Chương 2 lũy thừa

Một số tính chất của lũy thừa - Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa: - Chú ý: °Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.. Biết rằng nếu ng

TỰ HỌC ĐIỂM 9 MÔN TOÁN

CHƯƠNG II: LŨY THỪA – MŨ VÀ LOGARIT

BÀI 1 LŨY THỪA

1 KIẾN THỨC CƠ BẢN

a Định nghĩa lũy thừa và căn

- Cho số thực b và số nguyên dương n (n≥2) Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu n

a = b

- Chú ý: °Với n lẻ và b∈ : Có duy nhất một căn bậc n của b , kí hiệu là n b

b<0 : Không tồn tại căn bậc n của b

°Với n chẵn: b=0 :Có một căn bậc n của b là số 0

0 :

b> Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, căn có giá trị dương

ký hiệu là n b, căn có giá trị âm kí hiệu là −n b

b Một số tính chất của lũy thừa

- Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:

- Chú ý: °Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên

°Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0

° Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương

n n

1

a a

Ví dụ 5: Một người gửi số tiền M triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,7% / tháng Biết

rằng nếu người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép) Sau ba năm, người đó muốn lãnh được

số tiền là 5 triệu đồng, nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không

đổi, thì người đó cần gửi số tiền M là:

n n

T M

r

đồng

1 6

Ví dụ 7 Chon∈N n; ≥ khẳng định nào sau đây 2 đúng?

A

1

n n

1

n n

a = a,∀ > a 0

C

1

n n

1

n n

a = a , a∀ ∈ 

Hướng dẫn giải

Đáp án B đúng Đáp án A, C, D sai vì điều kiện của a

Ví dụ 8 Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

BÀI 2 HÀM SỐ LŨY THỪA

 D với α không nguyên

3 Đạo hàm: Hàm số y=xα, (α∈ ) có đạo hàm với mọi x>0 và (xα)′ =α.xα−1

4 Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0;+∞) (khảo sát hàm lũy thừa)

D Đồ thị:

Đồ thị của hàm số lũy thừa y x= α luôn đi qua điểm (1;1).I

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta

phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó Chẳng

Khi α nguyên dương: hàm số xác định khi và chỉ khi ( )f x xác định

Khi α nguyên âm: hàm số xác định khi và chỉ khi ( ) 0f x ≠

Khi α không nguyên: hàm số xác định khi và chỉ khi ( ) 0f x >

x y

e

x y x

x

x ⇔ ∈ −∞ − ∪x ( ; 1) (4;+∞ )

2.1 Đạo hàm của hàm số luỹ thừa

D a ̣ng 1: Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa

a) Phương pháp giải

- Dựa vào công thức đạo hàm

D a ̣ng 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

a) Phương pháp giải

+ Tính đạo hàm của hàm số tại x∈D

D a ̣ng 3: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số lũy thừa

a) Phương pháp giải:

+ Dựa vào định nghĩa đạo hàm cấp cao ( ) ( ( 1) )'

2.2 Max - min của hàm số luỹ thừa

a) Phương pháp giải

- T ự luâ ̣n thuần túy:

Nếu hàm số đơn điệu trên một đoạn thì GTLN, GTNN đạt được tại các đầu mút của đoạn Nếu hàm số không đơn điệu thì tiến hành việc tìm GTLN, GTNN theo quy tắc

1 Tìm các điểm x1, x2, …, xn trên các khoảng (a;b), tại đó f’(x) bằng 0 hoặc f’

2 Tính f(a), f(x1), f(x2),…, f(xn), f(b)

3 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Ta có

)(min),

(max

]

; [ ]

3 D ẠNG 3: TÍNH CHẤT, ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LUỸ THỪA a) Phương pháp giải

Lưu ý: Trong dạng bài toán này lưu ý những đặc điểm sau của đồ thị hàm số y x= α:

Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1)

Khi α > 0 hàm số luôn đồng biến, khi α < 0 hàm số luôn nghịch biến

Đồ thị hàm số không có tiệm cận khi α > 0 khi α < 0 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox, tiệm cận đứng là trục Oy

V ı́ dụ 2: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị hàm số nào?

A

1 2

Nhận thấy đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ nên loại đáp án C và D

Nhận thấy đồ thị hàm số đi qua điểm (4; 2)nên loại đáp án A

V ı́ dụ 3: Cho là các số thức Đồ thị các hàm số trên khoảng được cho hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây đúng?

BÀI 3: LOGARIT

1 Đi ̣nh nghı̃a:

Cho hai số dương ,a b với a≠1 Số α thỏa mãn đẳng thức aα =b được go ̣i là lôgarit cơ số

a c ủa b và kı́ hiê ̣u là log a b Ta viết: α =loga b⇔aα =b

2 C ác tı́nh chất: Cho a b, >0,a≠1, ta có:

3 Lôgarit c ủa mô ̣t tı́ch: Cho 3 số dương a b b v, 1, 2 ới a ≠1, ta có

• log ( )a b b1 2 =loga b1+loga b 2

4 Lôgarit c ủa mô ̣t thương: Cho 3 số dương a b b v, 1, 2 ới a≠1, ta có

 Lôgarit th â ̣p phân và Lôgarit tự nhiên

 Lôgarit thâ ̣p phân là lôgarit cơ số 10 Viết : log10b=logb=lgb

 Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e Viết : log e b=lnb

DẠNG 1 TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BIỂU THỨC LOGARIT

≥

⇔ − ≠ ⇔ ≠ Vậy tập xác định của hàm số là D=[0;+∞) { }\ 2

Ví dụ 2: Với giá trị nào của x thì biểu thức B=log (22 x− xác định? 1)

4−x > ⇔ − < <0 2 x 2 Chọn A

Ví dụ 4: Với giá trị nào của x thì biểu thức 1

2

1log3

x A

x x

x x

D ẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC a) Phương pháp giải:

Vận dụng các tính chất, quy tắc tính logarit, đổi cơ số

I P=logb a+logb a2+ + logb a n

Ví dụ 6: Kết quả rút gọn của biểu thức C= loga b+logb a+2 log( a b−logab b) loga b là:

loga b Hướng dẫn giải

D ẠNG 3: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC a) Phương pháp giải:

Vận dụng các tính chất, quy tắc tính logarit, đổi cơ số

A= −log 73 +2 log 73 +2 log 73 =3log 73 Chọn A

V ı́ dụ 3: Biểu thức log2 2 sin log2 cos

b b

21

ab b

a b

216

D ẠNG 4: CÁC MỆNH ĐỀ LIÊN QUAN LÔGARIT

Ví dụ 1 Cho a là số thực dương, a≠ Khẳng định nào sau đây sai? 1

B sai vı̀ với a>1 thı̀ a x >0 với mọi x dương

C đúng vı̀ với a<1 ax < v1 ới mọi x dương

Ví dụ 3 Cho các số thực dương a, b với a≠1 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Ví dụ 5 Cho các số thực a b, thỏa mãn a> >b 1 Chọn khẳng định sai trong các khẳng định

log ab =log − ab = −1.log ab < → D đúng Chọn A 0

Ví dụ 6 Cho hai số thực a, b với 1 < a < b Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Ví dụ 9 Cho là các số thực dương thoả mãn 2 2

= B 2 log2(a b+ )= +4 log2a+log2b

C 2 log4(a b+ )= +4 log4a+log4b D 2 log log log

2 log a b+ =log a b+ =log 16ab = +2 log a+log b vậy C sai

6

12log 3 5

log 45

1log 6 log 3.2 1 log 2 1

b

ab b a

log 1350=log 30.3 5 = +1 2 log 3 log 5 1 2a b+ = + + Chọn C

Ví dụ 3 Đặt alog 15,3 blog 10.3 Hãy biểu diễn log 1503 theo a và b

A log 1503 ab B log 1503   C.a b log 1503   a b D log 1503 a

b



,

a b

Hướng dẫn giải

Ta có : log 1503 log 153 log 103   Cha b ọn C

Ví dụ 4 Cho log 153 = Tính a A=log 1525 theo a

A

2 1

a A

a

=

21

a A a

=

a A

a

=

a A a

1

a b a

+

=+ C log 2115

1

a b a

−

=+ D log 2115 a b

ab b

−

=+

+ Chọn D

Khi thì hàm số đồng biến trên Khi thì hàm số nghịch biến

 Dạng đồ thị: Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

dương của tham số m ?

Hướng dẫn giải

có tập xác định

Ta có

Suy ra Vậy có 5 giá trị nguyên dương của m Chọn B

2 Dạng 2: Tính đạo hàm các cấp của hàm số mũ và hàm số logarit; Tìm min, max của hàm số

mũ và hàm số logarit

a) Phương pháp giải:

* Đối với bài toán tính đạo hàm hoặc chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm

- Dùng các công thức tính đạo hàm đã học

- Thay vào các đẳng thức chứa đạo hàm ta thu được kết quả

* Đối với bài toán tìm min, max

- Tìm đạo hàm của hàm số

- Tìm các nghiệm thuộc khoảng đang xét

- Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và các điểm vừa tìm được

e

f x

− +

1

=+

1 ln

11

x y

y x

′ =

21

y x

′ =

21

x y

Sử dụng tính chất: Hàm số đồng biến trên R khi Chọn A

Ví dụ 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?

y x

Sử dụng tính chất: Hàm số đồng biến trên TXĐ khi nên

để hàm số nghịch biến trên TXĐ là S thì giá trị của S sẽ là:

- Suy ra cực đại, cực tiểu của hàm số

* Đối với bài toán nhiều biến

- Tìm cách biến đổi về biểu thức liên hệ giữa các biến

- Khéo léo xét hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

x

e y x

=+0

Ví dụ 2 : Tìm điểm cực tiểu của hàm số

Hướng dẫn giải

Tập xác định

Ta có

Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại Chọn B

Ví dụ 3: Tìm điểm cực tiểu của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đa ̣t cực tiểu ta ̣i Chọn B

min

9 11 199

min

18 11 2921

min

2 11 33

DẠNG 5: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ MŨ, LOGARIT a) Phương pháp giải

• Tập xác định: D = R

• Tập giá trị: T = (0; +∞)

• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến

• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

Ví dụ 1: Phát biểu nào sau đây sai?

A Hai hàm số và có cùng tình đơn điệu trên TXĐ

B Đồ thị hàm số luôn nằm trên trục hoành

C Đồ thị hàm số luôn nằm bên phải trục tung

Hướng dẫn giải

Căn cứ vào tính chất của đồ thị hàm mũ ta rút ra kết quả là đáp án D

+ nên đồ thị luon nằm trên Ox

+ có có TXĐ nên đồ thị luôn nằm bên phải trục tung

dưới đây là đồ thị của hàm số Tìm đồ thị đó

Hướng dẫn giải

Ta có nên đồ thị của nó là hàm đồng biến, đi qua điểm Chọn D

trục hoành, đồ thị hàm số và lần lượt tại và Biết rằng

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Suy ra hàm số cần tìm là Chọn C

thời đồ thị của hai hàm số này đối xứng nhau qua đường thẳng

Vì đối xứng nhau qua

điểm thuộc đồ thị hàm số

Lấy đối xứng đồ thị hàm số qua là được đồ thị hàm số

Theo giả thiết, ta có đồ thị hai hàm số và đối xứng nhau qua đường thẳng

nên suy ra đồ thị của hai hàm số và đối xứng nhau qua đường thẳng

Theo lý thuyết (SGK) thì đồ thị của hai hàm số và đối xứng nhau qua đường thẳng

DẠNG 6: BÀI TOÁN LÃI SUẤT; BÀI TOÁN THỰC TẾ, LIÊN MÔN

- Tự luận thuần túy: Một vài công thức cần nhớ

Bài toán 1: Gởi vào ngân hàng số tiền là A đồng, với lãi suất hàng tháng là trên một kì hạn Sau kì hạn, số tiền cả vốn lẫn lãi là: ( kì hạn có thể là 1 năm; 1 tháng hoặc k tháng)

Bài toán 2: Một người, hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là đồng (Gởi đầu tháng)

Biết lãi suất hàng tháng là Tổng tiền sau tháng là:

Bài toán 3: (Vay tra góp) Một người vay vốn A đồng, lãi suất trên tháng, hàng tháng trả đồng (Trả cuối tháng) Số tiền nợ còn lại sau tháng là:

hàng với lãi suất /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn Hỏi sau năm số tiền người ấy

nhận về là bao nhiêu? (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng?

Ví dụ 2: (Đề thi thử Sở Thanh Hóa) Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất là

0,7%/tháng theo thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 5 triệu đồng và cứ trả hàng

tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu) Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng

Hướng dẫn giải

Theo công thức ở bài toán 3, ta có

Sau tháng thứ n trả hết nợ nên

Vậy sau tháng thứ 22 thì người đó trả hết nợ Chọn B

Ví dụ 3: Cường độ một trận động đất M (richter) được cho bởi công thức M = logA – logA0, với A

là biên độ rung chấn tối đa và A0là một biên độ chuẩn (hằng số) Đầu thế kỷ 20, một trận động đất

ở San Francisco có cường độ 8,3 độ Richter Trong cùng năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần Cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là

A 2,075 độ Richter B 33.2 độ Richter C 8.9 độ Richter D 11 độ Richter

Hướng dẫn giải

Cường độ trận động đất ở San Francisco là

Trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ là

Ví dụ 4: Hiện tại bạn sinh viên A đang có một khoản tiền, sau 1 năm nữa sau khi ra trường bạn A

mới cần dùng đến số tiền đó để mua xe Hiện tại ngân hàng Vietinbank đang có các loại hình gửi tiết kiệm như sau:

+) Kỳ hạn 1 tháng, lãi suất 12% một năm

+) Kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 12% một năm

+) Kỳ hạn 6 tháng, lãi suất 12% một năm

+) Kỳ hạn 12 tháng, lãi suất 12% một năm

Hỏi bạn A nên gửi tiền theo hình thức nào

Ví dụ 5: Thầy Hùng dự định mua một chiếc xe Lexus RX 350 với trị giá khoảng 3 tỷ đồng Thầy

quyết định gửi ngân hàng Techcombank 2 tỷ đồng trong vòng 3 năm để tiết kiệm tiền mua

xe với mức lãi suất như sau:

- Lãi suất 1,0%/1 tháng trong 12 tháng đầu tiên

n n

T =A +6% /

T = A +12% /

- Lãi suất 1,1%/1 tháng trong 18 tháng tiếp theo

- Lãi suất 1,2%/1 tháng trong 6 tháng cuối cùng

Biết rằng Ngân hàng Techcombank tính lãi gộp theo quý Tổng số tiền cả gốc lẫn lãi mà Thầy Hùng ĐZ nhận được sau 3 năm gần với giá trị nào nhất trong các giá trị sau:

Hướng dẫn giải

Ta có:

- 12 tháng đầu: lãi suất tháng suy ra quý và

Do đó sau 12 tháng đầu tiên số tiền cả gốc lẫn lãi là:

- 18 tháng tiếp theo: lãi suất tháng suy ra quý và

Do đó sau 18 tháng tiếp theo số tiền cả gốc lẫn lãi là:

- 6 tháng cuối cùng: lãi suất tháng suy ra quý và

B ÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

PHẦN 1 – PHƯƠNG TRÌNH MŨ

A - Lũy thừa:

1 Định nghĩa lũy thừa và căn

• Cho số thực b và số nguyên dương n n( ≥2) Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu n

a = b

• Chú ý:  Với n lẻ và b∈  : Có duy nhất một căn bậc n của b, ký hiệu n

b

b>0 : Không tồn tại căn bậc n của b

 Với n chẵn: b=0 : Có một căn bậc n của b là 0

b>0 : Có hai bậc n của a là hai số đối nhau, căn có giá

Chú ý: - Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên

- Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số α phải khác 0

- Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số α phải dương

3 Một số tính chất của căn bậc n

a b∈ n∈ , ta có:

n n

n n

+ +

y=a nghịch biến, khi đó ta luôn có: a f x( ) >a g x( )⇔ f x( )<g x( )

u u

x x

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là (−3;11) Chọn B

Ví dụ 4 Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2

3 2

1

x x e

• Dạng : max + nbx + pcx = q (a, b, c là bội của nhau)

2x+2x+ =3x+3x+ là:

2

3log4

3

2log3

x=

Hướng dẫn giải

3 2

+ + =     có nghiệm là:

1

2

x x

x x

1 3

x

x

= Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Tích các nghiệm của phương trình là một số âm

B Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên

C Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ

D Phương trình vô nghiệm

Hướng dẫn giải

Đặt (a + √b )x = t Dạng : ma2x + naxbx + b2x = 0 Chia 2 vế cho b2xvà đặt �ab�x= t (t > 0)

11

Vì 3>log 183 nên x1=log 183 =log3( )2.9 =log 2 log 93 + 3 =log 2 23 + , x2 = 3

Thay vào thỏa đáp án A

2 x+ >0 nên để phương trình có nghiệm thì x>0

Lấy logarit cơ số 2 của hai vế phương trình, ta được log5(x+3)=log2 x

    Đây là phương trình hoành

độ giao điểm của đường y= (hàm hằng) và đồ thị hàm số 1 3 1 2

nghiệm duy nhất Nhận thấy t=1 thỏa mãn phương trình Với

Ví dụ 3 Gọi T là tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2

3 2x x =1 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

 Lấy logarit cơ số 1

5 hai vế của ( )* , ta được ( 2)

x x

x x

( ) 3 2 ( )

3 3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=2

Xét hàm đặc trưng f(t) = a t + t Chứng minh u = v => Nghiệm phương trình

Ví dụ 1 Tìm số nghiệm của phương trình 21x+2 x = 3

H ướng dẫn giải

Đk: x>0

Xét 0< <x 1⇒

11

x x

x x

2016x− + x −1 2017x =1 1 Khẳng định nào dưới đây đúng?

A Phương trình ( )1 có nghiệm duy nhất

B Phương trình ( )1 vô nghiệm

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x=1 Chọn A

Ví dụ 6 Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình sin 2 cos 2

2017 x−2017 x =cos 2x trên đoạn [ ]0;π

DẠNG 7: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Trong phương trình có chứa tham số, Tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 1 Với giá trị nào của tham số thì phương trình (2+ 3) (x+ 2− 3)x =m có hai nghiệm

Dựa vào bảng biến thiên:

+ nếu m<2 thì phương trình (1’) vô nghiệm => pt (1) vô nghiệm

+ nếu m=2 thì phương trình (1’) có đúng một nghiệm t= =>1 pt(1)có đúng một