Câu 1 Xét phương trình: (s in os )(sin 2 3) sin 2 os2 1
0
x
ĐK
2
3 2
2 4
≠ +
≠ +
Khi đó phương trình (1)⇔(s inx c x− os )(sin 2x− −3) sin 2x c− os2x+ =1 0
s inx c xos sin 2x 3 2sin x cosx 2sin x 0
(s inx c xos )(sin 2x 3) 2sin (s inx x cosx) 0
(s in os )(sin 2 2 sin 3) 0 s in os 0 (2)
sin 2 2 sin 3 0 (3)
x c x
− =
+ − =
PT (2) sin( ) 0
⇔ − = ⇔ = + , đối chiếu điều kiện ta có 5 2 ( )
4
x= π +k π k∈
ℤ
PT(3) sin2 +2 sin 3 sin2 =1( )
x
x
=
4
x= π +k π k∈
ℤ
x∈ − π π ⇔ − π < π +k π < π ⇔ − < + k<
Do k∈ℤ nên k∈ −{ 1009, −1008, ,1008} suy ra có 2018 nghiệm
lim ( 2 1 ) ( 4 2 3 2 )
→−∞
3 2 3
3 2 2 3 2 2 2
3
x
+
2
lim 4 2 3 2 lim
2
4 2 3 2
x
6
Nếu m< −3 thì (3 3 2 2 )
lim ( 2 1 ) ( 4 2 3 2 ) ( 3)
→−∞
Nếu m> −3 thì (3 3 2 2 )
lim ( 2 1 ) ( 4 2 3 2 ) ( 3)
→−∞
Câu 2a Theo giả thiết ta có
2 1 3 1
2 1 3 1
Trang 3
11
2
n
=
− − − − + = ⇔ − + = ⇔
=
Với n=11, thử lại thỏa mãn cấp số cộng
Ta cần chứng minh ( ) ( ) ( )0 2 2 2 4 2 ( )22 2 23
1
2
Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát ( ) ( ) ( )0 2 2 2 4 2 ( )1 2
2
1
2
Đồng nhất hệ số của n
x của đẳng thức trên ta có ( ) ( ) ( ) ( )0 2 1 2 2 2 3 2 ( )2
2
C + C + C + C + C =C (1)
Do n lẻ và
1 1
−
nên ( ) ( ) ( ) ( )0 2 1 2 2 2 3 2 ( )2 ( ( ) ( ) ( )0 2 2 2 4 2 ( )1 2)
Thay vào (1) ta có ( ) ( ) ( )0 2 2 2 4 2 ( )1 2
2
1
2
Câu 2b Kiến muốn đi đến B thì bắt buộc phải
đi qua D
I
K H
E D
B C
A
Gọi m là số cách đi từ A đến D
Gọi n là số cách đi từ D đến B
Gọi k là số cách đi từ D đến B mà không đi
qua C
Ta có số cách đi từ A đến B là mn ; số cách đi từ A đến B mà không đi qua C là mk
Ta có xác suất mà kiến đi được đến B là p mk k
mn n
= = Các cách đi từ D đến B mà có đi qua C là: DCEFB; DCIFB; DCIKB; suy ra số cách đi từ D đến B có
mà không đi qua C là 3
Vì tính đối xứng của lưới ô vuông 2x2 nên số cách đi từ D đến B mà không qua C là 3
Suy ra k=3,n=6 Do đó 1
2
k p n
= =
Câu 3a Vì SA=SC nên SO⊥ AC
Vì SB=SD nên SO⊥BD
Do đó SO⊥(ABCD)
I
P
K
S
A
B
C D
M
N O
H
MH ⊥ AC H∈AC MH SO
Theo giả thiết thì MNH =600
Trang 4Ta có: 3
;
a
= + = + =
Q
H
N
O
D
C B
A
4
a
4
a
2
a
SO= MH =
S∆ = S∆ = SK AB;
2
2 2 39 2 43
Suy ra
2
SMB
a
S∆ = SK AB=
Câu 3b Gọi P là trung điểm của SD, ta có tứ giác MPCN là hình bình hành suy ra MN//CP
Gọi α là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD), ta thấy α bằng góc giữa đường thẳng CP và mặt phẳng (SBD)
Kẻ CI ⊥BDCI ⊥(SBD)α =CPI
Tam giác BCD vuông tại C có CI là đường cao, suy ra
a CI
CI =CB +CD = a +a = a =
2
a
CP=MN = NH =
4 sin
65
CI
CP
Câu 4a Xét dãy:
1
1
1 2
n n
n
u
u
u
+
=
Bằng quy nạp ta chứng minh được u n > ∀0 n
1
2
5
n n
n
n
u u
u
u
+
+ −
+ +
4
5
2 2 2 2 2
S =u + + + +u u u =u + u −u = − u
Ta sẽ chứng minh (u n) là dãy giảm
Thật vậy có 2 2( 6 1) 1
5
u = − <u
, giả sử u k >u k+1, thay vào công thức xác định dãy ta thấy u k+1>u k+2 Vậy (u n) là dãy giảm, mà u n > ∀0 n suy ra tồn tại giới hạn limu n =l l( ≥0)
2 5u + −1 1 2 5l+ −1 1
Trang 5Câu 4b 4
2
C
Ta lại có
2
2
− ≤
C
C
có “ = ” khi
1 arccos 3
1 cos
3
A B
C C
C
A B C
=
=
=