Tích phân p adic và hàm zeta p adic của đa thức hai biến

Lời cảm ơnSau quá trình nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ, động viên từ cácthầy giáo, cô giáo cùng với các bạn sinh viên trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đến nay bài khóa luận của em đã được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Lê Quý Thường

Hà Nội – Năm 2019

Lời cảm ơn

Sau quá trình nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ, động viên từ cácthầy giáo, cô giáo cùng với các bạn sinh viên trường Đại học sư phạm

Hà Nội 2 đến nay bài khóa luận của em đã được hoàn thành

Đặc biệt cho em xin được gửi lời cảm ơn chân thành, và bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới thầy Lê Quý Thường - người đã trực tiếpquan tâm và hướng dẫn em thực hiện đề tài nghiên cứu này Qua đây emcũng xin cảm ơn sự giúp đỡ của thầy cô trong khoa Toán trường Đại học

sư phạm Hà Nội 2 cùng với các thầy cô khoa Toán-Cơ-Tin học, trườngĐHKHTN-ĐHQGHN đã tạo điều kiện tốt nhất cho em trong suốt quátrình em thực hiện khóa luận

Dù bản thân đã rất cố gắng trong suốt quá trình nhưng do đây làlần đầu tiên được tiếp xúc với đề tài nghiên cứu khoa học, hơn nữa dođiều kiện về thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế nên phần trìnhbày của em không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được

sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng với các bạn sinh viên để bàikhóa luận của em được hoàn thiện hơn Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Hương

Lời cam đoan

Bài khóa luận là kết quả trung thực, khách quan dựa trên kiếnthức trong suốt quá trình học tập, tìm hiểu của bản thân em cùng với

sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của TS Lê Quý Thường Trong quátrình thực hiện bài nghiên cứu của mình, em có tham khảo một số tàiliệu được nêu rõ ở mục tài liệu tham khảo Em xin cam đoan bài khóaluận: “Tích phân p-adic và hàm zeta p-adic của đa thức hai biến”

là công trình nghiên cứu của riêng em, những kết quả thu được trong đềtài không trùng với bất kì tác giả nào khác Nếu sai em xin chịu hoàntoàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Hương

Mục lục

1.1 Số p-adic và trường p-adic Qp 5

1.2 Độ đo Haar trên nhóm compắc địa phương 14

2 Độ đo p-adic và tích phân p-adic 17 2.1 Độ đo p-adic 17

2.2 Tích phân p-adic 18

2.3 Giải kì dị và công thức đổi biến 24

3 Hàm zeta p-adic của đa thức hai biến trong Z[x, y] 27 3.1 Tích phân và hàm zeta p-adic của y2 − x3 27

3.1.1 Tích phân p-adic của y2 − x3 27

3.1.2 Hàm zeta p-adic của y2 − x3 31

3.2 Đa thức hai biến không suy biến 33

3.3 Phép giải xuyến 34

3.4 Phép giải xuyến chấp nhận được 38

Tài liệu tham khảo 40

Lời mở đầu

Tích phân p-adic là một chủ đề thú vị của Toán học hiện đại, cónhiều ứng dụng quan trọng đối với Đại số, Lý thuyết số và nhiều ngànhtoán học khác Nó phản ánh mối liên hệ sâu sắc giữa đại số và giải tích

- hai ngành lớn của Toán học

Tích phân p-adic ra đời từ những năm 1970 bởi các nghiên cứucủa nhà toán học người Nhật Bản Igusa Nó được phát triển rất mạnh

mẽ vào các thập niên 1980 và 1990 nhờ công của Denef và các nhà Toánhọc thuộc trường phái Bỉ và Pháp Điểm nổi bật nhất của lý thuyết này

là thông qua hàm zeta p-adic nó dự đoán một mối quan hệ sâu sắc giữa

số nghiệm của phương trình đa thức đồng dư modulo pn với hình họccủa đa thức đó, thể hiện trong Giả thuyết đơn đạo của Igusa Đến nay,việc giải giả thuyết này trong trường hợp tổng quát vẫn là thách thứclớn đối với các nhà hình học đại số và lý thuyết kì dị

Đặc biệt, chủ đề này chưa được quan tâm nghiên cứu nhiều ở ViệtNam, và đối với sinh viên ngành Toán nó vẫn còn rất mới lạ và gợi sự

tò mò

Chính vì lý do đó em đã chọn đề tài “Tích phân p-adic và hàmzeta p-adic của đa thức hai biến” nhằm có điều kiện được hiểu biết sâuhơn về vấn đề này

Nội dung của khóa luận gồm 3 chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trong chương này em trình bày

về trường các số p-adic Qp và độ đo Haar trên một tập compắc địaphương

Chương 2: Độ đo p-adic và tích phân p-adic: Trong chươngnày em trình bày về độ đo p-adic, tích phân p-adic, hàm zeta p-adic, giớithiệu phép giải kì dị và công thức đổi biến để tính tích phân p-adic

Chương 3: Hàm zeta p-adic của đa thức hai biến: Trongchương này em sẽ sử dụng giải kì dị để tính tích phân p-adic và hàmzeta p-adic của một số đa thức hai biến có kì dị.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Số p-adic và trường p-adic Qp

Cho p là một số nguyên tố Kí hiệu Q là trường các số hữu tỷ Với mỗiphần tử ab ∈ Q, tồn tại duy nhất một biểu diễn

a

b =

a1

b1 · pnsao cho n ∈ Z, và a1, b1 là hai số nguyên nguyên tố cùng nhau và cùngnguyên tố với p Khi đó ta định nghĩa hàm cấp p-adic bởi

Bổ đề 1.1 | · |p là một chuẩn phi Ácsimét trên Q

Chứng minh Theo định nghĩa, |x|p ≥ 0 với mọi x ∈ Q và |x|p = 0 khi

và chỉ khi x = 0 Mặt khác, với mọi x, y ∈ Q ta có

|xy|p = p−ordp (xy) = p−ordp x· p−ordp y = |x|p|y|p

Do đó để chứng minh bổ đề ta chỉ cần chỉ ra rằng

ordp(x + y) ≥ min {ordp(x), ordp(y)}

Thật vậy, viết x, y dưới dạng x = a1

b1·pn1, y = a2

b2·pn2, trong đó (a1, b1) = 1,(a2, b2) = 1 Khi đó ordpx = n1, ordpy = n2 và

x + y = a1

b1 · pn1 + a2

b2 · pn2.Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử n1 ≤ n2 Khi đó n2 = n1+ nvới n ∈ N, và

Do đó ordp(x + y) ≥ n1 = min{n1, n2} = min{ordpx, ordpy}

Nhận xét Nếu |x|p 6= |y|p thì |x + y|p = max{|x|p, |y|p}

Với hai phần tử bất kỳ x, y thuộc Q ta có thể định nghĩa khoảngcách p-adic của chúng như sau:

dp(x, y) = |x − y|p

Bổ đề sau là hiển nhiên

Bổ đề 1.2 Với mọi phần tử x, y, z thuộc Q ta có

dp(x, y) ≤ max {d(x, z), d(z, y)}

Hệ quả 1.3 Mọi tam giác trong Q là tam giác cân đối với khoảng cáchp-adic dp

Chứng minh Với mọi bộ ba số hữu tỷ đôi một phân biệt x, y, z ∈ Q ta

có dp(x, y) = |x − y|p, dp(x, z) = |x − z|p và dp(y, z) = |y − z|p Nếu

|x − y|p = |y − z|p, ta có một tam giác cân Nếu |x − y|p 6= |y − z|p,không mất tính tổng quát ta có thể giả sử |x − y|p < |y − z|p Khi đó,theo nhận xét sau Bổ đề 1.1,

|x − z|p = |(x − y) + (y − z)|p = max {|x − y|p, |y − z|p} = |y − z|p,

ta lại thu được một tam giác cân

Tính chất 1.1.1 Đầy đủ hóa Q theo dp(x, y) là một trường Qp, mởrộng của Q, sao cho mọi dãy Cauchy trong Qp đều hội tụ Trường Qp

được gọi là trường các số p-adic

Gọi C là tập hợp tất các các dãy Cauchy trên Q ứng với chuẩnp-adic | · |p Ta trang bị các phép toán trên C như sau:

• Phép cộng: {xn}n≥1 + {yn}n≥1 := {xn + yn}n≥1;

• Phép nhân: {xn}n≥1· {yn}n≥1 := {xnyn}n≥1

Khi đó (C, +, ·) là một vành giao hoán có đơn vị Thật vậy, gọi {xn}n≥1

và {yn}n≥1 là hai phần tử bất kì của C Khi đó, với mọi số thực ε > 0,tồn tại N0 ∈ N sao cho đối với mỗi cặp các số nguyên m, n > N0,

|xm − xn|p < ε, đồng thời tồn tại N1 ∈ N sao cho đối với mỗi cặp các

số nguyên m, n > N1, |ym− yn|p < ε Đặt N := max{N0, N1} ta có, vớimọi m, n > N ,

|(xm− ym) − (xn − yn)|p = |(xm − xn) − (ym − yn)|p

≤ max{|(xm− xn)|p, |(ym − yn)|p} < ε.Suy ra

Để chứng minh C đóng đối với phép nhân, trước hết ta chỉ ra rằngmọi dãy Cauchy đều bị chặn Thật vậy, với mọi dãy {an}n≥1 ∈ C, với mọi

số thực ε > 0, tồn tại N ∈ N sao cho, nếu m, n > N thì |am − an|p < ε.Mặt khác

o

= ε

2 < ε,tức là

N1 ∈ N sao cho |an|p ≥ c > 0 đối với n ≥ N1 Vì {an}n≥1 là dãy Cauchynên tồn tại N2 ∈ N sao cho |am − an|p < c đối với mọi m, n ≥ N2 Do

đó, với m, n > N := max{N1, N2},

|am − an|p < max{|am|p, |an|p} (1.4)Giả sử |am|p < |an|p Khi đó |am − an|p = |an|p, thay vào (1.4) ta có

|an|p < |an|p

Điều mâu thuẫn này chứng tỏ |am|p ≥ |an|p Đổi vai trò hai số cho nhau

ta thu được |an|p ≥ |am|p, vì vậy |an|p = |am|p với mọi m, n > N

an

nếu an 6= 0,

Q theo khoảng cách p-adic.

Quan sát rằng với mỗi số hữu tỷ a ∈ Q ta có một dãy hằng {a}n≥1

(hiển nhiên nó cũng là một dãy Cauchy) Xét ánh xạ

xác định bởi

Θ(a) = {a}n≥1 + M

Rõ ràng nếu Θ(a) = Θ(b) thì limn→∞|a − b|p = 0, do đó a = b, chứng tỏ

Θ là một đơn cấu trường Vì điều này ta có thể xem Q là một trườngcon của trường các số p-adic Qp

Theo định nghĩa, nếu α là một phần tử bất kỳ của trường Qp thì

α = {an}n≥1+ M, trong đó {an}n≥1 là một dãy Cauchy trên Q Như đãchứng minh sau (1.4), |an|p = |am|p với mọi số tự nhiên m, n đủ lớn Do

đó số hữu tỷ c := |an|p đối với mọi n đủ lớn mang một đặc trưng chophần tử α Ta có thể định nghĩa

|α|p := lim

Theo định nghĩa của M, |α|p không phụ thuộc vào đại diện {an}n≥1 của

lớp {an}n≥1 + M trong Qp.

Bổ đề 1.4 Ánh xạ | · |p : Qp → Q với |α|p xác định như trong (1.6) làmột chuẩn phi Ácsimét trên Qp

Chứng minh Tính phi Ácsimét của | · |p trên Qp được suy ra trực tiếp

từ tính phi Ácsimét của | · |p trên Q và định nghĩa (1.6)

Bây giờ chúng ta sẽ xét các tập con đặc biệt dưới đây của Qp:

Do đó |x + y|p ≤ max{|x|p, |y|p} ≤ 1 và |xy|p = |x|p|y|p ≤ 1, tức là

x + y, xy ∈ Zp Điều này chứng minh Zp là một vành con của trường Qp

Mặt khác, với mọi phần tử x ∈ Zp, với mọi α, β ∈ mp, ta có

|α + β|p ≤ max{|α|p, |β|p} < 1, |αβ|p = |α|p|β|p < 1, |xα|p = |x|p|α|p < 1

vì |α|p < 1 và |x|p ≤ 1 Do đó α + β, αβ và xα thuộc mp, tức là, mp làmột ideal của Zp

Xét vành thương

Zp/mp = {x + mp | x ∈ Zp} ≡ {x ∈ Qp | |x|p = 1}

Với đồng nhất này ta có thể xem mỗi phần tử khác không x ∈ Zp/mpnhư một phần tử x ∈ Qp với |x|p = 1 Vì Qp là một trường nên x khảnghịch trong Qp Hơn nữa, |x−1|p = 1

x

p = |x|1

p = 1 nên x−1 ∈ Zp/mp Do

đó x khả nghịch trong Zp/mp Hệ quả là, Zp/mp là một trường và mp làmột ideal cực đại của Zp

Để chứng minh mp là ideal cực đai duy nhất của Zp ta dùng phépphản chứng Giả sử I là một ideal thực sự tùy ý của Zp sao cho tồn tạimột phần tử α ∈ I với |α|p = 1 Khi đó |α−1|p = 1 hay α−1 ∈ Zp Từ đó

1 = α−1 · α ∈ I Suy ra I = Zp, mâu thuẫn với giả thiết I là một idealthực sự của Zp Vì thế với mọi α ∈ I ta có |α|p < 1, tức là, α ∈ mp Do

đó I ⊆ mp và mp là ideal cực đại duy nhất của Zp

Định nghĩa 1.6 Dãy {αn}n≥1 trong Qp có giới hạn p-adic là α ∈ Qp

nếu với mọi số thực ε > 0 tồn tại một số nguyên N = N (ε) > 0 sao cho

|αn− α|p < ε với mọi n ≥ N Dãy {αn}n≥1 như vậy còn được gọi là mộtdãy hội tụ p-adic trong Qp Ta kí hiệu

lim

n→∞

(p)

αn = α

Nhắc lại rằng, bởi vì ánh xạ Θ trong (1.5) là một đơn cấu vành nên

ta có thể đồng nhất mỗi phần tử a của Q với lớp của dãy hằng {a}n≥1

trong Qp

Mệnh đề 1.7 Với mọi α ∈ Zp, tồn tại dãy hội tụ p-adic {xn}n≥1 ⊆ Zsao cho α = limn→∞(p)xn Ngược lại, mọi dãy Cauchy trong Z đều cógiới hạn p-adic trong Zp

Chứng minh Ta viết α ∈ Zp qua một phần tử đại diện của nó như sau:

α = {an}n≥1 + M, trong đó {an}n≥1 là một dãy Cauchy trong Q Khi

đó tồn tại số hữu tỷ c và số nguyên N > 0 sao cho |an|p = c với mọi

n ≥ N Vì |α|p = limn→∞|an|p = c và α ∈ Zp nên c ≤ 1 Do đó, thay{an}n≥1 bằng một phần tử đại diện khác của α nếu cần, ta có thể giả sử

|an|p ≤ 1 với mọi n ≥ 1

Viết an = rn

s n với rn, sn ∈ Z \ {0} với mọi n ≥ 1 Ta có thể giả sử

sn không chia hết cho p Thật vậy, vì ordprn− ordpsn = ordpan ≥ 0 nênnếu sn = pls0n, với s0n không chia hết cho p, thì ordprn ≥ ordpsn = l, do

đó rn chia hết cho pl và ta có thể viết an = rn /p

s 0

n Bây giờ, vì sn khôngchia hết cho p nên phương trình đồng dư snz ≡ 1(mod pm) có nghiệmvới mọi số tự nhiên m Ta có thể chọn được một nghiệm z = unm thuộc{0, 1, , pm − 1} Chú ý rằng đẳng thức snunm ≡ 1(mod pm) tươngđương với

|snunm − 1|p ≤ 1

pm.Khi đó |an − rnunm|p = |rn

Ngược lại nếu {an}n≥1 ⊆ Z là dãy Cauchy, tức là tồn tại số tựnhiên N và số hữu tỷ dương c sao cho với mọi n > N thì |an|p = c < 1

và với mọi ε > 0 tồn tại N0 = N0(ε) sao cho với mọi l, n ≥ N0 thì

|al − an|p < ε Do đó xét dãy hằng {an}l≥1 và đặt α = [{an}l≥1] thìlim

trong Z sao cho α = limn→∞(p)xn Do đó với mọi n đủ lớn, |α − xn|p < 1.Biểu diễn xn dưới dạng xn = λnp + ξn với ξ thuộc {0, 1, , p − 1} thì

|α − ξn|p = |α − xn+ λnp|p ≤ max {|α − xn|p, |λnp|p} < 1

Chọn α0 = ξ ∈ {0, 1, , p − 1} thì

α−α 0

p

... với < /p>

pk < /p> Trang 22

2.2 Tích phân p- adic< /h3>< /p>

Cho A t? ?p Qnp< /small>... Qp< /small>[x1, · · · , xn] Hàm zeta p- adiccủa f định nghĩa sau < /p>

Z p< /small> < /p>

|xd|sp< /sub>|dµp< /sub>|p< /sub> = p. .. = ∅.< /p>

(b) Một t? ?p h? ?p K ⊆ X gọi compắc phủ mở Kđều chứa phủ hữu hạn < /p>

(c) X gọi không gian compắc địa phương x ∈ X < /p>

có lân cận compắc K chứa x < /p>

Ví dụ, Rn không