Phương pháp tích phân từng phần trong khai triển tiệm cận của tích phân loại laplace và áp dụng đối với một số tích phân đặc biệt

Nguyễn Văn Hàokhóa luận tốt nghiệp "Phương pháp tích phân từng phần trongkhai triển tiệm cận của tích phân loại Laplace và áp dụng vớimột số tích phân đặc biệt" được hoàn thành không trù

Em xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Văn Hào đã tận tình hướngdẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện khoá luận.

Xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong tổ giải tích-khoaToán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ

em hoàn thành khoá luận này

Xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiệnthuận lợi cho em trong quá trình thực hiện khoá luận

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Thị Hanh

i

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hàokhóa luận tốt nghiệp "Phương pháp tích phân từng phần trongkhai triển tiệm cận của tích phân loại Laplace và áp dụng vớimột số tích phân đặc biệt" được hoàn thành không trùng với bất kỳkhóa luận nào khác.

Trong quá trình hoàn thành khóa luận, tôi đã thừa kế những thànhtựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Thị Hanh

ii

Mở đầu 1

1.1 Một số khái niệm về bậc 6

1.2 Khái niệm về khai triển tiệm cận 7

1.3 Một số ví dụ về khai triển tiệm cận 8

1.4 Các tính chất của khai triển tiệm cận 10

2 TÍCH PHÂN LOẠI LAPLACE 19 2.1 Ý tưởng của phương pháp khai triển tiệm cận đối với tích phân loại Laplace 19

2.2 Trường hợp f (t) đủ trơn 20

2.3 Trường hợp f (t) không đủ trơn 24

3 MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT 28 3.1 Hàm Gamma không hoàn chỉnh 28

3.2 Tích phân Fresnel 30

3.3 Bài toán của Stieltjes 31

iii

1 Lý do chọn đề tài

Khi giải quyết nhiều bài toán trong thực tế thường xảy ra rằng,những chuỗi phân kỳ có thể được sử dụng cho sự tính toán giá trị số củamột đại lượng mà theo nghĩa nào đó có thể được xem như là "tổng" củachuỗi Trường hợp điển hình là đối với các chuỗi hàm, bằng sự xấp xỉbởi một số số hạng đầu tiên của chuỗi thực sự đem lại hiệu quả mongmuốn Trong hầu hết các trường hợp các số hạng đầu tiên của chuỗigiảm nhanh (khi biến số độc lập tiến nhanh tới giá trị giới hạn của nó),nhưng những số hạng sau bắt đầu tăng trở lại Các chuỗi như vậy đượcgọi là chuỗi bán hội tụ và việc tính toán giá trị số thường được thực hiệnbởi một số các số hạng đầu của chuỗi Để minh họa cho điều này, taxét một bài toán được xét đến lần đầu tiên vào năm 1754 bởi L Euler.Chuỗi hàm

Một vấn đề được đặt ra là hàm nào của biến x có giá trị số biểudiễn sự xấp xỉ đó Euler đã xét hàm φ(x) = xS(x) và bằng tính toánđơn giản ta thấy rằng

φ0(x) = 1! − 2!x1 + 3!x2 − = x − φ(x)

x2

hay

x2φ0(x) + φ(x) = x

Điều đó cho thấy rằng hàm φ(x) nhận được từ nghiệm của một phươngtrình vi phân Mặt khác, sử dụng tích phân Euler loại hai

n! =

Z ∞ 0

e−ttndt

ta thu được

S(x) =

Z ∞ 0

e−tdt − x

Z ∞ 0

e−ttdt + x2

Z ∞ 0

(−1)ne−t(xt)ndt

Giả thiết rằng nếu có thể lấy tổng một cách hình thức qua dấu tích phânthì S(x) trở thành

Z ∞ 0

e−t

là một hàm hoàn toàn được xác định theo biến x, giải tích trong mặtphẳng phức x cắt dọc theo nửa trục không âm Một vấn đề nảy sinh ởđây là khi nào chuỗi phân kỳ (0.1) biểu diễn hàm (0.3) Để trả lời chovấn đề này trước hết ta lưu ý rằng

là tổng riêng thứ m và

Rm(x) = (−x)m+1

Z ∞ 0

Có một số phương pháp để nghiên cứu tiệm cận của các tích phânnhư phương pháp pha dừng, phương pháp đường giảm nhanh, phươngpháp điểm yên ngựa Tuy nhiên, một trong những phương pháp đượcquan tâm trước hết trong lý thuyết xấp xỉ tiệm cận đối với tích phân

đó là phương pháp tích phân từng phần Để hoàn thành khóa luận tốtnghiệp chương trình bậc đào tạo cử nhân khoa học Toán học em chọn

đề tài "Phương pháp tích phân từng phần trong khai triển tiệmcận của tích phân loại Laplace và áp dụng với một số tích phânđặc biệt"

Luận văn gồm 03 chương Chương 1, được giành để đưa ra một sốkiến thức căn bản về lý thuyết tiệm cận Chương 2 của luận văn, chúngtôi trình bày một cách hệ thống một số phương pháp ước lượng xấp xỉ

tích phân loại Laplace Cuối cùng, chúng tôi sử dụng phương pháp tíchphân từng phần để thu được khai triển của một số tích phân đặc biệt.

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận văn trình bày một cách hệ thống về lý thuyết xấp xỉ tiệmcận, trình bày một số phương pháp xấp xỉ tiệm cận đối với tích phânloại Laplace Ứng dụng phương pháp tích phân từng phần để xấp xỉ một

số tích phân đặc biệt

3 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu

Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

4 Dự kiến đóng góp của đề tài

Hệ thống hóa chi tiết, căn bản về lý thuyết khai triển tiệm cận.Trình bày phương pháp tích phân từng phần xấp xỉ tích phân loạiLaplace

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để xấp xỉ một số tíchphân đặc biệt

e−t(1 + εt)2dt.

Lập lại quá trình này N lần ta nhận được

I(ε) = 1 − 1!ε + 2!ε2 − 3!ε3 + + (−1)NN !εN

+ (−1)N +1(N + 1)!

Z ∞ 0

e−t(1 + εt)N +2dt (1.1)Phương trình (1.1) dẫn đến một số khái niệm quan trọng mang tính trựcgiác sau đây

(i) −ε cùng bậc với ε, còn 2!ε2 là cùng bậc với ε2, ký hiệu là

−ε = O(ε); 2!ε2 = O(ε2)

(ii) 2!ε2 có bậc nhỏ hơn ε được ký hiệu bởi

2!ε2 = o(ε)

(iii) Nếu xấp xỉ của tích phân I(ε) là 1 − 1!ε + 2!ε2 thì đây là xấp xỉ có

độ chính xác tới bậc của ε2 Trong việc tính toán các tích phân trên,tham số ε là số thực Chúng ta sẽ phát biểu chính xác các khái niệm cótính trực giác trên cho biến phức ở mức độ tổng quát

1.1 Một số khái niệm về bậc

Định nghĩa 1.1 Cho f (z) và g(z) là hai hàm xác định trên miền Dtrong mặt phẳng phức C và z0 là một điểm giới hạn của miền đó, ta nói(i) Hàm f (z) có bậc "O lớn" đối với g(z) khi z → z0 và ký hiệu là

f (z) = O(g(z)); z → z0nếu tồn tại một hằng số M và một lân cận U của z0 sao cho

f (z)g(z)

= 0

(iii) Hàm f (z) tương đương với hàm g(z) khi z → z0 ký hiệu là

f (z) ∼ g(z); z → z0nếu

lim

z→z0

f (z)g(z) = 0.

(iv) Hàm f (z) xấp xỉ bằng I(z) tới bậc δ(z) khi z → z0, nếu

lim

z→z 0

I(z) − f (z)δ(z) = 0.

Trở lại phương trình (1.1), ở đây cho z là ε và z0 = 0 Xét xấp xỉ

Như vậy f (ε) được gọi là xấp xỉ của I(ε) tới bậc ε2

1.2 Khái niệm về khai triển tiệm cận

Trong phương trình (1.1) chứa một dãy sắp thứ tự 1, ε, ε2, ε3, Đặc điểm của dãy này là số hạng thứ (j + 1) của dãy nhỏ hơn nhiều sovới số hạng thứ j của nó Đặc điểm này xác định tính chất của một dãytiệm cận Phương trình (1.1) cho ta một khai triển tiệm cận của tíchphân I(ε) tương ứng với dãy tiệm cận {εj}∞j=0 Ta phát biểu chính xáccác khái niệm này như sau

Định nghĩa 1.2 (i) Dãy hàm {δj(z)} được gọi là dãy tiệm cận khi

z → z0 nếu với mỗi j = 1, 2, thì

δj+1(z) = o(δj(z)); z → z0.(ii) Giả sử I(z) là một hàm liên tục và cho {δj(z)} là dãy tiệm cận khi

Trong phương trình (1.2) các số hạng của chuỗi có thể thu được lần lượt

từ công thức

an = lim

z→z0

I(z) −Pn−1

j=0 ajδj(z)

Khi tính toán các số hạng này có thể lớn tùy ý, đối với phương trình(1.2) thường là N = ∞, mặc dù trong thực tế chuỗi tiệm cận này thườngkhông hội tụ

1.3 Một số ví dụ về khai triển tiệm cận

Ví dụ 1.1 Quay trở lại phương trình (1.1), vế phải của phương trìnhnày là khai triển tiệm cận của tích phân I(z) với số hạng thứ (n+1) là rấtnhỏ so với các số hạng trước nó Điều này đúng với mọi n = 0, 1, N −1.Với n = N , do ε > 0 nên ta có: 1 + εt ≥ 1 Do đó

Z ∞ 0

e−t(1 + εt)N +2dt ≤

Z ∞ 0

e−tdt = 1

Từ đó suy ra

(−1)N +1(N + 1)!εN +1

Z ∞ 0

e−t(1 + εt)N +2dt

∞

z

−

Z ∞ z

e−t2 dt2t2

Ví dụ 1.9 Đánh giá tích phân

I(z) =

Z z 0

t−12e−tdt; z → ∞

Khi z → ∞ thì I(z) sẽ có dạng

Z ∞ 0

t−12e−tdt

Vì vậy

I(z) =

Z ∞ 0

t−12e−tdt −

Z ∞ z

t−12e−tdt

Cũng như ở ví dụ (1.6), tích phân thứ nhất có thể được ước lượng chínhxác như sau

Z ∞ 0

t−12e−tdt = Γ 1

2



= √π

Tích phân thứ hai có thể được đánh giá bằng cách sử dụng phương pháptích phân từng phần Do đó ta nhận được

TÍCH PHÂN LOẠI LAPLACE

Một trong những phương pháp đơn giản nhất để tìm ra khai triểntiệm cận của một hàm xác định bởi tích phân xác định là lấy tích phântừng phần Các số hạng liên tiếp của chuỗi tiệm cận thu được bằng cáchlấy tích phân lặp từng phần Đặc tính tiệm cận của chuỗi được xác địnhbằng cách kiểm tra phần dư, nó có dạng một tích phân xác định Tuynhiên phương pháp này có nhiều hạn chế và việc thiết lập các kết quả

có tính tổng quát thường gặp phải những khó khăn nhất định Trongphần này chúng tôi trình bày phương pháp lấy tích phân từng phần đốivới tích phân loại Laplace được xác định bởi

I(z) =

Z b a

f (t)e−zφ(t)dt; z → ∞

2.1 Ý tưởng của phương pháp khai triển tiệm cận

đối với tích phân loại Laplace

Chúng ta nghiên cứu dáng điệu tiệm cận khi z → ∞ của các tíchphân có dạng

I(z) =

Z b a

ở đó f (t) và φ(t) là những hàm biến thực khả vi Một trường hợp đặcbiệt của các tích phân như vậy (khi φ(t) = t, a = 0, b = ∞) là biến đổiLaplace được xác định bởi

£(z) =

Z ∞ 0

cũng vì lý do đó mà người ta gọi các tích phân như vậy là tích phân loạiLaplace.

Trước hết chúng ta phân tích ý tưởng dẫn đến việc xấp xỉ tích phân này

từ khía cạnh mang tính trực giác Để có được điều đó, trước tiên ta xéttích phân dạng

I(z) =

Z b 0

Trong trường hợp này hàm φ(t) = t có giá trị nhỏ nhất tại t = 0 Khi

z → ∞, biểu thức tích phân có số mũ rất nhỏ với mọi giá trị của t, trừkhi t gần 0 (vì khi z → ∞ và t → 0 thì zt có thể vẫn nhận giá trị hữuhạn) Điều đó cho ta thấy rằng, giá trị chính của tích phân được phân

bố chủ yếu trong lân cận của điểm t = 0 Như vậy, tính toàn cục của bàitoán được thay thế bởi một vấn đề mang tính địa phương trong lân cậncủa điểm t = 0 Điều đó lý giải cho việc thu được đánh giá tiệm cận củanhững tích phân như vậy

2.2 Trường hợp f (t) đủ trơn

Trong phần này ta xét trường hợp hàm φ(t) là đơn điệu trên đoạn[a, b] Như sự phân tích trên, việc xác định giá trị của tích phân nàydựa trên việc xác định dáng điệu của nó trong lân cận của điểm biêntrên đoạn đó Trước khi đưa ra điều kiện để thực hiện phương pháp này,chúng tôi sẽ trình bày một số ví dụ cụ thể Từ đó, ta sẽ có được sự nhìnnhận một cách trực giác về điều kiện xác định cho phương pháp này

Ví dụ 2.1 Đánh giá tích phân

Z ∞ 0

(1 + t2)−2e−ztdt; z → +∞

f (t)dt; z → ∞

Tích phân thường đánh giá cách sử dụng phươngpháp tích phân phần Đơi ta cần phải viết lại tích phân nàytrước áp dụng phương pháp tích. .. vấn đề Trong hầu hết áp dụng, ta cần thu đượcmột vài số hạng đầu khai triển tiệm cận đủ

1.4 Các tính chất khai triển tiệm cận< /h3>

Các tính chất sau khai triển tiệm cận thiếtlập