Toán tử tích phân loại hardy và các giao hoán tử của chúng trên một số không gian hàm tt

Trong tr÷íng hñp khæng gianHerz, n«m 2016, Chuong, Hung v Duong ÷a ra mët i·u ki»n c¦n cho t½nh bàch°n cõa giao ho¡n tû khi b thuëc khæng gian Lipschitz.. Hìn núa º ¡nh gi¡ t½nh bà ch°n

TÂM T•T LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC

H Nëi - 2019

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: 1 GS.TSKH Nguy¹n Minh Ch÷ìng 2

Câ thº t¼m hiºu luªn ¡n t¤i th÷ vi»n: Th÷ vi»n Quèc Gia, H Nëi

ho°c Th÷ vi»n Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi

ta x²t to¡n tû Riesz J cho bði cæng thùc h¼nh thùc

W (R ) ÷ñc nhóng li¶n töc v o trong L (R ), vîi 1 p q p , trong â

p1 = p1 d

Mët trong nhúng èi t÷ñng nghi¶n cùu ch½nh cõa luªn ¡n n y l nghi¶n cùu

(1) cho mët lîp to¡n tû t½ch ph¥n v giao ho¡n tû cõa chóng Lîp to¡n tû n ychùa üng ho°c câ mèi li¶n h» mªt thi¸t vîi nhi·u to¡n tû cê iºn quan trång nh÷to¡n tû Hardy, to¡n tû cüc ¤i Calderân, to¡n tû Riemann-Lioville tr¶n

÷íng th¯ng, tr÷íng hñp mët chi·u cõa to¡n tû J nâi tr¶n C¡c ÷îc l÷ñng d¤ng(1) khi â v¨n th÷íng gåi l b§t ¯ng thùc Hardy V· làch sû, b§t ¯ng thùc t½chph¥n Hardy v d¤ng ríi r¤c cõa nâ ra íi kho£ng nhúng n«m 1920, li¶n quan

¸n t½nh li¶n töc cõa to¡n tû trung b¼nh Hardy giúa c¡c khæng gian Lp Mëttrong nhúng ëng lüc ch½nh d¨n tîi c¡c k¸t qu£ â ÷ñc xu§t ph¡t tø b§t ¯ng thùcHilbert Nh to¡n håc Hilbert, trong khi nghi¶n cùu nghi»m cõa mët sè ph÷ìngtr¼nh t½ch ph¥n, d¨n tîi b i to¡n nghi¶n cùu t½nh hëi tö cõa chuéi k²p

P P

d¤ng n=1 m=1 m + n Trong b i b¡o n«m 1915 cõa m¼nh Hardy ¢ ch¿ ra sü hëi

To¡n tû Hardy l mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa lîp to¡n tû Hausdorff, xu§t hi»ntrong c¡c b i to¡n nghi¶n cùu t½nh kh£ têng cho chuéi sè, chuéi luÿ thøa vîic¡c cæng tr¼nh mang t½nh n·n mâng cõa Siskakis v cõa Liflyand-Mâricz.Tr¶n tr÷íng thüc, to¡n tû Hausdorff câ d¤ng sau

H ;A(f)(x) = Z

d

R

vîi l h m o ÷ñc tr¶n Rd v A = A(u) = (aij(u)) l ma trªn c§p d d0 trong

â aij(u) l h m o ÷ñc theo bi¸n u: °c bi»t, khi (u) = [0;1](u), A(u) = u th¼ H ;A trð

th nh to¡n tû Hardy cê iºn nh÷ ¢ · cªp ð tr¶n

Mët c¥u häi tü nhi¶n °t ra, vîi c¡c khæng gian X; Y n o v vîi c¡c i·u ki»n

n o cõa , ma trªn A th¼ (1) óng vîi T = H ;A Hìn núa, khi â th¼ h¬ng sè tètnh§t C trong (1) l bao nhi¶u? C¥u häi thù nh§t tø l¥u ¢ thu hót sü quan t¥mcõa nhi·u nh to¡n håc tr¶n th¸ giîi v câ thº ch¿ ra mët sè k¸t qu£ g¦n

¥y cõa K Andersen, E Liflyand, F Moricz, D.S Fan Tuy nhi¶n c¡c i·u ki»n c¦n v· t½nh bà ch°n ÷ñc ÷a ra ch÷a h¯n l i·u ki»n õ v c¥u häi v· h¬ng sè tèt nh§t trong méi tr÷íng hñp â ·u khæng d¹ tr£ líi Vîi c¥u häi thù hai v· vi»c x¡c ành h¬ng sè tèt nh§t trong c¡c ÷îc l÷ñng d¤ng (1) cho c¡c lîp to¡n tû trung b¼nh câ hai h÷îng: Thù nh§t l cho lîp to¡n tû trung b¼nh tr¶n h¼nh c¦u

H(f)(x) = d 1

j jjyj<jxj

pGrafakos v Lacey chùng minh ÷ñc r¬ng chu©n Lp cõa H b¬ng p 1 Mët sè

cæng tr¼nh nghi¶n cùu ti¸p theo li¶n quan cõa c¡c t¡c gi£ nh÷ Lin, Fu, Lu Thù hai, èi vîi lîp to¡n tû trung b¼nh dåc theo cung tham sè cho bði d¤ng

Z 1

0

¥y l lîp to¡n tû câ nhi·u ùng döng cao trong lþ thuy¸t to¡n tû, ph÷ìng tr¼nh

vi ph¥n ¤o h m ri¶ng, bði nâ chùa nhi·u to¡n tû cê iºn nh÷ to¡n tû Abel,Rieman-Liouville, to¡n tû Hardy, to¡n tû cüc ¤i Calderân N«m 2001, J Xiao

T÷ìng tü, U bà ch°n trong BMO khi v ch¿ khi 01 (t)dt húu h¤n v khi â

jjU jjBMO(Rd )!BMO( R d ) = Z

Tr÷íng hñp m = n = 1, Chuong v Hung t¼m ra ÷ñc i·u ki»n c¦n v õ(vîi i·u ki»n th½ch hñp tr¶n s(t)) cõa º £m b£o t½nh bà ch°n cõa U 1;

;s1 vc¡c giao ho¡n tû cõa nâ trong Lp v BMO vîi trång thu¦n nh§t Chu©n cõa

to¡n tû t÷ìng ùng công ÷ñc t¼m ra Mët i·u ki»n c¦n cõa trång º giao ho¡n tû[Mb; U ;s] bà ch°n trong Lp công ÷ñc ÷a ra Trong tr÷íng hñp khæng gianHerz, n«m 2016, Chuong, Hung v Duong ÷a ra mët i·u ki»n c¦n cho t½nh bàch°n cõa giao ho¡n tû khi b thuëc khæng gian Lipschitz Hung v Ky ÷a ra c¡c

¢ bi¸t tr¶n c¡c khæng gian Lebesgue hay t¥m Morrey.

C¡c ph¥n t½ch têng quan tr¶n ¥y d¨n chóng tæi ¸n vi»c nghi¶n cùu c¥u häi v·t½nh bà ch°n v chu©n cõa to¡n tû trong (10) tø t½ch c¡c khæng gian lo¤i Herz vMorrey-Herz vîi trång luÿ thøa Chóng tæi công °t v§n · nghi¶n cùu giao

ho¡n tû cõa Um;n! tr¶n t½ch c¡c khæng gian Morrey-Herz Nhúng k¸t qu£ nghi¶n

; scùu ¤t ÷ñc, ÷ñc chóng tæi cæng bè trong b i b¡o sè 3, trong danh möc cængtr¼nh li¶n quan ¸n luªn ¡n, v ÷ñc tr¼nh b y trong ch÷ìng 4 cõa Luªn ¡n n y

Gi£i t½ch tr¶n tr÷íng sè p adic hay tr¶n c¡c nhâm Heisenberg ÷ñc quan t¥m

v ph¡t triºn m¤nh trong nhúng n«m g¦n ¥y Trong · t i n y, chóng tæi lüa chånnghi¶n cùu mët sè k¶t qu£ cõa gi£i t½ch i·u ho tr¶n tr÷íng àa ph÷ìng

m cö thº ð ¥y l c¡c to¡n tû trung b¼nh lo¤i Hardy tr¶n tr÷íng sè p adic N«m

2006, Rim v Lee ph¡t triºn c¡c k¸t qu£ cõa J Xiao cho to¡n tû trung b¼nhHardy p adic câ d¤ng sau

U pf(x) = ZZ p

vîi l h m khæng ¥m x¡c ành tr¶n v nh sè nguy¶n p adic N«m 2014, t¡c gi£ H.D Hung ph¡t triºn k¸t qu£ cõa Rim v Lee cho lîp to¡n tû p adic Hardy-

vîi (xj)j2Z v (yk)k 0 l hai d¢y sè khæng ¥m, l sè nguy¶n khæng ¥m tòy þ

v vîi b§t ký 1 r < 1: K¸t qu£ n y cho ta th§y mèi li¶n h» giúa gi£i t½ch p-adic vgi£i t½ch thüc, vi»c nghi¶n cùu gi£i t½ch p adic mang l¤i mët cæng cö ºnghi¶n cùu gi£i t½ch tr¶n tr÷íng thüc T÷ìng tü k¸t qu£ trong tr÷íng thüc, Wu

v Fu(2017)t¼m ra ÷ñc c¡c i·u ki»n c¦n v õ cho t½nh bà ch°n cõa U trongkhæng gian Morrey p adic Lq; (Qdp), khæng gian Morrey t¥m p adic B_q;

tû U p;s Chóng tæi nghi¶n cùu c¡c k¸t qu£ m Hung, Ky, Fu, Lu, Gong, Yuan ¤t

÷ñc trong tr÷íng hñp thüc, cho tr÷íng sè p adic

2 MÖC •CH ÈI T×ÑNG PH„M VI NGHI–N CÙU

Luªn ¡n tªp trung nghi¶n cùu to¡n tû Hardy-Ces ro, to¡n tû a tuy¸n t½nhHardy-Ces ro v c¡c giao ho¡n tû cõa chóng trong c¡c khæng gian h m tr¶ntr÷íng thüc v p adic, cö thº nh÷ sau:

Nëi dung 1: ×îc l÷ñng chu©n cõa to¡n tû p-adic Hardy-Ces ro câ trång v giao ho¡n tû tr¶n c¡c khæng gian p-adic kiºu Morrey câ trång

Nëi dung 2: ×îc l÷ñng chu©n cõa to¡n tû a tuy¸n t½nh p-adic Hardy-Ces

ro câ trång tr¶n c¡c khæng gian h m p-adic:

Nëi dung 3: ×îc l÷ñng chu©n cõa to¡n tû a tuy¸n t½nh Hardy-Ces ro v

giao ho¡n tû tr¶n t½ch c¡c khæng gian Herz thu¦n nh§t câ trång, Herz câ trång thu¦n nh§t

Morrey-3 PH×ÌNG PH•P NGHI–N CÙU

º nghi¶n cùu chu©n cõa to¡n tû Hardy-Ces ro câ trång, to¡n tû a tuy¸n t½nhHardy-Ces ro câ trång tr¶n tr÷íng thüc hay p-adic v giao ho¡n tû cõa nâ tr¶n c¡ckhæng gian p adic kiºu Morrey câ trång, t½ch c¡c khæng gian kiºu Herz, chóng tæi ¢ sû döng l÷ñc ç nghi¶n cùu s®n câ tr¶n gi£i t½ch thüc, gi£i

t½ch p-adic, lþ thuy¸t to¡n tû, b§t ¯ng thùc Holder, b§t ¯ng thùc Minkowski,c¡c b§t ¯ng thùc Hìn núa º ¡nh gi¡ t½nh bà ch°n cõa giao ho¡n tû cõa to¡n tû

p adic Hardy-Ces ro câ trång chóng tæi sû döng ph÷ìng ph¡p bi¸n thüc cõaCoifman

4 C‡U TRÓC CÕA LUŠN •N

Ngo i ph¦n Mð ¦u, K¸t luªn, Danh möc cæng tr¼nh ¢ cæng bè v T i li»utham kh£o, luªn ¡n ÷ñc chia l m bèn ch÷ìng:

Ch÷ìng 1KI˜N THÙC CHU‰N BÀ

Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc chu©n bà, bao gçm:

Lþ thuy¸t sè p-adic, ë o v t½ch ph¥n tr¶n tr÷íng p-adic, c¡c khæng gian h m

Trong ph¦n n y, chóng tæi nh-c l¤i mët sè khæng gian h m c¦n dòng trong luªn

¡n nh÷: Khæng gian Lebesgue, khæng gian Herz, khæng gian Morrey-Herz,khæng gian BMO, khæng gian Morrey tr¶n tr÷íng thüc v p-adic v mæt sè v½ döminh håa, c¡c b§t ¯ng thùc Holder, Minkowski v mët sè ành l½ th÷íng dòng

Ch÷ìng 2TO•N TÛ P -ADIC HARDY-CES€RO V€ GIAO HO•N TÛ

TR–N C•C KHÆNG GIAN KIšU MOREY

Nëi dung cõa ch÷ìng n y l nghi¶n cùu chu©n cõa to¡n tû p-adic Ces ro tr¶n c¡c khæng gian kiºu Morrey ¦u ti¶n chóng tæi °t v§n · nghi¶n cùu

Hardy-b i to¡n º gi£i quy¸t Hardy-b i to¡n, chóng tæi vªn döng þ t÷ðng cõa ph÷ìng ph¡p Hardy-bi¸nthüc èi vîi c¡c to¡n tû t½ch ph¥n Hardy, mët sè k¸t qu£ cì b£n v· gi£i t½ch i·u

ho tr¶n tr÷íng p adic, k¸t hñp ¡nh gi¡ thæng qua c¡c b§t ¯ng thùc Minkowski,Holder v vi»c x¥y düng h m thû º câ b§t ¯ng thùc ng÷ñc Cuèi còng düa theoph÷ìng ph¡p cõa Coifman-Rochberg-Weiss(1976) chóng tæi t¼m ÷ñc mët i·uki»n c¦n v mët i·u ki»n õ cõa h m trång (t) º giao ho¡n tû cõa to¡n tû n y bàch°n tr¶n c¡c khæng gian p-adic t¥m Morrey vîi biºu tr÷ng trong khæng gianp-adic t¥m BMO câ trång

Nëi dung cõa ch÷ìng n y l

;s tr¶n c¡c khæng gian kiºu Morreyành ngh¾a 2.1 Cho s : Z?p ! Qp v : Z?p ! R+ l c¡c h m o ÷ñc v

¥m, kh£ t½ch àa ph÷ìng ! tr¶n Qdp sao cho !(tx) = jtjp !(x) vîi måi x 2 Qdp v t

2 Q?p v 0 < R

S 0 !(x)dx < 1

Wu(2017) L÷u þ r¬ng c¡c ành lþ 2.1 v 2.3 cõa Fu, Wu(2017) ch¿ ÷a ra k¸tluªn vîi 1 < q, trong khi â ành lþ 2.1 ch¿ ra ti¶u chu©n bà ch°n c£ trong tr÷ínghñp q = 1.

H» qu£ 2.1 To¡n tû Sp khæng bà ch°n trong L1; (Qp) v trong B1; (Qp), vîi

B¥y gií chóng tæi s³ ÷a ra mët ¡p döng minh ho¤ cho k¸t qu£ tr¶n v o nghi¶ncùu nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh gi£ vi ph¥n p adic X²t b i to¡n Cauchy sau

D u + a(jxjp)u = f(jxjp); x 2 Qp

u(0) = 0;

trong â a; f l c¡c h m li¶n töc, h m c¦n t¼m u = u(jxj) l h m b¡n k½nh ºnghi¶n cùu t½nh gi£i÷ñc cõa b i to¡n tr¶n, n«m 2014, A Kochubei x²t nghi»m

u câ d¤ng u = Rp (v), trong â Rp câ d¤ng

Rp f(x) = 1 p Zjyj p jxj p jx yjp 1 jyjp 1 f(y)dy

1 p 1

vîi f l h m kh£ t½ch àa ph÷ìng tr¶n Qp To¡n tû Rp l nghàch £o ph£i cõa D tr¶n khæng gian c¡c h m h¬ng àa ph÷ìng, câ vai trá nh÷ to¡n tû t½ch

2.3.1 C¡c giao ho¡n tû v bê · bê trñ

Giao ho¡n tû cõa to¡n tû U p;s ÷ñc ÷a ra bði Hung(2014) x¡c ành nh÷ sau

ành ngh¾a 2.3 Cho : Z? ! [0; 1); s : Z? ! Qp; b l h m kh£ t½ch àa

ph÷ìng tr¶n Qd, f : Qd ! C l h m o ÷ñc Giao ho¡n tû cõa

Gi£ sû 2 R sao cho

h m thuëc CBMO!q; Qpd v ; 0 l c¡c sè nguy¶n.

d , 1 < q < v ! , vîi > d Khi â ta câ

p th¼ B? = B i·u â suy ra h» qu£ sau.

H» qu£ 2.3 Cho q; q1; q2 l c¡c sè thüc sao cho 1 < q < q1 < 1, 1q = + vq11 q12

khi v ch¿ khi B húu h¤n

Nhªn x²t 2.3 Nh÷ ta ¢ bi¸t, giao ho¡n tû cõa to¡n tû Hardy nâi chung "k¼ dàhìn" so vîi to¡n tû Hardy t÷ìng ùng i·u n y công khæng ngo¤i l» trong tr÷ínghñp khæng gian t¥m Morrey Thüc t¸, khi js(t)jp < 1 vîi h¦u kh-p nìi t 2 Zp th¼

B húu h¤n k²o theo A húu h¤n M°t kh¡c, v½ dö sau ¥y ch¿ ra A húu h¤n nâichung khæng thº suy ra B < 1

Ch֓ng 3

TO•N TÛ A TUY˜N T•NH P -ADIC HARDY-CES€ROV€ GIAO HO•N TÛ TR–N MËT SÈ KHÆNG GIAN H€M P -ADIC

Trong ch÷ìng n y chóng tæi nghi¶n cùu c¡c ti¶u chu©n cho t½nh bà ch°n

v chu©n cõa to¡n tû a tuy¸n t½nh p-adic Hardy-Ces ro tr¶n t½ch c¡c khænggian Lebesgue v t½ch c¡c khæng gian kiºu Morrey L÷ñc ç chùng minh c¡c k¸tqu£ chóng tæi sû döng ð ¥y ÷ñc ph¡t triºn tø l÷ñc ç ¢ ÷ñc sû döng trongch÷ìng tr÷îc, k¸t hñp vîi c¡c ph÷ìng ph¡p ÷ñc sû döng trong nghi¶n cùu c¡c to¡n

tû a tuy¸n t½nh tr¶n tr÷íng thüc hay tr¶n c¡c nhâm compact àa ph÷ìng B ito¡n t÷ìng ùng °t cho giao ho¡n tû cõa to¡n tû p-adic Hardy-Ces ro công

÷ñc chóng tæi nghi¶n cùu trong ch÷ìng n y Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu ð ¥y â

l vªn döng ph÷ìng ph¡p cõa Coifman, Rochberg, Weiss(1976) trong nghi¶n cùuto¡n tû giao ho¡n tû cho t½ch ph¥n k¼ dà, to¡n tû cüc ¤i, B¶n c¤nh â, chóng

tæi s³ i thi¸t lªp ¡nh gi¡ dao ëng giúa trung b¼nh cõa hai h m thuëc CBM O,

tø â thi¸t lªp c¡c ¡nh gi¡ Lp cho c¡c to¡n tû t½ch ph¥n lo¤i trung b¼nh iºm kh¡cbi»t ð ¥y ch½nh l èi vîi c¡c to¡n tû t½ch ph¥n k¼ dà, ta th÷íng thæng qua b§t

¯ng thùc John-Nirenberg, th¼ ð ¥y chóng tæi ¡nh gi¡ trüc ti¸p thæng qua c¡cb§t ¯ng thùc t½ch ph¥n Minkowski v Holder

Nëi dung cõa ch÷ìng n y l düa tr¶n b i b¡o 2 trong danh möc cæng tr¼nh ¢cæng bè

3.1 °t b i to¡n

Düa v o c¡c ph¥n t½ch nh÷ trong ph¦n mð ¦u, ch÷ìng n y chóng tæi nghi¶ncùu to¡n tû a tuy¸n t½nh Hardy-Ces ro câ trång phi¶n b£n p-adic tr¶n c¡ckhæng gian h m phi¶n b£n p-adic

3.2 Chu©n cõa to¡n tû a tuy¸n t½nh p-adic Hardy-Ces ro tr¶n t½ch c¡c

khæng gian Lebesgue v t½ch c¡c khæng gian kiºu Morrey

º chùng minh c¡c k¸t qu£ ch½nh chóng tæi c¦n mët sè kh¡i ni»m v bê ·quan trång sau

3.2.1 Mët sè kh¡i ni»m v bê ·

Chóng tæi giîi thi»u v nghi¶n cùa phi¶n b£n p-adic cõa to¡n tû a tuy¸n t½nh

Trong ch÷ìng n y, n¸u khæng ph¡t biºu · cªp q; ;

ành ngh¾a 3.2 Cho c¡c h m trång !k 2 Wpk ; k = 1; : : : ; m Ta nâi r¬ng

(! 1 ; : : : ; ! m ) thäa m¢n i·u ki»n W !p n¸u

m

k=1V½ dö 3.1 Cho c¡c h m trång !k 2 Wp ; k = 1; : : : ; m vîi !k(x) = jxj k vîi k p

Trong to n bë ch÷ìng n y, s1; : : : ; sm l c¡c h m o ÷ñc tø Z?p n v o Qp v

Bê · d÷îi ¥y l mët v½ dö cho h m thuëc khæng gian Lr

k = 1; : : : ; m v vîi (t1; : : : ; tn) 2 Z?

p n h¦u kh-p nìi Khi â tçn t¤i mët h¬ng sè

C sao cho b§t ¯ng thùc sau

ành l½ 3.2 Cho 1 q; qk < 1; ; k; k l c¡c sè thäa m¢n (3.2), (3.3) sao

óng vîi b§t ký h m c¡c o ÷ñc f1; : : : ; fm Hìn núa h¬ng sè tèt nh§t C trong (3.10) b¬ng B.

ành l½ 3.3 Cho q; qk; ; k; k l c¡c sè thäa m¢n c¡c i·u ki»n nh÷ trong ành lþ 3.2 v c¡c i·u ki»n (3.2), (3.3) công ÷ñc thäa m¢n Gi£ sû r¬ng (!1; ; !m )

thäa m¢n i·u ki»n p Khi â U p;m;n ÷ñc x¡c ành nh÷ mët to¡n tû bà ch°n

3.3 T½nh bà ch°n cõa giao ho¡n tû cõa to¡n tû song tuy¸n t½nh Hardy- Ces

ro câ trång

Tr¶n tr÷íng p adic, giao ho¡n tû cõa to¡n tû t½ch ph¥n kiºu Hardy ¢ ÷ñcnghi¶n cùu bði c¡c t¡c gi£ nh÷ Fu, Lu, Wu, Chuong, Hung, Ð ¥y chóng tæi

công nghi¶n cùu giao ho¡n tû cõa to¡n tû song tuy¸n t½nh p-adic Hardy- Ces ro

câ trång Up;2! ;n vîi biºu tr÷ng trong CM O! q Qdp

; s3.3.1 C¡c giao ho¡n tû v bê · bê trñ

Chóng tæi ành ngh¾a cõa giao ho¡n tû cõa to¡n tû song tuy¸n t½nh p-adicHardy- Ces ro câ trång nh÷ sau:

ành ngh¾a 3.3 Cho n 2 N; : Z? n ! [0; 1); s1; s2 : Z? n ! Qp; b1; b2, l p p

Giao ho¡n tû cõa to¡n tû song tuy¸n t½nh p-adic Hardy- Ces ro câ trång U p;n

;! s

p p 2 2

÷ñc suy ra trüc ti¸p tø ành lþ 3.4

Ch֓ng 4

TO•N TÛ A TUY˜N T•NH HARDY-CES€ROV€ GIAO HO•N TÛ TR–N T•CH C•C KHÆNG GIAN LO„I HERZ

Trong ch÷ìng n y chóng tæi nghi¶n cùu to¡n tû a tuy¸n t½nh Hardy-Ces

ro tr¶n t½ch c¡c khæng gian Herz v t½ch c¡c khæng gian Morrey-Herz ¦u ti¶nchóng tæi °t v§n · nghi¶n cùu b i to¡n Ti¸p theo sû döng ph÷ìng ph¡p cõaXiao(2001) v ¢ ÷ñc vªn döng trong nhi·u cæng tr¼nh kh¡c nhau nh÷ Fu, Wu,Hung, Ky , c¡c k¾ thuªt tø gi£i t½ch a tuy¸n t½nh, chóng tæi thu ÷ñc t½nh

bà ch°n cõa to¡n tû a tuy¸n t½nh Hardy-Ces ro tr¶n t½ch c¡c khæng gian Herz

v t½ch c¡c khæng gian Morrey-Herz Cuèi còng düa v o ph÷ìng ph¡p bi¸n thüccõa Coifman-Rochberg-Weiss(1976), ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ trong gi£i t½ch atuy¸n t½nh, v l÷ñc ç nghi¶n cùu ¢ ÷ñc h¼nh th nh cõa Fu, Gong, Lu, Yawn,

v °c bi»t cõa Hung, Ky, chóng tæi chùng minh giao ho¡n tû cõa to¡n tû n y bàch°n tø t½ch c¡c khæng gian t¥m Morrey v o khæng gian t¥m Morrey vîi biºutr÷ng trong khæng gian Lipschitz

Nëi dung cõa ch÷ìng n y l düa tr¶n b i b¡o 3 trong danh möc cæng tr¼nh ¢cæng bè

4.2 T½nh bà ch°n cõa to¡n tû a tuy¸n t½nh Hardy-Ces ro tr¶n t½ch c¡c

khæng gian Herz v Morrey-Herz

4.2.1 Mët sè kh¡i ni»m v bê ·

Chóng tæi nh-c l¤i ành ngh¾a cõa lîp h m trång thu¦n nh§t giîi thi»u bði Chuong v Hung(2014)

ành ngh¾a 4.1 Cho l mët sè thüc b§t ký °t W l tªp t§t c£ c¡c h m

!(y)d (y) < 1, v h m thu¦n nh§t tuy»t èi bªc , ngh¾a l

Sd

!(tx) = jtj !(x), vîi måi t 2 R n f0g; x 2 Rd:

Chó þ r¬ng W = S W chùa t§t c£ c¡c h m trång lôy thøa !(x) = jxj

º cho thuªn ti»n chóng tæi ÷a ra v i k½ hi»u chung cho c£ möc n y Cho

Gi£ sû r¬ng 1 p < 1 ho°c 0 < p < 1 v ½t nh§t mët trong sè c¡c 1; : : : ; m l

Nhªn x²t 4.1 Khi 1 = = m = 0 ta thu ÷ñc t½nh bà ch°n v chu©n cõa to¡n tû atuy¸n t½nh Hardy-Ces ro tr¶n t½ch c¡c khæng gian Lebesgue.

Tuy nhi¶n c¡c k¸t qu£ n y khæng tèt b¬ng c¡c k¸t qu£ ¢ thu ÷ñc cõa Hung,

th¼ i·u ki»n n y tü ëng ÷ñc tho£ m¢n), th¼

y, chùa hai k¸t qu£ l

5 v ành lþ 6 cõa Gong, Fu v Ma(2014), hìn núa º thu ÷ñc i·u ki»n c¦n, c¡c t¡cgi£ ph£i gi£ thi¸t 1 = = m, p1 = = pm v q1 = = qm, tuy nhi¶n k¸t qu£ cõa chóngtæi khæng c¦n câ gi£ thi¸t â T÷ìng tü nh÷ vªy cho k¸t qu£ cõa Morrey-Herz,c¡c k¸t qu£ cõa chóng tæi thu ÷ñc trong ành lþ 4.1 l thüc sü l m m¤nh c¡c k¸tqu£ tr÷îc â cõa Gong, Fu v Ma

Nhªn x²t 4.3 ành lþ 4.1 xem x²t c£ tr÷íng hñp khi 0 < p < 1, þ t÷ðng ti¸p cªntr÷íng hñp n y ÷ñc chóng tæi tham kh£o tø cæng tr¼nh cõa J Kuang(2008),trong â t¡c gi£ ¡nh gi¡ chu©n cõa to¡n tû V trong khæng gian Herz Ch½nh v¼vªy k¸t qu£ cõa chóng tæi l mð rëng hìn v m¤nh hìn vîi k¸t qu£ t÷ìng ùng thu

÷ñc cõa Gong, Fu, Ma(2014) v l mð rëng cho tr÷íng hñp a tuy¸n t½nh

cõa c¡c cæng tr¼nh cõa Kuang, Liu, Fu, Chuong, Duong,

4.3 Giao ho¡n tû cõa to¡n tû a tuy¸n t½nh Hardy-Ces ro

Giao ho¡n tû cõa to¡n tû a tuy¸n t½nh Hardy-Ces ro U m;n, theo ngh¾a cõa

;x6=y