

15.3.1 Phu.o.ng tr`ınh truyˆ`n s´e ong 31415.3.2 Phu.o.ng tr`ınh truyˆ`n nhiˆe.t 317e15.3.3 Phu.o.ng tr`ınh Laplace 320

T` ai liˆ e.u tham kha’o 327

D˘a’ng th´u.c ch´u.a ˆa’n h`am (cu’a nhiˆ`u biˆe´n dˆo.c lˆa.p), ch´u.a c´ac biˆe´ne

dˆo.c lˆa.p v`a c´ac da.o h`am riˆeng cu’a ˆa’n h`am theo c´ac biˆe´n dˆo.c lˆa.p d´odu.o c go.i l`a phu.o.ng tr`ınh vi phˆan da.o h`am riˆeng

Cˆa´p cao nhˆa´t cu’a da.o h`am riˆeng hiˆe.n diˆe.n trong phu.o.ng tr`ınh

du.o..c go.i l`a cˆa´p cu’a phu.o.ng tr`ınh Mˆo.t phu.o.ng tr`ınh vi phˆan da.o

h`am riˆeng bao gi`o c˜ung pha’i ch´u.a ´ıt nhˆa´t mˆo.t trong c´ac da.o h`am

riˆeng cu’a ˆa’n h`am

Mˆo.t h`am c´o c´ac da.o h`am riˆeng tu.o.ng ´u.ng (v´o.i gia’ thiˆe´t ch´ung liˆen

tu.c) m`a khi thˆe´ v`ao phu.o.ng tr`ınh da.o h`am riˆeng th`ı phu.o.ng tr`ınh d´o

tro.’ th`anh dˆ` ng nhˆa´t th´o u.c du.o c go.i l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh d´o.

Qu´a tr`ınh t`ım nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh da.o h`am riˆeng du.o c go.i l`a

ph´ ep t´ıch phˆ an phu.o.ng tr`ınh da.o h`am riˆeng Thˆong thu.`o.ng viˆe.c t´ıch

phˆan mˆo.t phu.o.ng tr`ınh da.o h`am riˆeng s˜e cho ph´ep thu du.o c mˆo.t ho

nghiˆe.m phu thuˆo.c v`ao c´ac h`am t`uy ´y ch´u khˆong pha’i c´ac h˘a`ng sˆo´ t`uy

´

y nhu trong tru.`o.ng ho p phu.o.ng tr`ınh vi phˆan thu.`o.ng

Nˆe´u phu.o.ng tr`ınh ch´u.a ˆa’n h`am z chı’ phu thuˆo.c hai biˆe´n dˆo.c lˆa.p

x v` a y th`ı nghiˆ e.m z = z(x, y) cu’a n´o tu.o.ng ´u.ng v´o.i mˆo.t m˘a.t n`ao

d´o trong khˆong gian (x, y, z) M˘a.t n`ay du.o c go.i l`a m˘a.t t´ıch phˆan cu’a

phu.o.ng tr`ınh d˜a cho

Dˆo´i v´o.i tru.`o.ng ho p khi ˆa’n h`am phu thuˆo.c hai biˆe´n dˆo.c lˆa.p c´ac

phu.o.ng tr`ınh sau dˆay du.o c xem l`a nh˜u.ng phu.o.ng tr`ınh co ba’n:

1+ Phu.o.ng tr`ınh truyˆ`n s´onge

∂2u

∂t2 = a2∂

2u

∂x2 ,

(dˆay l`a phu.o.ng tr`ınh da.ng hypecbolic)

2+ Phu.o.ng tr`ınh truyˆ`n nhiˆe.te

306 Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆe` phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng

Phu.o.ng ph´ap thu.`o.ng d`ung dˆe’ gia’i c´ac phu.o.ng tr`ınh trˆen dˆay l`aphu.o.ng ph´ap Fourier

Dˆ` u tiˆen, t`ım c´ac nghiˆe.m riˆeng cu’a phu.o.ng tr`ınh d˜a cho du.´o.i da.ngat´ıch c´ac h`am m`a mˆo˜i h`am chı’ phu thuˆo.c mˆo.t dˆo´i sˆo´ Sau d´o xuˆa´t ph´att`u c´ac diˆ`u kiˆe.n go.i l`a diˆee `u kiˆe.n biˆen ngu.`o.i ta x´ac di.nh c´ac gi´a tri cu’a

c´ac h˘a`ng sˆo´ t`uy ´y ch´u.a trong c´ac nghiˆe.m riˆeng d´o Sau c`ung nghiˆe.m

cˆ` n t`ım (tho’a m˜an phu.o.ng tr`ınh v`a c´ac diˆea `u kiˆe.n biˆen) thu du.o c du.´o.ida.ng chuˆo˜i lˆa.p nˆen t`u c´ac nghiˆe.m riˆeng d´o

15.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an cˆ a ´p 1 tuyˆ e´n

t´ınh dˆ o ´i v´ o.i c´ ac da.o h`am riˆeng

Gia’ su.’ x´et phu.o.ng tr`ınh

X1 ∂z

∂x + X2

∂z

trong d´o X1, X2, R l`a c´ac h`am cu’a x, y, z Nˆe´u biˆe´n z khˆong tham

gia trong X1, X2 v`a R ≡ 0 th`ı (15.1) du.o..c go.i l`a phu.o.ng tr`ınh thuˆa`nnhˆa´t Trong tru.`o.ng ho p ngu.o c la.i (15.1) go.i l`a phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ ` n nhˆ a a´t.

Trong tru.`o.ng ho p thuˆa` n nhˆa´t

dy X2 =

dz

Gia’ su.’ nghiˆe.m cu’a hˆe d´o du.o c x´ac di.nh bo.’i c´ac d˘a’ng th´u.c

ω1(x, y, z) = C1, ω2 (x, y, z) = C2.

Khi d´o nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a (15.1) c´o da.ng

Φ[ω1(x, y, z), ω2(x, y, z)] = 0.

trong d´o Φ(ω1, ω2) l`a h`am kha’ vi liˆen tu.c t`uy ´y

Nˆe´u trong phu.o.ng tr`ınh v´o.i hai biˆe´n dˆo.c lˆa.p

Nˆe´u ψ(x, y) l`a t´ıch phˆan cu’a n´o th`ı nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a (15.4) l`a

z = F (ψ(x, y))

trong d´o F l`a h`am kha’ vi liˆen tu.c t`uy ´y Trong tru.`o.ng ho p phu.o.ngtr`ınh (15.4) v´o.i hai biˆe´n dˆo.c lˆa.p b`ai to´an Cauchy c´o nˆo.i dung nhu.sau: T`ım nghiˆe.m z = f(x, y) sao cho z(x0) = ϕ(y).

308 Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆe` phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng

C ´ AC V´ I DU . V´ ı du 1 T`ım nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a phu.o.ng tr`ınh

= 0hay l`a

1 Trong c´ ac d´ ap sˆ o´ ta bo’ qua cu.m t`u “ trong d´o ψ, ϕ, l`a nh˜u.ng h`am kha’

vi liˆ en tu.c t`uy ´y.”

310 Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆe` phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng

)

V´ ı du 1 T`ım nghiˆe.m tˆo’ng qu´at cu’a phu.o.ng tr`ınh da.o h`am riˆeng

(ptdhr)

∂2z(x, y)

∂x2 = 0trong d´o z(x, y) l`a ˆa’n h`am cu’a biˆe´n dˆo.c lˆa.p

C1(y)dx = xC1(y) + C2 (y)

trong d´o C1(y), C2(y) l`a nh˜u.ng h`am t`uy ´y cu’a y Nˆe´u h`am thu du.o c

hai lˆ` n kha’ vi theo x th`ıa ∂

312 Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆe` phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng

V´ ı du 3 Gia’i phu.o.ng tr`ınh

Trong phu.o.ng tr`ınh n`ay da.o h`am riˆeng ∂z

∂y c´o thˆe’ xem nhu da.o h`amthˆong thu.`o.ng theo y, c` on x du.o c xem l`a tham sˆo´

Gia’i c´ac phu.o.ng tr`ınh sau.

15.3 C´ ac phu.o.ng tr`ınh vˆ a.t l´ y to´ an co ba ’ n

Dˆo´i v´o.i tru.`o.ng ho p khi ˆa’n h`am phu thuˆo.c hai biˆe´n dˆo.c lˆa.p c´ac phu.o.ng

tr`ınh vˆa.t l´y to´an sau dˆay du.o c xem l`a nh˜u.ng phu.o.ng tr`ınh co ba’n

1+ Phu.o.ng tr`ınh truyˆ`n s´onge

∂2u

∂t2 = a2∂

2u

314 Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆe` phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng

2+ Phu.o.ng tr`ınh truyˆ`n nhiˆe.te

15.3.1 Phu.o.ng tr`ınh truyˆ `n s´ e ong

B` ai to´ an co ba’n T`ım nghiˆe.m riˆeng cu’a phu.o.ng tr`ınh (15.7) tho’am˜an c´ac diˆ`u kiˆe.n biˆen v`a diˆe`u kiˆe.n ban dˆae ` u sau:

i) Diˆ`u kiˆe.n biˆen: (1) u(0, t) = 0; (2) u(`, t) = 0.e

ii) Diˆ`u kiˆe.n ban dˆae ` u: (1) u(x, 0) = ϕ1(x); (2) ∂u(x, 0)

∂t = ϕ2(x). Gia’i ´Ap du.ng phu.o.ng ph´ap Fourier dˆa` u tiˆen ta t`ım nghiˆe.m riˆengcu’a phu.o.ng tr`ınh d˜a cho du.´o.i da.ng t´ıch hai h`am m`a mˆo.t h`am chı’ phu.thuˆo.c x, c`on h`am kia chı’ phu thuˆo.c t:

Vˆe´ tr´ai cu’a (15.11) khˆong phu thuˆo.c t, vˆe´ pha’i khˆong phu thuˆo.c x.

Diˆ`u d´o chı’ xˆa’y ra khi ca’ hai vˆe´ cu’a (15.11) khˆong phu thuˆo.c ca’ x lˆa˜ne

t t´u.c l`a b˘a`ng mˆo.t h˘a`ng sˆo´ K´y hiˆe.u h˘a`ng sˆo´ d´o l`a −λ2

trong d´o A, B, C, D l`a nh˜u.ng h˘a`ng sˆo´ t`uy ´y T`u (15.12), (15.13) v`a

0 = A cos λ` + B sin λ` ⇒ sin λ` = 0 (v`ı B 6= 0 khi A = 0).

T`u d´o ta x´ac di.nh du.o c tham sˆo´ λ = nπ

` , n = 1, 2, l`a tham sˆo´ t`uy

´

y Lu.u ´y r˘a`ng nˆe´u trong (15.12) v`a (15.13) thay cho −λ2 ta lˆa´y +λ2

th`ı X = Ae −λx + Be λx v`a dˆo´i v´o.i h`am X da.ng n`ay c´ac diˆe`u kiˆe.n i) v`a

ii) chı’ du.o..c tho’a m˜an khi X ≡ 0.

Nhu vˆa.y mˆo˜i gi´a tri λ (hay n) dˆe`u tu.o.ng ´u.ng v´o.i nghiˆe.m riˆeng

`

trong d´o α n = B n C n , β n = B n D n l`a c´ac h˘a`ng sˆo´ t`uy ´y

V`ı phu.o.ng tr`ınh d˜a cho l`a tuyˆe´n t´ınh v`a thuˆ` n nhˆa´t nˆen tˆo’ng c´aca

nghiˆe.m c˜ung l`a nghiˆe.m Do d´o tˆo’ng cu’a chuˆo˜i

`

(15.15)c˜ung l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh d˜a cho v`a n´o tho’a m˜an c´ac diˆe`u kiˆe.n

biˆen

316 Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆe` phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng

Dˆe’ x´ac di.nh α n v`a β n ta s˜e ´ap du.ng c´ac diˆe`u kiˆe.n ban dˆa` u: khi

t = 0 th`ı u(x, t) = ϕ1(x) nˆen

ϕ1(x) =

∞X

C´ac d˘a’ng th´u.c (15.16) v`a (15.17) l`a khai triˆe’n cu’a c´ac h`am ϕ1(x) v`a

ϕ2(x) th`anh chuˆo˜i Fourier trong khoa’ng (0, `) C´ac khai triˆe’n n`ay chı’

ch´u.a h`am sin C´ac hˆe sˆo´ cu’a khai triˆe’n du.o c t´ınh theo cˆong th´u.c

1 (i) C´ac diˆ`u kiˆe.n ban dˆae ` u

(i) u(x, 0) = sin 4πx

15.3.2 Phu.o.ng tr`ınh truyˆ `n nhiˆ e e.t

B` ai to´ an co ba’n T`ım nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh

∂u

∂t = a

2∂2u

∂x2

318 Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆe` phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng

tho’a m˜an c´ac diˆ`u kiˆe.ne

Bˆay gi`o ´ap du.ng diˆe`u kiˆe.n 1) ta c´o: u(x, 0) = ϕ(x):

Nhu vˆa.y tˆo’ng chuˆo˜i (15.20) v´o.i hˆe sˆo´ t´ınh theo vˆong th´u.c (15.21) l`a

nghiˆe.m riˆeng tho’a m˜an c´ac diˆe`u kiˆe.n d˜a cho N

2 Gia’i phu.o.ng tr`ınh (15.22) v´o.i c´ac diˆ`u kiˆe.ne

u(x, 0) = f (x); u(0, t) = A, u(`, t) = B; A, B − const.

Chı’ dˆ a ˜n Du.a v`ao ˆa’n h`am m´o.i

v(x, t) = u(x, t) − B − A

` x − A.

320 Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆe` phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng

Khi d´o (15.22) tro.’ th`anh ∂v

3 T`ım nghiˆe.m u(x, y) cu’a phu.o.ng tr`ınh ∂u

∂y =

∂2u

∂x2 tho’a m˜an c´ac diˆ`uekiˆe.n biˆen u(0, y) = u(π, y) = 0 v`a diˆe`u kiˆe.n ban dˆa` u u(x, 0) = 3 sin 2x.

(DS u(x, y) = 3e −4y sin 2x)

H`am u(x, y) du.o c go.i l`a h`am diˆe`u h`oa trong miˆe`n ph˘a’ng D nˆe´u n´o

c´o c´ac da.o h`am riˆeng liˆen tu.c cˆa´p 2 trˆen D v`a trˆen D n´o tho’a m˜an

ta pha’i cho nh˜u.ng diˆ`u kiˆe.n bˆo’ sung Dˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh Laplaceenh˜u.ng diˆ`u kiˆe.n bˆo’ sung d´o du.o c ph´at biˆe’u du.´o.i da.ng diˆe`u kiˆe.n biˆen,et´u.c l`a cho nh˜u.ng hˆe th´u.c m`a nghiˆe.m cˆa` n t`ım pha’i tho’a m˜an trˆen biˆen

Diˆ `u kiˆe.n do.n gia’n nhˆa´t trong sˆo´ d´o l`a cho gi´a tri cu’a h`am diˆe`u h`oa e

cˆ` n t`ım ta.i mˆo˜i diˆe’m biˆen cu’a miˆe`n Ngu.`o.i ta go.i b`ai to´an n`ay l`a b`aiato´an biˆen th´u nhˆa´t hay b`ai to´an Dirichlet

B`ai to´an biˆen cu’a phu.o.ng tr`ınh Laplace du.o c d˘a.t ra nhu sau Gia’

su.’ miˆe`n D ⊂ R2

v´o.i biˆen ∂D l`a du.`o.ng cong d´ong H˜ay t`ım h`am

u(x, y) liˆ en tu.c trong D = D ∪ ∂D sao cho

a) Tho’a m˜an phu.o.ng tr`ınh Laplace trong D.

b) Tho’a m˜an diˆ`u kiˆe.n biˆene

u(x, y)

(x,y)∈∂D = f (x, y),

trong d´o f (x, y) l`a h`am du.o..c cho trˆen biˆen ∂D.

B`ai to´an v`u.a nˆeu c`on du.o c go.i l`a b`ai to´an Dirichlet Trong gi´ao

tr`ınh n`ay ta chı’ x´et b` ai to´ an Dirichlet dˆ o´i v´ o.i h`ınh tr` on.

Bˆ o’ dˆ` 1 Trong to.a dˆo cu c (r, ϕ) phu.o.ng tr`ınh Laplace (15.23) c´oe

L`o.i gia’i cu’a b`ai to´an Dirichlet dˆo´i v´o.i h`ınh tr`on (c˜ung t´u.c l`a l`o.i

gia’i cu’a phu.o.ng tr`ınh Laplace (15.23) hay (15.24)) v´o.i diˆ`u kiˆe.n biˆene

cho tru.´o.c du.o c mˆo ta’ trong di.nh l´y sau dˆay

D- i.nh l´y Gia’ su.’ S l`a h`ınh tr`on do.n vi mo.’ v´o.i tˆam ta.i gˆo´c to.a dˆo v`a

gia’ su ’ trˆ en biˆ en ∂S cho h` am 2π-tuˆ ` n ho` a an liˆ en tu c f (θ), trong d´ o θ

l` a g´ oc cu . c cu’a c´ac diˆe’m biˆen cu’a ∂D.

Khi d´ o trong miˆ `n S = S + ∂S tˆ e ` n ta.i h`am duy nhˆa´t u(x, y) liˆen o

tu c trˆ en S v` a diˆ `u h` e oa trˆ en S sao cho u(x, y)

o

dθ, n = 0, 1, 2,

l` a c´ ac hˆ e sˆo´ Fourier cu’a h`am f(θ).

H`am diˆ`u h`oa c´o t´ınh chˆa´t d˘a.c biˆe.t l`a tho’a m˜an Di.nh l´y vˆee ` gi´ a tri.

trung b`ınh

D- i.nh l´y Nˆe´u h`am u(x, y) liˆen tu.c trong h`ınh tr`on d´ong tˆam O(0, 0)

v` a b´ an k´ınh R v` a diˆ `u h` e oa trong h`ınh tr` on d´ o th`ı gi´ a tri cu’a h`am

322 Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆe` phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng

u(x, y) ta i tˆ am h`ınh tr` on b˘ a `ng trung b`ınh cˆ o ng c´ ac gi´ a tri cu’a n´o trˆen du.` o.ng tr` on, t´ u.c l` a

V´ ı du 1 Ch´u.ng to’ r˘a`ng h`am u(x, y) = a(x2− y2) + bxy trong d´ o a, b

l`a c´ac h˘a`ng sˆo´ t`uy ´y, l`a h`am diˆ`u h`oa.e

V´ ı du 2 Ch´u.ng minh Bˆo’ dˆ` 1.e

Gia’i X´ et u(x, y) = u(r cos ϕ, r sin ϕ) Ta c´o

∂u

∂ϕ·

∂ϕ



− sin ϕ r

r2

∂u

∂ϕ+

sin2ϕ r

324 Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆe` phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng

Theo gia’ thiˆe´t

f (ϕ) = R cos ϕ · R sin ϕ + R cos ϕ − 1 = R

2

sin 2ϕ

2 + R cos ϕ − 1v`a do d´o

T`u diˆ`u kiˆe.n biˆen (15.26) thu du.o ce

2; tˆa´t ca’ c´ac sˆo´ c`on la.i dˆe`u b˘a`ng 0 Thˆe´

c´ac gi´a tri t`ım du.o c n`ay v`ao (15.27) ta thu du.o c nghiˆe.m

u(r, ϕ) = r2cos 2ϕ + 1

2r sin ϕ = r

2(cos2ϕ − sin2ϕ) + 1

T`ım gi´a tri cu’a h`am diˆe`u h`oa u(x, y) ta.i tˆam h`ınh tr`on x2+y2 6 R2

nˆe´u trˆen biˆen h`ınh tr`on n´o nhˆa.n c´ac gi´a tri chı’ ra:

326 Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆe` phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng

9 u(x, y) = 2 + 3y (DS u(0, 0) = 2)

Gia’i b`ai to´an Dirichlet dˆo´i v´o.i h`ınh tr`on x2+ y2 6 R2 nˆe´u cho c´acdiˆ`u kiˆe.n biˆen du.´o.i dˆay (10-11):e

[1] R Ph Apatenok Co so ’ Da.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh, Minsk, 1977 (tiˆe´ng

Nga)

[2] Ia S Bugrov, S M Nikolski Co so ’ Da.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh v`a H`ınh

ho c gia’i t´ıch, M 1988 (tiˆe´ng Nga)

[3] Ia S Bugrow, S, M Nikolski B` ai tˆ a p To´ an cao cˆ a´p, M 1987

(tiˆe´ng Nga)

[4] P E Danko v`a c´ac t´ac gia’ kh´ac B` ai tˆ a p to´ an cao cˆ a´p T1, 2 H`a

Nˆo.i 1983

[5] V˜u V˘an Khu.o.ng Da i sˆ o´ tuyˆ e´n t´ınh, H`a Nˆo.i 2002

[6] M L Krasnov v`a c´ac t´ac gia’ kh´ac B` ai tˆ a p phu o.ng tr`ınh vi phˆan thu.` o.ng, M 1978 (tiˆe´ng Nga)

[7] L D Kudriasev v`a c´ac t´ac gia’ kh´ac B` ai tˆ a p gia’i t´ıch T1, 2, M.

1985 (tiˆe´ng Nga)

[8] L Ia Okunev B` ai tˆ a p da i sˆ o´ cao cˆ a´p, M 1964 (tiˆe´ng Nga)

[9] L B Sneperman B` ai tˆ a p da i sˆ o´ v` a l´ y thuyˆ e´t sˆ o´, Minsk 1982

(tiˆe´ng Nga)

[10] V S Sipatchev B` ai tˆ a p to´ an cao cˆ a´p, M 1997 (tiˆe´ng Nga)

328 T` ai liˆ e.u tham kha’o

[11] I Ia Vilenkin v`a c´ac t´ac gia’ kh´ac B` ai tˆ a p gia’i t´ıch, T1, 2, M.

1971 (tiˆe´ng Nga)

[12] D K Phadeev, I S Sominski B` ai tˆ a p da i sˆ o´ cao cˆ a´p, M 1977.

[13] Nguyˆ˜n Thuy’ Thanh B`ai tˆa.p gia’i t´ıch, NXBGD, H`a Nˆo.i 2002.e[14] Nguyˆ˜n Thuy’ Thanh, Dˆo˜ D´e u.c Gi´ao Hu.´ o.ng dˆ a ˜n gia’i b`ai tˆa.p gia’i t´ıch to´ an ho c T1, 2, DHQG H`a Nˆo.i 1999

32 6 Chu.o.ng 15 Kh´ai niˆe.m vˆe` phu.o.ng tr`ınh vi phˆan d a.o h`am riˆeng

9 u(x, y) = + 3y (DS u(0, 0) =... tˆ a p to´ an cao cˆ a´p, M 1997 (tiˆe´ng Nga)