5 0 lý THUYẾT CHUNG VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức

1.1 Hàm số bậc ba y ax 3bx2cx d a0

Phương trình y  có / 0

2 nghiệm phân biệt

x

y

1

O

1

x

y

1

O

1

Phương trình y  có/ 0

nghiệm kép

x

y

1

O

1

x

y

1

O

1

Phương trình y  vô/ 0

nghiệm

x

y

1

O

1

x

y

1

O 1

1.2 Hàm số trùng phương y ax 4bx2c a  0

y  ax  bx x ax b

0 ' 0

x y





  

 



+) Để hàm số có 3 cực trị: ab 0

- Nếu

0 0

a b









 hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu

- Nếu

0

0

a

b











hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu

+) Để hàm số có 1 cực trị ab 0

- Nếu

0 0

a b









 hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại

- Nếu

0

0

a

b











hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu

Phương trình y / 0

có

3 nghiệm phân biệt

(ab<0)

x

y

O

1 1

x

y

1

O

1

Phương trình y / 0

có

1 nghiệm.

x

y

1

O

y

O

1 1

1.3 Hàm số nhất biến y ax b c 0, ad bc 0

cx d





+) Tập xác định:

\ d

D R

c

  

+) Đạo hàm:  2

ad bc y

cx d







- Nếu ad bc  hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Đồ thị nằm góc phần tư 2 và 4.0

- Nếu ad bc  hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Đồ thị nằm góc phần tư 1 và 3.0 +) Đồ thị hàm số có: TCĐ:

d x c



và TCN:

a y c



+) Đồ thị có tâm đối xứng:

;

d a I

c c

0

2 Một số phép biến đổi đồ thị

2.1 Dạng 1

Từ đồ thị  C :yf x 

suy ra đồ thị  C :yf x 

Ta có:

 

khi 0 khi 0

y f x







và yf x 

là hàm chẵn nên đồ thị  C nhận Oy làm trục đối xứng.

*8 Cách vẽ  C từ  C :

 Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị  C y: f x 

 Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của  C

, lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.

Ví dụ: Từ đồ thị  C :yf x x3 3x

suy

ra đồ thị  C :yx3 3x

Biến đổi  C

:

 Bỏ phần đồ thị của  C

bên trái Oy, giữ nguyên  C

bên phải Oy .

 Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ

qua Oy

x y

O

-2

2

-1

y

O

-2

2.2 Dạng 2

Từ đồ thị  C :yf x 

suy ra đồ thị  C :y f x 

Ta có:

khi 0 khi 0

y f x







* Cách vẽ  C

từ  C

:

 Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C): yf x 

 Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

 C y x:  3 3x

 C :yx3 3x

Ví dụ: Từ đồ thị  C y: f x x3 3x

suy ra đồ thị

3 3

yx  x

Biến đổi  C

:

 Bỏ phần đồ thị của  C

dưới Ox giữ,

nguyên  C phía trên Ox .

 Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox

x y

O

-2

2

-1 1

x

y

2

Chú ý với dạng: y f x 

ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị yf x 

và y f x 

Ví dụ: Từ đồ thị  C y: f x x3 3x

suy ra đồ thị

3

3

y x  x

Biến đổi  C để được đồ thị

 C :yx3 3 x

Biến đổi  C :yx3 3x

ta được đồ thị C:y x3 3x

x

y

2

2.3 Dạng 3

Từ đồ thị  C :y u x v x    

suy ra đồ thị  C :yu x v x   

Ta có:

y u x v x





* Cách vẽ  C

từ  C

:

 Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u x   0

của đồ thị  C y: f x 

 Bỏ phần đồ thị trên miền u x   0

của  C

, lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

Ví dụ

a) Từ đồ thị  C y: f x  2x3 3x2 suy ra đồ1

thị  C :y x 1 2 x2 x 1 b) Từ đồ thị  :  

1

x

x

 suy ra đồ thị

 :

1

x

x



 

khi 1







Đồ thị (C’):

 Giữ nguyên (C) với x  1

khi 1;

1

khi ;1 1

x

x

y

x x

x x



 



 



 

(C’):

 C :yx3 3x

  3

C y x x  

C:y x3 3x

x y

(C)

(C')

1

Nhận xét: Trong quá trình thực hiện phép suy đồ thị

nên lấy đối xứng các điểm đặc biệt của (C): giao

điểm với Ox, Oy, CĐ, CT…

x

y

1

O

1

Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì nên lấy đối xứng các đường tiệm cận để thực hiện phép suy

đồ thị một cách tương đối chính xác