Các điểm đặc biệt trên đồ thị của hàm số

Lí do chọn đề tài Trong chương trình toán phổ thông các điểm đặc biệt trên đồ thịhàm số các điểm cực trị, điểm uốn, điểm cố định của họ đồ thị, điểmkhông đi qua của họ đồ thị,… là phần h

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình toán phổ thông các điểm đặc biệt trên đồ thịhàm số (các điểm cực trị, điểm uốn, điểm cố định của họ đồ thị, điểmkhông đi qua của họ đồ thị,…) là phần hấp dẫn, lôi cuốn tất cả nhữngngười học toán và làm toán Các bài tập này rất phong phú và đa dạng.Vìvậy các bài toán liên quan đến các điểm đặc biệt của hàm số thườngxuyên có mặt trong các kì thi phổ thông trung học cũng như trong các kìthi học sinh giỏi và các đề thi đại học cao đẳng

Để giải quyết nó đòi hỏi người học toán và làm toán phải linh hoạt

và vận dụng một cách hợp lý trong từng bài toán Tuy nhiên đứng trướcmột bài toán về các điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số thì mỗi người đềuphải có hướng xuất phát riêng của mình Nói như vậy có nghĩa là có rấtnhiều phương pháp để đi đến kết quả cuối cùng của bài toán Điều quantrọng là ta phải lựa chọn phương pháp nào cho lời giải tối ưu nhất.Thật làkhó nhưng cùng thú vị nếu ta tìm được đường lối đúng đắn để giải quyếtnó

Với những lý do trên, sự đam mê của bản thân cùng với sự hướngdẫn nhiệt tình của thầy thạc sĩ Phạm Lương Bằng, em mạnh dạn thực

hiện bài khóa luận của mình với tựa đề: “ Các điểm đặc biệt trên đồ thị của hàm số”

2 Mục đích nghiên cứu

Nhận dạng và thể hiện là một trong những việc quan trọng trongquá trình rèn luyện khả năng làm toán của mỗi người Lời giải của bàitoán sẽ tốt hơn nếu ta xác định được đúng đối tượng

1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày cơ sở lí thuyết

- Nghiên cứu các loại điểm đặc biệt trên đồ thị của hàm số

- Xây dựng hệ thống bài tập minh họa

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng nghiên cứu

- Các điểm đặc biệt trên đồ thị của hàm số

 Phạm vi nghiên cứu

- Chương trình toán phổ thông

- Các vấn đề về các điểm đặc biệt trên đồ thị của hàm số

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- So sánh, phân tích, tổng hợp

- Phương pháp đánh giá

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài lời cám ơn, mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảokhóa luận của em gồm 3 chương :

Chương 1 : Các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số

Chương 2 : Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị

Chương 3 : Một số điểm đặc biệt khác

Do trình độ và kinh nghiệm còn hạn chế nên bài luận văn này cònnhiều hạn chế, không tránh khỏi những sai sót.Em rất mong được sựđóng góp ý kiến của các thầy cô giáo trong khoa toán và các bạn sinhviên

Chú ý: Điều ngược lại nói chung là không đúng Có hàm số có đạo

hàm f ' x = 0 tại xo nhưng không đạt cực trị tại xo (VD y = x3

Cho hàm số y = f  x có đạo hàm cấp 1 và cấp 2 tại x0

Theo định nghĩa ta có các cực trị của hàm số là:

Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

● Hàm số đồng biến trong các khoảng (–; –1) và (3, +).

● Hàm số nghịch biến trong khoảng (–1, 3)

● Hàm số đạt cực đại tại x = –1 và giá trị cực đại yCĐ = 10

● Hàm số đạt cực tiểu tại x= 3 và giá trị cực tiểu yCT = – 22

Điều kiện là y ' không đổi dấu  b = 0 &c = 0.

Trường hợp 2: Nếu a  0 thì điều kiện là y’ không đổi dấu  '  0

ii Hàm số có cực trị: Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu a = 0 thì (1)  2bx  c  0

Điều kiện là : b  0

Trường hợp 2: Nếu a  0 thì:

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt   a  0

 '  0iii Hàm số có cực đại cực tiểu

 a  0

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  

 '  0

iv Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện

K Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt   a  0

 '  0Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức vi-et

Bước 2: Kiểm tra điều kiện K

v Hàm số có cực đại,cực tiểu trong khoảng I

 phương trình (1) có hai nghiệm trong khoảng I

vi Hàm số có cực đại trong khoảng I Ta xét hai trường hợp:Trường hợp 1 Nếu a = 0 thì: (1)  2bx  c 

Điều kiện là phương trình (2) có nghiện duy nhất thuộc I và qua

đó y’ đổi dấu từ dương sang âm

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt   a  0

 '  0Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm x1 < x2

Bước 2: Tùy theo a ta lập bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biên thiên suy ra hoành độ điểm cực đại: xCĐ.

Bước 3: Hàm số có cực đại trong khoảng I  xCĐ  I

Tương tự cho trường hợp cực tiểu

vii Hàm số có cực đại, cực tiểu và xCĐ < xCT

 a  0

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và a > 0  

 '  0viii Hàm số có cực đại, cực tiểu và xCĐ > xCT

Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y  r(x)

Đối với hàm số tổng quát :

 2cos a  3sin a x  81  cos 2a  0

  cos a  3sin a 2  161  cos 2a

Ta có:

 cos a  3sin a 2  32cos 2

a  0 a

Nếu   0  cosa  3sin a  cosa  0

 sin a  cosa sin 2

a  cos2

a  0

 9  8cos2

a  6sinacosa

 9  9sin 2

a  cos 2

a  3sin a  cos a 2

 18  3sin a  cos a 2  18

1 ,

x2thoả mãn: x1  1  x2  1  x1  x2

Đáp án : m5,3 2

b Áp dụng hệ thức viet

Đáp án: Với m 

1.4.1.3 Giá trị của cực trị - đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.

a) Phương pháp tìm đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm số bậc ba:

Ta có thể phân tích : y = f(x) = (Ax + B) f ' x+ Cx + D bẳng cáchchia đa thức f(x) cho đa thức f ' x

Đó chính là hoành độ điểm cực đại và cực tiểu.

Để xác định phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cựctiểu của đồ thị hàm số, ta thực hiện theo các cách sau:

● Thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta được:

đồ thị hàm số có dạng:

2 Cho hàm số

y   566 9 x  761 9

y  2x3  3m 1 x2  6m  2 x 1 (1)

Tìm m để hàm số (1) có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song

song với đường thẳng y  4x 1

1,2

Ta có:

Giải y  6x2

b Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu Tìm m

để khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất

Gợi ý:

- Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu     m3 2  0 m  3

-Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có:

f  x  2x  m 1 g  x  m  32 x  m 2  3m  3

f

 Đường thẳng đi qua CĐ, CT là ():

- Cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng (d): y  4x thì ()  (d)

- Từ đó suy ra điều kiện của m

y  y '.g(x)  h(x)

 y1  y(x1 )  h(x1 ) & y2  y  x2   h(x2 )

y ' được :

Vậy tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(x1, y1) & B(x2,

y2) Bước 4 : Kiểm tra điều kiện K

cực trị

A x1 , y1 , B  x2 , y2  3 3

đối xứng nhau qua

a > 0 a < 0Phương trình

hợp x0 là số vô tỉ thì cực trị f (x0) được tính theo thuật toán:

24

Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

ii Hàm số có cực đại, cực tiểu (hoặc hàm số có ba điểm cực trị)

 Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

Lựa chọn một trong hai cách:

Cách 1 Nếu (1)  (x  x0 ).g(x)  0

nghiệm phân biệt khác x0

thì điều kiện là g(x) = 0 có hai

  g  0

g(x0 )  0Cách 2: Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

 Đồ thị hàm số

điểm phân biệt

y  4ax3  2bx2  2cx  d cắt trục hoành tại ba

K Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu

 phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

Khi đó (1) có 3 nghiệm x1, x2, x3 thỏa mãn hệ thức viet

Bước 2: Kiểm tra điều kiện K

iv Hàm số có cực đại,cực tiểu trong khoảng I

 phương trình (1) có ba nghiệm trong khoảng I

v Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu

 phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt và a > 0



vi Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu

 phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt và a < 0

Bước 1: Biến đổi phương trình (1) về dạng: (x-x0).g(x) = 0

Bước 2: Hàm số chỉ có cực đại và không có cực tiểu

Xét các khả năng sau đây:

x1  x2  x3



g 0  0

 m  1 thì f (x) có 3 nghiệm phân biệt

Nhìn bảng biến thiên suy ra:

Hàm số y  f (x) có cực đại nên không thoả mãn yêu cầu bài toán.



b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O.

Giải

a) Bạn đọc tự giải

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1.

b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có chu vi bằng 2( 2 1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2

b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng120

34

Bước 4 Trả lời các câu hỏi cụ thể.

Điều kiện là y ' không đổi dấu  B = 0 & C  0.

Trường hợp 2: Nếu A  0 thì điều kiện là y ' không đổi dấu  g  0

ii Hàm số có cực trị: Ta xét hai trường hợp:

  0iii Hàm số có cực đại cực tiểu

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác  e

d d

iv Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện

K Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác  e

v Hàm số có cực đại,cực tiểu trong khoảng I

 phương trình (1) có hai nghiệm khác  e

Bước 2: Tùy theo A ta lập bảng biến thiên của hàm số.

Từ bảng biên thiên suy ra hoành độ điểm cực đại: xCĐ.Bước 3: Hàm số có cực đại trong khoảng I  xCĐ  I.Tương tự cho trường hợp cực tiểu

vii Hàm số có cực đại, cực tiểu và xCĐ < xCT

phương trình(1)có hai nghiệm phân biệt  e và A> 0

viii Hàm số có cực đại, cực tiểu và xCĐ > xCT

phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  e và A<0

y '  mx  2x  m

, y '  0  f  x  mx2  2x  m (1)

mx 12

i Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1 Nếu m = 0 khi đó: y '  2x, y '  0  x  0

Vì qua x = 0 y' đổi dấu, do đó m = 0 thỏa mãn.

Trường hợp 2 Nếu m  0, điều kiện là phương trình (1) có hai

ii Hàm số có cực đại, cực tiểu

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

Hàm số đạt cực trị  y

   0  1 m  2

có 2 nghiệm phân biệt

Hàm số đạt cực trị tại x1,2 1  và các giá trị tương ứng là:

Viết phương trình đường thẳng đi

qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số.

Bước 4 Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Ta có lập luận:

● Gọi (x0, y0) là tọa độ cực đại hoặc cực tiểu của đồ thị thì

  ax0  bx0  c

 2ax0  b

2

● Thấy ngay tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng thỏa mãn:

x  m , m_tham số Viết phương trình

đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Ta có lập luận:

● Gọi (x0, y0) là tọa độ cực đại hoặc cực tiểu của đồ thị thì

● Tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu cùng thỏa mãn: y  2x  2m

Vậy đường thẳng qua cực đâị, cực tiểu của đồ thị có dạng:

y  2x  2m



2

, m_tham số Viết phương trình

đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

CHƯƠNG 2 TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ.

2.1 Tính lồi lõm của đồ thị

Định nghĩa: Gọi (C) là đồ thị hàm số y =

và f có đạo hàm trong khoảng ấy.

f ' x trong khoảng (a, b)

- Nếu tại mỗi điểm của (C), tiếp tuyến luôn ở phía trên (C), ta nói(C) là đồ thị lồi

- Nếu tại mỗi điểm của (C), tiếp tuyến luôn ở phía dưới (C), ta nói(C) là đồ thị lõm

f '' x  0 với mọi x  (a, b) thì (C) là đồ thị lồi

f '' x  0 với mọi x  (a, b) thì (C) là đồ thị lõm

2.2 Điểm uốn

Định nghĩa: Gọi (C) là đồ thị hàm số y = f  x có phần lồi và phầnlõm Điểm Ux0; f  x0  ngăn cách giữa phần lồi và phần lõm của (C)được gọi là điểm uốn của đồ thị (C)

Định lí 2: Gỉa sử hàm số y = f  x có đạo hàm cấp hai trong khoảng(a, b), có đồ thị là (C) và điểm uốn x0  (a, b).Nếu đạo hàm cấp hai đổidấu khi x qua x0 thì điểm

Ux0; Nhận xét

f  x0  là điểm uốn của (C)

a Tại điểm uốn, tiếp tuyến của đồ thị phải xuyên qua đồ thị

b Điểm x0 không nhất thiết phải là nghiệm của phương trình

2.2.1 Tính lồi, lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số

2.2.1.1 Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị.

2) Tính f”(x) và xét dấu f ' x trên từng khoảng

- Nếu f ' x > 0 , x  (a,b) thì (a,b) là khoảng lõm của f

- Nếu f ' x < 0 , x  (a,b) thì (a,b) là khoảng lồi của f

- Nếu f ' x đổi dấu khi x tăng qua x

0 thì (x0,f(x0)) là điểm uốn

của đồ thị hàm số f  x (nếu hs không có đạo hàm f” tại x 0 ).Hoặc

f '' x=0 thì (x0,f(x0)) là điểm uốn của hs

đạo hàm tại f” tại x 0 )

f  x (trường hợp hàm số có

3 x

1

33 x2

29x 3x2

4 4

Bảng xét dấu của f '' x

x -   3 

4



4



4

3 

Điểm uốnB(  ; 0)

Tìm điểm uốn và xét tình lồi lõm của đồ thị hàm số

Gợi ý :- Tập xác định D = □  =(0; +)

- y'  f ' x= 2xlnx + x Lập bảng và kết luận

3

- Đáp án: Điểm uốn A(e 2 ,  3 e2

)2

2.2.1.2 Đồ thị có 3 điểm uốn thẳng hàng

Bài toán 2: Chứng minh đồ thị hàm số y = f(x) có ba điểm uốn

và ba điểm uôn đó nằm trên một đường thẳng.

a) Phương pháp chung

Chúng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm miền xác định của D

Bước 2: Tính đạo hàm y', y'', thiết lập phương trình y' = 0 (1)

Bước 3: Xét hai khả năng:

Khả năng 1 tìm được ba nghiệm phân biệt của (1) thuộc D Khi đó:

● Lập bảng xét dấu y’’, từ đó đưa ra tọa đọ ba điểm uốn U1; U2; U3

● Chứng minh phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

Cách 1: Tìm các điểm a, b, c, d (a< b < c < d) sao cho:

Vậy đồ thị hàm số có ba điểm uốn

● Ba điểm uốn U1, U2, U3 có tọa độ thỏa mãn hệ:

 y 

 y ''  0

Từ hệ (I) suy ra phương trình hệ quả: Ax +By + C = 0

Nhận xét rằng: Tọa độ ba điểm uốn nghiệm đúng phương trình đường thẳng Ax + By + C = 0, nên ba điểm uốn thẳng hàng

4

 Ta có: U1U2  3,

3   3 

 vàU2U3  3, 

-1< x1 < 0 < x2 < 2 < x3 < 3Bảng xét dấu y’:

Nhận xét rằng: Tọa độ ba điểm uốn nghiệm đúng phương trình

đường thẳng x  3y  0 , nên ba điểm uốn thẳng hàng.





Chú ý:

● Các phép biến đổi trên, thực chất được biên đổi như sau:

- Lây VT của (2) chia cho mẫu số của (3), ta được:

x x2  3x  3  3x  3  0  3(x  1)  x(x2  3x  3).(4)

- Thay (4) vào (3) ta được : x  3y  0

● Phương pháp trên cũng được mở rộng để tìm đường cong đi quacác điểm uốn cua đồ thị

3 Chứng minh rằng các điểm uốn của đồ thị hàm số y  x.cos x

nằm trên đường cong (C) có phương trình:

2

 x  1



y

có ba điểm

uốn thẳng

Viết phương trình đường thẳng đi qua ba điểm uốn

Gợi ý:

Tính x1 = 2, x2 = -1/2, x3 = 1

Suy ra tọa độ ba điểm uốn A(2, -1), B(-1/2, 0), C(1, 1)

Đường thẳng AC: (D): y  2 x  1 Kiểm tra B  (D) và kết luận

2.Chứng minh rằng các điểm uốn của đồ thị hàm số y  x.sinx

nằm trên đường cong (C) có phương trình:

Gợi ý: Tương tự ví dụ 3

y2 4  x2   4x2

Tính cosx và sinx Sau đó kiểm tra sin2 x  cos2

x  1

2.2.2 Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số chứa tham số

Bài toán : Cho hàm số y = f(x,m) Tìm điều kiện để hàm số có điểm uốn.

 y '' không tồn tại và qua đó y '' đổi dấu.

ii Hàm số có k điểm uốn  tồn tại k diểm thuộc D sao cho:

 y ''  0



 y '' và qua đó y '' đổi dấu.

iii Hàm số có điểm uốn với tọa độ thỏa mãn điều kiện K Ta thựchiện các bước:

Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có điểm uốn

Bước 2: Xác định tọa độ điểm uốn

Bước 3: Kiểm tra điều kiện K

Trường hợp 1: Nếu m = 0, khi đó:

số không số có điểm uốn y ''  ex  0 , x , nên đồ thị hàm

f”(x) - 0 +

61

Phương trình (1) có nghiệm và qua đó y’’ đổi dấu  g CT  0

Vậy với 2  m  8

3 thỏa mãn điều kiện đầu bài

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ĐIỂM ĐẶC BIỆT KHÁC

ĐỐI VỚI HỌ ĐỒ THỊ CHO TRƯỚC

3.1 Số đồ thị đi qua một điểm

Cho họ (Cm) có phương trình y = f(x, m) trong đó tham số m □

Điểm M(x0, y0) cho trước trên (Cm) khi và chỉ khi: y0 = f(x0, m) (1)Xem phương trình (1) là phương trình theo ẩn số m thì nghiệm của(1) chính bằng số đồ thị của họ (Cm) đi qua M Cụ thể:

- Phương trình (1) vô nghiệm (theo m) thì không có đường nàocủa họ (Cm) đi qua M.( Điểm mà không có đồ thị nào của họ đi qua)

- Phương trình (1) có k nghiệm thì có k đường cong trong họ (Cm)

đi qua M (Điểm mà chỉ có một số đồ thị của họ đã cho đi qua)

- Phương trình (1) nghiệm đúng với mọi m □ , thì mọi đồ thị của

họ (Cm) đi qua M Khi đó M gọi là điểm cố định của họ đồ thị (C m ).

3.1.1 Điểm cố định của đồ thị:

a) Phương pháp:

- Phương pháp 1:

Giả sử A(x0,y0) là điểm cố định của đồ thị Chuyển phương trình

y0 = f(m, x0) đã cho về phương trình y0 – f(m,x0) = 0 với ẩn là m Sau đónhóm các thành phần ứng với cùng bậc n của m, tìm điều kiện đểphương trình với ẩn là m luôn nghiệm đúng với mọi m

- Phương pháp 2:

- Gọi A(x0,y0) là điểm cố định của đồ thị Khi đó y0 = f(m,x0)Xem vế phải của đẳng thức là hàm số đối với m : F(m) = f(x,m0)thì F(m) = y0 (  m) Tức F(m) là hằng số đối với m Từ đây suy ra

F’(m) = 0 (  m)